Прагляд зыходнага тэксту старонкі Ірацыянальны лік

[[Файл:Square root of 2 triangle.svg|міні|Лік <math>\scriptstyle\sqrt{2}</math> з’яўляецца ірацыянальным.]]
'''Ірацыяна́льны лік''' (ад {{lang-la|irrationalis}} — ''неразумны'') — усе [[рэчаісны лік|рэчаісныя лікі]], якія не з’яўляюца [[Рацыянальны лік|рацыянальнымі]] <math>\mathbb I = \R \setminus \Q</math> ([[Дапаўненне мностваў|адніманне]] мностваў [[Рэчаісны лік|рэчаісных]] і [[Рацыянальны лік|рацыянальных]] лікаў), — то бок, іх нельга запісаць у выглядзе <math>\frac{m}{n}</math>, дзе <math>m</math> — [[цэлы лік]], а <math>n</math> — [[натуральны лік|натуральны]], <math>n \ne 0</math>.<ref>{{БРЭ|статья=Рациональное число|id=3500129}}</ref> Ірацыянальны лік раскладваецца ў бясконцы неперыядычны [[дзесятковы дроб]], і гэтая яго ўласцівасць можа быць прынятая за азначэнне ірацыянальнага ліку.

Пра існаванне ірацыянальных лікаў (дакладней [[Адрэзак|адрэзкаў]], [[Сувымерныя велічыні|несувымерных]] з адрэзкам адзінкавай даўжыні), ведалі ўжо старажытныя матэматыкі: ім была вядомая, напрыклад, несувымернасць дыяганалі і бока квадрата, што раўнасільна ірацыянальнасці ліку <math>\sqrt 2</math><ref>[[:ru:Иррациональное_число#CITEREF%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F1970|История, 1970]], Том 1, ст. 73.</ref>.

Ірацыянальнымі з’яўляюцца, сярод іншых, адносіны даўжыні [[Акружнасць|акружнасці]] да дыяметра [[Круг|круга]] (лік [[Пі|π]]), аснова [[Натуральны лагарыфм|натуральнага лагарыфма]] ''[[E (лік)|e]]'', залатое сячэнне ''[[Залатое сячэнне|φ]]'', [[Квадратны корань з 2|квадратны корань з двух]]<ref>[http://sprott.physics.wisc.edu/Pickover/trans.html The 15 Most Famous Transcendental Numbers] {{Wayback}}. by [[Clifford A. Pickover]]. URL retrieved 24 October 2007.</ref><ref>[http://www.mathsisfun.com/irrational-numbers.html Irrational Numbers] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20100829173441/http://www.mathsisfun.com/irrational-numbers.html |date=29 жніўня 2010 }} // mathsisfun.com; URL retrieved 24 October 2007.</ref><ref>{{MathWorld|title=Irrational Number|urlname=IrrationalNumber}} URL retrieved 26 October 2007.</ref>. Усе [[Квадратны корань|квадратныя карані]] натуральных лікаў, акрамя [[Квадрат (алгебра)|поўных квадратаў]], ірацыянальны.

Ірацыянальныя лікі таксама могуць разглядацца праз [[Непарыўны дроб|бясконцыя непарыўныя дробы]]. Следствам [[Дыяганальны аргумент|доказу Кантара]] з’яўляецца тое, што рэчаісныя лікі не [[Злічальнае мноства|злічальны]], а рацыянальныя — злічальны, адсюль вынікае, што амаль усе рэчаісныя лікі ірацыянальны<ref>{{Кніга|аўтар=Cantor, Georg|спасылка=https://archive.org/details/contributionstot003626mbp|ref=Cantor|загаловак=Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers|адказны={{Нп3|Philip Jourdain}}|мова=en|год=1955|месца=New York|выдавецтва=Dover|isbn=978-0-486-60045-1}}</ref>.

== Уласцівасці ==
* [[Сума]] двух дадатных ірацыянальных лікаў можа быць рацыянальным лікам.
* Ірацыянальныя лікі вызначаюць [[дэдэкіндава сячэнне]] ў мностве рацыянальных лікаў, у якіх у ніжнім (левым) класе няма найбольшага, а ў верхнім (правым) — найменшага ліку.
* [[Мноства]] ірацыянальных лікаў усюды шчыльна на лікавай прамой: паміж любымі двума рознымі лікамі маецца ірацыянальны лік.

=== Алгебраічныя і трэнсцэндэнтныя лікі ===
Кожны ірацыянальны лік з’яўляецца або [[алгебраічныя лікі|алгебраічным лікам]], або [[трансцэндэнтныя лікі|трансцэндэнтным лікам]] (неалгебраічным). Мноства алгебраічных лікаў з’яўляецца [[Злічальнае мноства|злічальным мноствам]]. Паколькі мноства рэчыўных лікаў незлічальна, то мноства ірацыянальных лікаў таксама незлічальна.

Кожны рэчаісны трансцэндэнтны лік з’яўляецца ірацыянальным; алгебраічны лік можа быць як рацыянальным, так і ірацыянальным.

Мноства ірацыянальных лікаў з’яўляецца мноствам [[Катэгорыя Бэра|другой катэгорыі]]<ref>[[:ru:Иррациональное_число#CITEREF%D0%98%D0%BB%D1%8C%D0%B8%D0%BD,_%D0%A1%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%B9,_%D0%A1%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%BE%D0%B22006|Ильин, Садовничий, Сендов, 2006]], ст. 64.</ref>.

=== Ірацыянальныя лікі і непарыўныя дробы ===
Ірацыянальныя лікі прадстаўляюцца бясконцым [[Непарыўны дроб|непарыўным дробам]]. Прыклад, лік e:

<math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, \ldots, 1, 2n, 1, \ldots].</math>

[[Гадовым узросце пад|Квадратычным ірацыянальнасцям]] адпавядаюць перыядычныя бесперапынныя дробы.

<math>\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} = [1;1,1,1,1,\dots].</math>

== Прыклады ==
Ірацыянальнымі з’яўляюцца:

* <math>\sqrt{n}</math> для любога натуральнага <math>n</math>, які не з’яўляецца дакладным квадратам.
* [[E (лік)|Лік <math>e</math>]], а таксама <math>e^x</math> для любога рацыянальнага <math>x\ne 0</math>.
* <math>\ln x</math> для любога дадатнага рацыянальнага <math>x\ne 1</math>.
* [[Пі|Лік <math>\pi</math>]], а таксама <math>\pi^x</math> для любога рацыянальнага <math>x \ne 0</math>.

{{Зноскі}}

== Літаратура ==
* Матэматычная энцыклапедыя / Пад рэд. В. Берніка. Мн.: Тэхналогія, 2001.
* {{Кніга|год=2006|том=1|isbn=5-482-00445-7|ref=Ильин, Садовничий, Сендов|спасылка=http://sci-lib.com/book000401.html|аўтар=[[Уладзімір Аляксандравіч Ільін (матэматык)|{{nobr|У. А. Ільін}}]], [[Віктар Антонавіч Садоўнічы|{{nobr|В. А. Садоўнічы}}]], [[Благавест Сендаў|{{nobr|Бл. Х. Сендаў}}]].|загаловак=Математический анализ|адказны={{nobr|Пад рэд. [[Андрэй Мікалаевіч Ціханаў|А. М. Ціханава]]}}|частка=Глава 2. Вещественные числа|выданне={{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп.|месца=М.|выдавецтва=Проспект|старонак=672}}
* {{Кніга|год=1970|ref=История|загаловак=История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. В трёх томах|адказны=под ред. Юшкевича|месца=М.|выдавецтва=Наука}}
* [[Морыс Клайн|Kline, M.]] (1990). ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Original work published 1972).
* {{Артыкул|том=500|ref=Matvievskaya|год=1987|аўтар=Matvievskaya, Galina|загаловак=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics|мова=en|выданне={{Нп3|Annals of the New York Academy of Sciences}}|тып=journal|DOI=10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x | issn=0077-8923}}
* {{Артыкул|ref=Kurt Von Fritz|год=1945|аўтар=Kurt Von Fritz|загаловак=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum|мова=en|выданне=[[Annals of Mathematics|The Annals of Mathematics]]|тып=journal}}
* [[Адрыен Мары Лежандр]], ''Éléments de Géometrie'', Note IV, (1802), Парыж
* Rolf Wallisser, «On Lambert’s proof of the irrationality of π», in ''Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis'', Franz Halter-Koch and Robert F. Tichy, (2000), Walter de Gruyer
{{Вонкавыя спасылкі}}
{{Лікі}}

[[Катэгорыя:Лікі]]