Прагляд зыходнага тэксту старонкі Арыфметыка

[[Файл:Arithmetria.jpg|thumb|right|200px|[[Ганс Себальд Бехам]]. Арыфметыка. XVI ст.]]
'''Арыфме́тыка''' ({{lang-grc|ἀριθμητική}} ад {{lang-grc2|ἀριθμός}} — лік) — раздзел [[матэматыка|матэматыкі]], які вывучае [[лік]]і, іх адносіны і ўласцівасці. Прадметам арыфметыкі з’яўляецца паняцце ліку ў развіцці ўяўленняў аб ім ([[Натуральны лік|натуральныя]], [[Цэлы лік|цэлыя]] і [[Рацыянальны лік|рацыянальныя]], [[рэчаісны лік|рэчаісныя]], [[Камплексны лік|камплексныя]] лікі) і яго ўласцівасцях. У арыфметыцы разглядаюцца [[вымярэнне|вымярэнні]], [[Вылічэнне|вылічальныя]] аперацыі ([[складанне]], [[адніманне]], [[множанне]], [[дзяленне]]) і прыёмы вылічэнняў. Вывучэннем уласцівасцей асобных цэлых лікаў займаецца вышэйшая арыфметыка, ці [[тэорыя лікаў]]. Тэарэтычная арыфметыка надае ўвагу азначэнню і аналізу паняцця ліку, тады як [[Аксіёмы Пеана|фармальная арыфметыка]] аперуе лагічнымі пабудовамі [[прэдыкат]]аў і [[аксіёма|аксіём]]. Арыфметыка — найстаражытнейшая і адна з асноўных матэматычных навук, яна цесна звязана з [[алгебра]]й, [[геаметрыя]]й і тэорыяй лікаў<ref name="MathEnc_Arith"/><ref name="MathEnc_FormArith"/>.

Прычынай [[гісторыя арыфметыкі|узнікнення арыфметыкі]] стала практычная патрэба ў [[вуснае лічэнне|лічэнні]], найпрасцейшых вымярэннях і вылічэннях. Навука развівалася разам з ростам складанасці задач, якія патрабавалі рашэння. Вялікі ўклад у развіццё арыфметыкі ўнеслі [[Матэматыка ў Старажытнай Грэцыі|грэчаскія матэматыкі]], у тым ліку філосафы-[[Піфагарэйства|піфагарэйцы]], якія спрабавалі з дапамогай лікаў спасцігнуць і апісаць усе заканамернасці свету.

У [[Сярэдневякоўе|Сярэднія вякі]] арыфметыку адносілі, услед за [[неаплатанізм|неаплатонікамі]], да так званых [[Сем вольных мастацтваў|Сямі вольных мастацтваў]]. Асноўнымі абласцямі практычнага прымянення арыфметыкі тады былі [[гандаль]], [[навігацыя]], [[будаўніцтва]]. У сувязі з гэтым асаблівае значэнне атрымалі [[Вылічальная матэматыка|прыбліжаныя вылічэнні]] ірацыянальных лікаў, неабходныя ў першую чаргу для геаметрычных пабудоў. Асабліва бурна арыфметыка развівалася ў [[гісторыя матэматыкі ў Індыі|Індыі]] і [[Матэматыка ісламскага сярэдневякоўя|краінах ісламу]], адкуль навейшыя дасягненні матэматычнай думкі праніклі ў Заходнюю Еўропу.

З надыходам [[Новы час|Новага часу]] мараходная [[астраномія]], [[механіка]], больш складаныя камерцыйныя разлікі паставілі новыя запросы да тэхнікі вылічэнняў і падштурхнулі да далейшага развіцця арыфметыкі. У пачатку XVII ст. [[Джон Непер|Непер]] вынайшаў [[лагарыфм]]ы, а затым [[П’ер дэ Ферма|Ферма]] выдзеліў [[Тэорыя лікаў|тэорыю лікаў]] у самастойны раздзел арыфметыкі. К канцу стагоддзя сфарміравалася ўяўленне аб ірацыянальным ліку як аб паслядоўнасці рацыянальных прыбліжэнняў, а на працягу наступнага стагоддзя дзякуючы працам [[Іаган Генрых Ламберт|Ламберта]], [[Леанард Эйлер|Эйлера]], [[Карл Фрыдрых Гаус|Гауса]] арыфметыка ўключыла ў сябе аперацыі з [[камплексны лік|камплекснымі]] велічынямі, набыўшы сучаснае аблічча.

Наступная гісторыя арыфметыкі адзначана крытычным пераглядам яе асноў, спробамі яе [[Дэдуктыўны вывад|дэдуктыўнага]] абгрунтавання. Тэарэтычныя абгрунтаванні ўяўлення аб ліку звязаныя ў першую чаргу са строгім азначэннем натуральнага ліку і [[Аксіёмы Пеана|аксіёмамі Пеана]], сфармуляванымі ў 1889 годзе. [[Несупярэчлівасць]] фармальнай пабудовы арыфметыкі была паказана [[Герхард Генцен|Генценам]] у 1936 годзе.

Асновам арыфметыкі здаўна і нязменна надаецца вялікая ўвага ў [[пачатковая агульная адукацыя|пачатковай школьнай адукацыі]].

== Прадмет арыфметыкі ==
[[Файл:Giuseppe Peano.jpg|200px|thumb|right|[[Джузэпэ Пеана]] ў 1889 годзе сфармуляваў [[Аксіёмы Пеана|аксіёмы натуральных лікаў]]]]
Прадметам арыфметыкі з’яўляюцца [[лік|лікавыя мноствы]], уласцівасці лікаў і дзеянні над лікамі<ref name="ebse"/>. Да яе таксама адносяць пытанні, звязаныя з тэхнікай лічэння, [[вымярэнне|вымярэннямі]]<ref name="brit-arithmetic"/>, паходжаннем і развіццём паняцця ліку<ref name="MathEnc_Arith"/>. Арыфметыка вывучае [[Натуральны лік|натуральныя]] і [[Рацыянальны лік|рацыянальныя лікі]], ці [[дроб]]ы<ref name="bse"/>. На аснове [[Аксіёмы Пеана|аксіяматычнай структуры]] [[мноства]] натуральных лікаў ажыццяўляецца пабудова іншых лікавых мностваў, уключаючы [[Цэлы лік|цэлыя]], [[рэчаісны лік|рэчаісныя]] і [[Камплексны лік|камплексныя лікі]], праводзіцца іх аналіз<ref name="MathEnc_Arith"/>. Часам у рамках арыфметыкі разглядаюць таксама [[кватэрніён]]ы і іншыя [[Гіперкамплексны лік|гіперкамплексныя лікі]]. Разам з тым з [[тэарэма Фрабеніуса|тэарэмы Фрабеніуса]] вынікае, што пашырыць паняцце ліку за граніцы [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]] без страты нейкіх яго арыфметычных уласцівасцей немагчыма{{sfn|Арнольд|1938|с=3—5}}{{sfn|Понтрягин|1986|с=4—6}}.

Да асноўных дзеянняў над лікамі адносяць [[складанне]], [[адніманне]], [[множанне]] і [[дзяленне]]<ref name="ebse"/>, радзей [[узвядзенне ў ступень]], [[Арыфметычны корань|здабыванне кораня]]<ref name="brit-arithmetic"/> і рашэнне лікавых [[Ураўненне|ураўненняў]]<ref name="ebse"/>. Гістарычна спіс арыфметычных дзеянняў таксама ўключаў уласна [[вуснае лічэнне|лічэнне]], падваенне (акрамя множання), дзяленне на два і [[дзяленне з астачай]] (акрамя дзялення), пошук сумы [[Арыфметычная прагрэсія|арыфметычнай]] і [[Геаметрычная прагрэсія|геаметрычнай]] прагрэсій<ref name="bell-12"/>. [[Джон Непер|Непер]] у сваёй кнізе «Лагістычнае мастацтва» раздзяліў арыфметычныя дзеянні па ступенях. На самай нізкай ступені знаходзяцца складанне і адніманне, на наступнай — множанне і дзяленне, далей — узвяздзенне ў ступень і здабыванне каранёў{{sfn|Депман|1965|с=195—199}}. Вядомы метадыст [[Ігар Уладзіміравіч Арнольд|І. У. Арнольд]] да аперацый трэцяй ступені адносіў таксама [[лагарыфм]]аванне{{sfn|Арнольд|1938|с=151—156}}. Традыцыйна арыфметыкай называюць выкананне аперацый над рознымі аб’ектамі, як то: «арыфметыка [[Квадратычная форма|квадратычных форм]]», «арыфметыка [[Матрыца (матэматыка)|матрыц]]»<ref name="MathEnc_Arith"/>.

Уласна матэматычная разлікі і вымярэнні, неабходныя для практычных патрэб, як то: [[Прапорцыя, матэматыка|прапорцыі]], [[працэнт]]ы, {{нп3|трайное правіла||en|Cross-multiplication#Rule of Three}}, адносяць да ніжэйшай ці практычнай арыфметыкі<ref name="ebse"/>, тады як [[Матэматычная логіка|лагічны аналіз]] паняцця ліку адносяць да тэарэтычнай арыфметыкі<ref name="MathEnc_Arith"/>. Уласцівасці цэлых лікаў, дзяленне іх на часткі, пабудова непарыўных дробаў уваходзяць у [[Тэорыя лікаў|тэорыю лікаў]]<ref name="MathEnc_Arith"/>, якую доўгі час лічылі вышэйшай арыфметыкай<ref name="ebse"/>. Арыфметыка таксама цесна звязана з [[алгебра]]й, якая вывучае ўласна [[аперацыя, матэматыка|аперацыі]] без уліку асаблівасцей і ўласцівасцей лікаў<ref name="MathEnc_Arith"/><ref name="bse"/>. Такія арыфметычныя дзеянні, як узвядзенне ў ступень і здабыванне каранёў, з’яўляюцца тэхнічнай часткай алгебры. У гэтым ключы, услед за [[Ісаак Ньютан|Ньютанам]] і [[Карл Фрыдрых Гаус|Гаусам]], алгебру прынята лічыць абагульненнем арыфметыкі<ref name="ebse"/><ref name="brit-arithmetic"/>. Увогуле кажучы, выразных граніц паміж арыфметыкай, [[Элементарная алгебра|элементарнай алгебрай]] і тэорыяй лікаў не існуе. У [[Вялікая савецкая энцыклапедыя|ВСЭ]] сказана: ''«Алгебра вывучае, карыстаючыся літарнымі абазначэннямі, агульныя ўласцівасці лікавых сістэм і агульныя метады рашэння задач пры дапамозе ўраўненняў; арыфметыка займаецца прыёмамі вылічэнняў з канкрэтна зададзенымі лікамі, а ў сваіх больш высокіх абласцях (гл. Лікаў тэорыя) — больш тонкімі індывідуальнымі ўласцівасцямі лікаў»''<ref name="bse_algebra"/>.

Як і іншыя [[Спіс акадэмічных дысцыплін|акадэмічныя дысцыпліны]], арыфметыка сутыкаецца з прынцыповымі [[Метадалогія|метадалагічнымі]] праблемамі; для яе неабходна даследаванне пытанняў [[Несупярэчлівасць|несупярэчлівасці]] і паўнаты аксіём<ref name="ebse"/>. Лагічнымі пабудовамі [[Фармальная сістэма|фармальнай сістэмы]] [[прэдыкат]]аў і аксіём арыфметыкі займаецца [[фармальная арыфметыка]]<ref name="MathEnc_FormArith"/>.

== Найпрасцейшыя паняцці ==
{{Арыфметычныя аперацыі}}

=== Парадкавае лічэнне, натуральныя лікі ===
[[Файл:Three apples.svg|thumb|100px|left|Адзін яблык, два яблыкі, тры яблыкі. Натуральныя лікі]]
{{main|Натуральны лік}}
Самым простым арыфметычным паняццем з’яўляецца парадкавае лічэнне. Аб’ектам лічэння служацб розныя элементы ці іх мноствы, напрыклад: яблыкі і кошыкі яблыкаў. З дапамогай парадкавага лічэння можна {{d-|[[Нумарацыя|пранумараваць]]}} элементы і абазначыць іх [[Колькасць|агульную колькасць]].

Парадкавае лічэнне звязана з лічэннем групамі, якія ўтрымліваюць пэўную роўную колькасць элементаў, — напрыклад, лічэнне дзясяткамі яблыкаў. Звычайна гэта пальцы на дзвюх руках (аснова роўная <math>10</math>), але ў гістарычных крыніцах сустракаюцца групоўкі па <math>5, 11, 12, 20, 40, 60, 80</math>. Колькасць элементаў у групе служаць асновай для [[Сістэма злічэння|сістэмы злічэння]]<ref name="bse"/>.

Лікавы рад, які атрымліваецца пры лічэнні, называюць натуральным, а яго элементы — натуральнымі лікамі. Паняцце натуральнага рада ўпершыню паявілася ў працах грэчаскага матэматыка [[Нікамах Гераскі|Нікамаха]] ў I ст. н. э., а натуральнага ліку — у рымскага аўтара [[Баэцый|Баэцыя]] ў канцы V — пачатку VI ст. Усеагульнае ўжыванне тэрміна пачынаецца з работ [[Жан Лерон Д'Аламбер|Д’Аламбера]] ў XVIII ст. [[Архімед]] у сваёй рабоце «Псаміт» адзначыў, што лікавы рад можна працягваць неабмежавана, але разам з тым заўважыў, што для рэальных задач дастаткова невялікага адрэзка{{sfn|Депман|1965|с=21—25}}. Дзяленне натуральных лікаў на [[цотныя і няцотныя лікі|цотныя і няцотныя]] прыпісваюць [[Піфагарызм|піфагарэйцам]], яно таксама ёсць у егіпецкім [[Папірус Ахмеса|папірусе Рында]]. Піфагарэйцы таксама вызначылі [[Просты лік|простыя]] і [[Састаўны лік|састаўныя лікі]]{{sfn|Депман|1965|с=129—130}}.

=== Складанне, множенне, узвядзенне ў ступень ===
[[Файл:Addition01.svg|thumb|100px|left|<math>3+2=5</math>]]
{{main|Складанне|Множанне|Узвядзенне ў ступень}}
Для натуральных лікаў натуральным чынам вызначаны аперацыі складання і множання. Пры аб’яднанні двух набораў, якія ўтрымліваюць некаторую колькасць прадметаў, новы набор будзе мець столькі прадметаў, колькі было ў першых двух наборах разам. Калі першы набор утрымліваў <math>3</math> прадметы, а другі — <math>2</math> прадметы, то іх сума будзе ўтрымліваць <math>2+3=5</math> прадметаў. Апісанае дзеянне носіць назву складання і з’яўляецца найпрасцейшай [[Бінарная аперацыя|бінарнай аперацыяй]]<ref name="brit-arithmetic"/>. Для праверкі карэктнасці сумы табліцу складання знаць не абавязкова, досыць пералічыць прадметы{{sfn|История математики, т. I|1970|с=23—24}}.

Шматкратнае складанне элементаў некалькіх аднолькавых мностваз не залежыць ад парадку гэтых мностваў, што дазволіла вызначыць другую бінарную аперацыю — множанне<ref name="brit-arithmetic"/>. Акрамя множання, у старажытнасці выдзялялася асобнае арыфметычнае дзеянне — падваенне, ці множанне на два{{sfn|Депман|1965|с=212—232}}.

Па аналогіі з вызначэннем множання цераз складанне, многаразовае множанне дазваляе вызначыць аперацыю ўзвядзення ў ступень.

==== Асноўныя законы арыфметыкі ====
[[Файл:Commutativity.svg|300px|right|thumb|Перамяшчальны закон множання]]
{{main|Камутатыўная аперацыя|Асацыятыўная аперацыя|Дыстрыбутыўнасць}}
Пра ўласцівасці гэтых аперацый сфармуляваны пяць законаў, якія лічацца асноўнымі законамі арыфметыкі{{sfn|Депман|1965|с=204}}:
* [[Камутатыўная аперацыя|Камутатыўнасць: перамяшчальны закон]] складання гаворыць, што ''ад змены месцаў складнікаў сума не мяняецца''. Аналагічны закон вядомы і для множання, але ён, канечне, гаворыць аб множніках і здабытку. Гэтыя законы можна выразіць у алгебраічнай форме з дапамогай літарных абазначэнняў:
: <math>a+b=b+a</math>
: <math>a\cdot b=b\cdot a</math>
* [[Асацыятыўная аперацыя|Асацыятыўнасць: спалучальны закон]] складання гаворыць, што ''складваючы некалькі складнікаў, можна групаваць іх у любым парадку''. Аналагічны закон для множання гаворыць аб перамнажэнні множнікаў. Гэтыя законы таксама можна запісаць у алгебраічнай форме:
: <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math>
: <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)</math>
* [[Дыстрыбутыўнасць|Дыстрыбутыўнасць: размеркавальны закон]] кажа: ''каб памножыць суму на лік, можна памножыць кожны складнік на гэты лік і потым скласці атрыманыя здабыткі''. У алгебраічнай форме:
: <math>(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c</math>

Акрамя асноўных законаў арыфметыкі для натуральных лікаў выконваюцца таксама законы манатоннасці складання і множання{{sfn|Арифметика|1951|с=142}}{{sfn|Клейн|1987|с=23—26}}, якія ў алгебраічнай форме запісваюцца так:
: <math>a+b>a+c</math> пры <math>b>c</math>;
: <math>a\cdot b>a\cdot c</math> пры <math>b>c</math> і <math>a > 0</math>.

Тэрмін «камутатыўны» для перамяшчальнага закона ўвёў у 1814 годзе французскі матэматык [[Франсуа Жазеф Сервуа|Сервуа]]. Тэрмін «асацыятыўны» для спалучальнага закона ўвёў у 1853 годзе [[Уільям Роўэн Гамільтан|Гамільтан]]{{sfn|Депман|1965|с=204}}.

[[Анры Пуанкарэ|Пуанкарэ]] разглядаў усе арыфметычныя аперацыі і законы з погляду [[інтуіцыя|інтуіцыі]]. Сцвярджаючы, што законы відавочным чынам выконваюцца для малых лікаў, і выкарыстоўваючы правіла [[Матэматычная індукцыя|індукцыі]], можна прыйсці да вываду, што яны выконваюцца для ўсіх лікаў. Пры іншым падыходзе інтуітыўна вернымі лічацца не ўсе, а толькі самыя простыя законы, тады як далейшы доказ звязаны з лагічнымі пабудовамі{{sfn|Клейн|1987|с=26—35}}. За відавочныя прынімаліся перамяшчальны і спалучальны законы{{sfn|Депман|1965|с=204}}. Размеркавальны, ці дыстрыбутыўны, закон у сваіх «Пачатках» доказваў яшчэ Еўклід, карыстаючыся геаметрычным метадам{{sfn|Арифметика|1951|с=77—79}}.

Аперацыя ўзвядзення ў ступень ужо не камутатыўныя і не асацыятыўная, у яе свае правілы. Асноўныя правілы выканання гэтай аперацыі пры дадатных ступенях відавочным чынам вынікаюць з яе азначэння<ref name="brit-arithmetic"/>. У алгебраічнай форме іх можна запісаць наступным чынам:
* Дыстрыбутыўнасць: размеркавальны закон для аперацыі ўзвядзення ў ступень:
: <math>a^{n+m} = a^na^m\!</math>
:* ён жа, у выпадку аднімання, набывае форму дробу:
: <math>a^{n-m} = {a^n \over {a^m}} ,\quad n > m</math>
* Паўторнае ўзвядзенне ў ступень раскрываецца як перамнажэнне ступеней:
: <math>\left(a^n\right)^m = a^{nm}</math>.

=== Адваротныя аперацыі ===
Ва ўсіх аперацый арыфметыкі ёсць адваротныя: у складання — адніманне, у множання — дзяленне, ва ўзвядзення ў ступень — арыфметычны корань і лагарыфм. Тое, што ў складання і множання па адной адваротнай аперацыі, нягледзячы на іх бінарнасць, тлумачыцца іх камутатыўнасцю.

==== Адніманне: адмоўныя лікі ====
{{main|Адніманне|Адмоўны лік|Цэлы лік}}
[[Файл:Subtraction01.svg|thumb|left|200px|<math>5-2=3</math>]]
Адніманне — гэта аперацыя, адваротная складанню: рознасцю двух лікаў <math>5</math> і <math>2</math> з’яўляецца невядомая з ураўнення <math>2+?=5</math><ref name="brit-arithmetic"/>. Абазначаецца аперацыя аднімання знакам «−» і запісваецца ў выглядзе <math>5-2=3</math>. Для выканання аперацыі прымянялі два прыёмы: адлічванне ад памяншаемага ліку адзінак аднімаемага ці падбор такога ліку, прыбаўленне якога да аднімаемага давала бы памяншаемае{{sfn|Депман|1965|с=212—232}}.

Аперацыя аднімання, калі яе прымяняць да ўсіх пар натуральных лікаў, а не толькі да такіх, якія маглі б быць сумай і складнікам у рамках аперацыі складання, дазваляе выйсці за граніцы натуральнага рада, г.зн. рознасць двух натуральных лікаў не абавязкова будзе натуральным лікам — у выніку аднімання можа атрымацца [[0 (лік)|нуль]] ці ўвогуле адмоўны лік. Адмоўныя лікі ўжо немагчыма разглядаць як колькасць прадметаў, на лікавай восі яны размяшчаюцца злева ад нуля. Мноства лікаў, атрыманае дабаўленнем да натуральных лікаў адмоўных лікаў і ліку нуль, носіць назву мноства цэлых лікаў. Нуль і мноства натуральных лікаў называюцца ''дадатныя цэлыя лікі''<ref name="brit-arithmetic"/>. Пры множанні, каб вызначыць, дадатным ці адмоўным будзе здабытак лікаў, карыстаюцца «правілам знакаў»{{sfn|Клейн|1987|с=37—44}}.

Адмоўныя лікі лічылі несапраўднымі і бессэнсоўнымі вельмі многія матэматыкі аж да XIX ст., што, аднак, не замінала іх паўсюднаму фармальнаму ўжыванню. Упершыню паняцце адмоўных лікаў паявілася ў Індыі, дзе іх тлумачылі як «доўг» (дадатныя лікі — «маёмасць»). Распаўсюдзіліся ж адмоўныя лікі толькі ў XVII ст.{{sfn|Арифметика|1951|с=157}} Тэрмін «адніманне» паявіўся яшчэ ў Баэцыя, тэрміны «аднімаемае» і «памяншаемае» ўвёў ва ўжытак [[Хрысціян фон Вольф|Вольф]] у 1716 годзе, «рознасць» — [[Іаган Відман|Відман]] у 1489 годзе{{sfn|Депман|1965|с=212—232}}. Сучасныя абазначэнні знакамі «+» і «−» таксама ўвёў Відман у канцы XV ст.

==== Дзяленне: рацыянальныя лікі ====
{{main|Дзяленне, матэматыка|Рацыянальны лік}}
[[Файл:Divide20by4.svg|thumb|right|200px|Дзяленне 20 на 4]]
Адваротнай да аперацыі множання з’яўляецца аперацыя дзялення. Першае вызначэнне дзялення — гэта пошук ліку, які ўтрымліваецца ў дзялімым столькі разоў, колькі адзінак утрымліваецца ў дзельніку. Такое азначэнне дадзена ў падручніках арыфметыкі XIV ст. Напрыклад, <math>20 / 4 = 5</math>. Дзяленне лічылася вельмі складанай і грувасткай аперацыяй. Сучасны спосаб дзялення, які выкарыстоўвае частковыя здабыткі дзельніка на асобныя разрады дзелі ([[дзяленне слупком]]), прадстаўлен у італьянскім рукапісе 1460 года{{sfn|Депман|1965|с=212—232}}.

Для натуральных лікаў, якія не з’яўляюцца множнікам і здабыткам, вядома аперацыя [[дзяленне з астачай]] (а азначэнне ўласна ''астачы ад дзялення'' таксама называецца ''дзяленне па модулю''). Таксама існуе мноства спосабаў, якія спрашчаюць дзяленне ў розных асобных выпадках ці [[Прыкметы дзялімасці|дазваляюць праверыць дзялімасць]] на той ці іншы лік. Напрыклад:
* лік без астачы дзеліцца на два, калі яго апошняя лічба ў дзесятковым запісе дзеліцца на два;
* лік без астачы дзеліцца на тры, калі сума ўсіх яго лічбаў у дзесятковым запісе дзеліцца на тры;
* лік без астачы дзеліцца на дзесяць, калі яго апошняя лічба ў дзесятковым запісе — нуль.

Аперацыя дзялення, калі дзяліць не толькі тыя лікі, якія можна атрымаць множаннем натуральных лікаў, і пры гэтым не выдзяляць астатак, таксама як і адніманне, дазваляе выйсці за граніцы мноства натуральных лікаў. Пры дзяленні могуць атрымацца [[дроб]]ы, якія немагчыма без астачы скараціць да цэлага. Лікі, якія адпавядаюць такім дробам, называюцца рацыянальнымі. За кошт усведамлення заснаваных на дзяленні рацыянальных лікаў адбываецца яшчэ адно пашырэнне набору вядомых відаў лікаў. Гістарычна спачатку ўзнікла паняцце дробу, а затым адмоўнага ліку{{sfn|Клейн|1987}}. Такі ж парадак прыняты ў школьным курсе{{sfn|Арифметика|1951|с=172—178}}.

Ужываецца дзве формы запісу дробаў — у выглядзе лічніка і назоўніка, раздзеленых гарызантальнай ці нахіленай рысай і часта скарочаных да ўзаемна простых лікаў, і ў выглядзе лічбаў дробнай часткі, размешчаных пасля знака-[[Дзесятковы раздзяляльнік|раздзяляльніка цэлай і дробнай часткі]] ў [[Пазіцыйная сістэма злічэння|пазіцыйнага запісу ліку]]. Напрыклад, вынік дзялення 10 на 20 можна запісаць як <math>\frac {10} {20} = 10/20 = 5 / 10 = 1/2 = 0{,}5</math>.

[[Файл:Real number line.svg|600px|center|Лікавая вось]]

==== Узяцце кораня: ірацыянальныя і камплексныя лікі ====
{{main|Корань, матэматыка|Лагарыфм|Ірацыянальны лік|Камплексны лік|Рэчаісны лік}}
Адна з дзвюх адваротных для ўзвядзення ў ступень аперацый — [[Арыфметычны корань|узяцце кораня]]. Гэта пошук ліку, які пры ўзвядзенні ў адпаведную ступень будзе даваць вядомы вынік. Г.зн. кажучы алгебраічна, гэта пошук кораня для ўраўнення віду <math>x^a = b</math>. Другая адваротная аперацыя — [[лагарыфм]], гэта корань ураўнення віду <math>a^x = b</math>. Да арыфметыкі, як правіла, адносяць толькі вылічэнне кораня другой ступені — [[Квадратны корань|квадратнага кораня]]. Карані іншых ступеней і лагарыфмы арыфметычнымі аперацыямі не лічацца.

Аперацыя вылічэння кораня, калі выконваць яе не толькі для тых лікаў, якія можна атрымаць узвядзеннем у ступень натуральных лікаў, таксама як і астатнія адваротныя аперацыі, дазваляе выйсці за граніцы мноства натуральных лікаў. Лікі, якія атрымліваюцца пры гэтым, часта нельга прадставіць у выглядзе канечных рацыянальных дробаў, і таму яны называюцца ірацыянальнымі. Мноства лікаў, атрыманае дабаўленнем к рацыянальным лікам ірацыянальных, назвалі ''рэчаіснымі'', ці ''сапраўднымі'' лікамі.

Яшчэ ў [[Старажытная Грэцыя|Старажытнай Грэцыі]] было вядома пра існаванне [[Сувымерныя велічыні|несувымерных адрэзкаў]], прынамсі, на прыкладзе старон і дыяганалі квадрата са стараной, прынятай за адзінку, і ажыццяўляліся спробы атрымаць для іх дакладныя лікавыя значэнні, што знайшло адлюстраванне ў «[[Пачаткі Эўкліда|Пачатках]]» [[Эўклід]]а. Рэчаісныя лікі сталі аб’ектам даследаванняў толькі ў XVII—XVIII ст. У другой палавіне XIX ст. [[Юліус Вільгельм Рыхард Дэдэкінд|Дэдэкінд]], [[Георг Фердынанд Людвіг Філіп Кантар|Кантар]] і [[Карл Веерштрас|Веерштрас]] сфармулявалі свае [[канструктыўныя спосабы азначэння рэчаіснага ліку]]{{sfn|Арифметика|1951|с=188—201}}.

Для аперацыі здабывання кораня вядома наступнае правіла<ref name="brit-arithmetic"/>:
* <math>a^{n\over m} = \sqrt[m]{a^n}. </math>

Далейшае пашырэнне мноства лікаў было звязана з немагчымасцю здабыцця [[Квадратны корань|квадратнага кораня]] з адмоўнага ліку. З падобнай задачай сутыкаліся ў старажытнасці пры рашэнні [[Квадратнае ўраўненне|квадратных ураўненняў]], і такія ўраўненні проста лічылі невырашальнымі. У першай палавіне XVI ст. сталі выражаць рашэнні такіх ураўненняў цераз карані з адмоўных лікаў і называць такія карані «уяўнымі», «немагчымымі» і т. д.{{sfn|Арифметика|1951|с=227}}

== Практычная арыфметыка ==
Практычны бок арыфметыкі ўключае ў сябе метады, схемы і алгарытмы для ажыццяўлення дакладных арыфметычных дзеянняў, у тым ліку выкарыстанне лічыльных машын і іншых прылад, а таксама розныя прыёмы прыбліжаных вылічэнняў, якія з’явіліся ад немагчымасці атрымаць дакладны вынік пры некаторых вымярэннях і дазваляюць вызначыць яго парадак, г.зн. першыя значныя лічбы{{sfn|Клейн|1987|с=35—36}}.

<center>
<gallery caption="Найпрасцейшыя лічыльныя прылады" widths="200px">
Файл:RomanAbacusRecon.jpg|[[Абак|Рымскі абак]]
Файл:Abacus 2.jpg|[[Суаньпань|Кітайскі суаньпань]]
Файл:Yupana 1.png|[[Юпана|Юпана інкаў]]
Файл:Schoty abacus.jpg|[[Рускія шчоты]] (лічыльнікі)
</gallery>
</center>

=== Дакладныя метады ===
Пачынаючы з XV ст. прапаноўваліся розныя алгарытмы для ажыццяўлення арыфметычных аперацый над многаразраднымі лікамі, якія адрозніваюцца характарам запісу прамежкавых вылічэнняў<ref name="MathEnc_Arith"/>. Арыфметычныя алгарытмы пабудаваны на ўжываемай [[пазіцыйная сістэма злічэння|пазіцыйнай сістэме злічэння]], калі любы дадатны рэчаісны лік <math>x</math> адназначна запісваецца ў выглядзе

: <math>x = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots)_b = \sum_{k=-\infty}^{n-1} a_k b^k,</math>
дзе <math>a</math> — чарговая лічба запісу ліку <math>x</math>, <math>b</math> — аснова сістэмы злічэння, <math>n</math> — колькасць разрадаў цэлай часткі ліку <math>x</math>.

Усе дзеянні над лікамі грунтуюцца на табліцах складання і множання да дзесяці і асноўных арыфметычных законах. У якасці ілюстрацыі вядомы папулярызатар навукі [[Фелікс Клейн|Клейн]] прыводзіць наступны прыклад:

: <math>7\cdot 12=7\cdot (10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84, </math>

у якім выкарыстоўваюцца размеркаваны і спалучальны законы{{sfn|Клейн|1987|с=23—25}}.

Патрэба ў быстрых і дакладных вылічэннях прывяла да стварэння найпрасцейшых лічыльных прылад: [[абак]]а, [[Суаньпань|суаньпаня]], [[Юпана|юпаны]] ці [[лічыльнікі|лічыльнікаў (шчотаў)]]. Наступным крокам было стварэнне [[Уільям Оўтрэд|Оўтрэдам]] у 1622 годзе [[Лагарыфмічная лінейка|лагарыфмічнай лінейкі]], якая дазваляе ажыццяўляць множанне і дзяленне<ref name="col"/>.

=== Камп’ютарная арыфметыка ===
[[Файл:Schickardmaschine.jpg|Копія вылічальнай машыны Шыкарда|200px|left|thumb]]
[[Дональд Эрвін Кнут|Кнут]] лічыў арыфметычныя дзеянні «удзелам [[камп’ютар]]аў»{{sfn|Кнут|с=216}}. Першыя [[Механічныя вылічальныя машыны|вылічальныя машыны]], якія дазвалялі механізаваць чатыры арыфметычныя дзеянні, былі сканструяваны ў XVII ст. «Арыфметычная машына» [[Вільгельм Шыкард|Шыкарда]], як ён сам яе называў, была пабудавана ў 1623 годзе. Аперацыі складання і аднімання праводзіліся шляхам кручэння цыліндраў, спецыяльныя цыліндры былі таксама для множання і дзялення. Акрамя таго, машына магла пераносіць дзясяткі. [[Складальная машына Паскаля|Машына]] [[Блез Паскаль|Паскаля]] была распрацавана ім у 1642 годзе ў помач бацьку ў выкананні фінансавых разлікаў. Яна мела той жа прынцып дзеяння, што і машына Шыкарда. Асноўную частку машыны складаў механізм пераносу дзясяткаў. Разам з тым рамесны выраб такіх машын усё яшчэ заставалася нявыгадным{{sfn|История математики, т. II|1970|с=66—67}}. Спробы ўдасканаліць арыфмометр працягваліся ўсё XVIII стагоддзе, але толькі ў XIX ст. ужыванне [[арыфмометр]]аў набыло шырокую распаўсюджанасць{{sfn|История математики, т. III|1972|с=42—45}}.

У XX ст. на змену арыфмометрам прыйшлі электронныя вылічальныя машыны. У іх аснове ляжаць алгарытмы, якія выкарыстоўваюць найменшы лік [[Элементарная аперацыя|элементарных аперацый]] для выканання арыфметычных дзеянняў<ref name="MathEnc_Arith"/>. [[Камп’ютарная арыфметыка]] ўключае алгарытмы выканання аперацый над [[Лік з плаваючай коскай|лікамі з плаваючай коскай]], дробамі і вельмі [[Доўгая арыфметыка|вялікімі лікамі]]{{sfn|Кнут|с=216}}.

=== Вымярэнне ===
Акрамя прадметаў, якія можна пералічыць, існуюць прадметы, якія можна вымераць, у першую чаргу гэта даўжыня і маса{{sfn|Клейн|1987|с=45—49}}.
Як і пры лічэнні, першымі мерамі даўжыні ў чалавека былі пальцы рук. Затым адлегласць сталі мераць крокамі, двайнымі крокамі, [[міля]]мі (тысяча двайных крокамі), [[Стадый|стадыямі]]. Акрамя таго, для вымярэння даўжыні выкарыстоўвалі локці, далоні, [[Сажань|сажні]], [[дзюйм]]ы. У розных рэгіёнах устанаўліваліся свае сістэмы мер, якія рэдка былі кратныя дзесяці{{sfn|Депман|1965|с=263—267}}. Мнагастайнасць мер, в прыватнасці, дазваляла абысціся без выкарыстання дробаў{{sfn|Boyer & Merzbach|2010|loc=Arithmetic and logistic}}{{sfn|Арифметика|1951|с=57—71}}. Тарговая арыфметыка ўключала ў сябе ўменне аперыраваць велічынямі (грашовымі адзінкамі, адзінкамі мер і вагаў) у недзесятковай сістэме злічэння{{sfn|Кнут|с=216, 221}}.

У канцы XVIII ст. [[Вялікая французская рэвалюцыя|французскім рэвалюцыйным урадам]] на аснове часовага — а затым і архіўнага (законам 10 снежня 1799 года) — [[метр]]а была прынята [[метрычная сістэма мер]] (канчаткова [[Францыя]] перайшла на яе з 1 студзеня 1840 года). Разам з метрам быў вызначан і [[кілаграм]]. У аснове метрычнай сістэмы ляжыць дзесятковая сістэма. Іменна гэтая акалічнасць дазволіла метрычнай сістэме распаўсюдзіцца амаль на ўвесь свет (выключэнне складаюць [[Вялікабрытанія]] і [[Злучаныя Штаты Амерыкі|ЗША]]). Па ўказу спецыяльнага [[Міжнароднае бюро мер і вагаў|Міжнароднага бюро мер і вагаў]], размешчанага ў [[Парыж]]ы, у 1888 годзе са сплаву [[Плаціна (хімічны элемент)|плаціны]] і [[ірыдый|ірыдыю]] былі зроблены міжнародны метр і міжнародны кілаграм — [[эталон]]ы мер і вагаў. Акрамя мер часу і вугла, усе астатнія адзінкі мер таксама звязаныя з дзесятковай сістэмай{{sfn|Депман|1965|с=275—285}}.

=== Прыбліжаныя метады ===
Гістарычна прыбліжаныя вылічэнні ўзніклі пры пошуку даўжыні дыяганалі адзінкавага квадрата, але атрымалі шырокае распаўсюджанне пры пераходзе да дзесятковай сістэмы і выкарыстанні канечных [[Дзесятковы дроб|дзесятковых дробаў]] замест ірацыянальных лікаў і лікаў, выражаных бесканечным перыядычным дробам{{sfn|Клейн|1987|с=49—57}}.

Для ацэначных вылічэнняў выкарыстоўваюць, у першую чаргу, законы манатоннасці. Напрыклад, каб вызначыць парадак здабытку <math>567\cdot 134</math>, можна выкарыстаць наступную ацэнку <math>560\cdot 130<567\cdot 134<570\cdot 140</math>{{sfn|Клейн|1987|с=23—25}}.

== Тэорыя лікаў ==
[[Тэорыя лікаў]], ці вышэйшая арыфметыка, — гэта навука аб цэлых ліках, якая ўзнікла з арыфметычных задач, звязаных з [[дзялімасць|дзялімасцю]] лікаў<ref name="MathEnc_NumTeo"/>. [[Элементарная тэорыя лікаў]] мае справу з праблемамі, якія рашаюцца элементарнымі метадамі, звычайна без выкарыстання ўяўных лікаў. Да яе адносяць тэорыю дзялімасці, тэорыю параўнанняў, нявызначаныя [[Ураўненне|ўраўненні]], [[Разбіццё ліку|разбіццё на складнікі]], прыбліжэнні рацыянальнымі лікамі, [[непарыўны дроб|ланцуговыя дробы]]<ref name="MathEnc_ElNumTeo"/>. [[Асноўная тэарэма арыфметыкі]] — пра адназначнасць раскладання ліку на простыя множнікі — таксама з’яўляецца часткай элементарнай тэорыі лікаў{{sfn|Арнольд|1938|с=413—415}}.

Асобныя падкласы цэлых лікаў, такія як простыя, састаўныя, [[фігурныя лікі|квадратныя]], [[дасканалы лік|дасканалыя лікі]], былі выдзелены яшчэ старажытнымі грэкамі. Яны вывелі формулы для вызначэння піфагоравых троек, [[найбольшы агульны дзельнік|найбольшага агульнага дзельніка]], паказалі бесканечнасць колькасці простых лікаў. [[Дыяфант Александрыйскі|Дыяфант]] правёў сістэматызацыю задач, звязаных з цэлымі лікамі. Работы Дыяфанта былі працягнуты [[П’ер Ферма|Ферма]] ў XVII і [[Леанард Эйлер|Эйлерам]] у XVIII ст. Ферма займаўся рашэннем ураўненняў у цэлых ліках і сфармуляваў без доказу [[Малая тэарэма Ферма|малую]] і [[Вялікая тэарэма Ферма|вялікую тэарэмы Ферма]]. Эйлер, працягваючы даследаванні Ферма, даказаў малую тэарэму і асобны выпадак вялікай тэарэмы Ферма. Ён упершыню прымяніў [[матэматычны аналіз]] для рашэння задач тэорыі лікаў і стварыў [[аналітычная тэорыя лікаў|аналітычную тэорыю лікаў]]. Эйлер вызначыў [[утваральная функцыя паслядоўнасці|утваральныя функцыі]], на аснове якіх былі пабудаваныя кругавы метад і [[метад трыганаметрычных сум]]<ref name="MathEnc_NumTeo"/>.

Цяпер, акрамя элементарнай і аналітычнай тэорыі лікаў, існуюць такія раздзелы, як адытыўная, алгебраічная, імавернасная, метрычная тэорыя лікаў<ref name="MathEnc_NumTeo"/>.

== Тэарэтычная арыфметыка ==
У сучаснай матэматыцы [[аксіяматычны метад|пабудова тэорыі]] прадстаўляе сабой выбар базавых уласцівасцей, ці [[аксіёма|аксіём]], з якіх патрабуецца вывесці ўсе палажэнні тэорыі, ці [[тэарэма|тэарэмы]], з дапамогай агульнапрынятай логікі<ref name="bse_method"/>. Тэарэтычная пабудова арыфметыкі аперыруе алгебраічнымі паняццямі. Складанасць выдзялення асноўных азначэнняў арыфметыкі звязана з простасцю яе начальных палажэнняў. Пеана, асцерагаючыся памылковага асацыятыўнага рада пры выкарыстанні слоў, праводзіў доказы выключна на мове сімвалаў, абапіраючыся толькі на прынятыя ім папярэднія палажэнні. Кантар і Дэдэкінд звязалі лікі з мноствамі і абстрактнымі адносінамі над імі{{sfn|Клейн|1987|с=26—35}}. [[Тэорыя мностваў]] разглядае арыфметычныя дзеянні як асаблівыя адносіны паміж тройкамі элементаў, у якіх адзін элемент вызначаецца цераз два іншыя, ці [[аперацыя, матэматыка|алгебраічныя аперацыі]]{{sfn|Арифметика|1951|с=100—107}}. Кажучы пра тэорыю мностваў, Клейн заўважыў, што пры такім падыходзе развіццё тэорыі становіцца ''«адцягнутым і мала даступным»''{{sfn|Клейн|1987|с=26—35}}.

=== Натуральныя лікі ===
У 1810 годзе чэшскі матэматык [[Бернард Бальцана|Бальцана]] вызначыў дзеянне складання для натуральных лікаў. Незалежна ад яго падобнае азначэнне далі нямецкія матэматыкі [[Герман Гюнтэр Грасман|Грасман]] у 1861 годзе і [[Герман Ганкель|Ганкель]] у 1869 годзе{{sfn|Депман|1965|с=117—126}}. «Энциклопедия элементарной математики» прапануе наступнае азначэнне складання натуральных лікаў{{sfn|Арифметика|1951|с=135—138}}:

{{рамка}}
''Азначэнне.'' Складеннем натуральных лікаў называецца такая адпаведнасць, якая кожнай пары натуральных лікаў <math>a</math> і <math>b</math> супастаўляе адзін і толькі адзін натуральны лік <math>a+b</math> і валодае наступнымі ўласцівасцямі:
* <math>a+1=a'</math> для любога <math>a</math>,
* <math>a+b'=(a+b)'</math> для любых <math>a</math> і <math>b</math>.
{{/рамка}}

Складанне натуральных лікаў заўсёды ажыццявімае і адназначнае{{sfn|Арифметика|1951|с=135—138}}.

Множанне, як і складанне, вызначылі незалежна Бальцана, Грасман і Ганкель{{sfn|Депман|1965|с=117—126}}. «Энциклопедия элементарной математики» прапануе наступнае азначэнне множання натуральных лікаў{{sfn|Арифметика|1951|с=139—142}}:

{{рамка}}
''Азначэнне.'' Множаннем натуральных лікаў называецца такая адпаведнасць, якая кожнай пары натуральных лікаў <math>a</math> і <math>b</math> супастаўляе адзін і толькі адзін натуральны лік <math>ab</math> (ці <math>a\cdot b</math>) і валодае наступнымі ўласцівасцямі:
* <math>a\cdot 1=a</math> для любога <math>a</math>,
* <math>a\cdot b'=a\cdot b + a</math> для любых <math>a</math> і <math>b</math>.
{{/рамка}}

Множанне натуральных лікаў заўсёды ажыццявімае і адназначнае{{sfn|Арифметика|1951|с=139—142}}.

У 1891 годзе Пеана прадставіў [[аксіёмы Пеана|аксіёмы]] для [[Натуральны лік|натуральных лікаў]] (у іншых крыніцах упамінаецца таксама 1889 год)<ref name="bse"/>{{sfn|Депман|1965|с=117—126}}. З тае пары [[Аксіёма|аксіёмы]] змяніліся вельмі нязначна.
{{рамка}}
''Азначэнне.'' Натуральнымі лікамі называюцца элементы ўсякага непустога [[мноства]] <math>\N</math>, у яком для некаторых элементаў <math>a</math> і <math>b</math> існуе [[Дачыненне (матэматыка)|дачыненне]] «<math>b</math> ідзе за <math>a</math>», для якога выконваюцца наступныя аксіёмы{{sfn|Арифметика|1951|с=133}}:
* Існуе лік <math>1</math>, які не ідзе ні за якім лікам, г.зн. <math>a'\ne1</math> для любога ліку <math>a</math>.
* Для любога ліку <math>a</math> існуе наступны лік <math>a'</math> і пры тым толькі адзін, г.зн. з <math>a=b</math> вынікае <math>a'=b'</math>.
* Любы лік ідзе не больш чым за адным лікам, г.зн. з <math>a'=b'</math> вынікае <math>a=b</math>.
* Любое мноства <math>M</math> натуральных лікаў, якое валодае ўласцівасцямі: <math>1</math> належыць <math>M</math>, і калі лік <math>a</math> належыць <math>M</math>, то наступны лік <math>a'</math> таксама належыць <math>M</math>, утрымлівае ўсе натуральныя лікі, г.зн. супадае з <math>\N</math>.
{{/рамка}}

=== Цэлыя лікі ===
«Энциклопедия элементарной математики» прапануе наступнае азначэнне аднімання натуральных лікаў{{sfn|Арифметика|1951|с=150—151}}:

{{рамка}}
''Азначэнне.'' Адніманнем натуральных лікаў называецца такая адпаведнасць, якая кожнай пары натуральных лікаў <math>a</math> і <math>b</math> супастаўляе лік <math>a-b</math> з наступнай уласцівасцю:
* <math>(a-b)+b=a</math>.
{{/рамка}}

Адніманне натуральных лікаў ажыццявіма, толькі калі <math>a>b</math>, калі рознасць існуе, то яна адназначная{{sfn|Арифметика|1951|с=150—151}}. Пашырэнне натуральных лікаў за кошт уласцівасцей складання і аднімання прыводзіць да паняцця цэлых лікаў{{sfn|Арифметика|1951|с=172—179}}.

{{рамка}}
''Азначэнне.'' [[Кальцо (алгебра)|Кальцом]] [[Цэлы лік|цэлых лікаў]] называецца мінімальнае кальцо <math>\Z</math>, якое ўтрымлівае мноства <math>\N</math> усіх натуральных лікаў і валодае наступнымі ўласцівасцямі{{sfn|Арифметика|1951|с=160—167}}:
* Складанне і множанне натуральных лікаў супадаюць з аднайменнымі аперацыямі над гэтымі лікамі ў кальцы <math>\Z</math>;
* Кальцо <math>\Z</math> не ўтрымлівае нетрывіальнага падкальца, якое ўтрымлівала бы мноства <math>\N</math>.
Элементы кальца <math>\Z</math> называюцца цэлымі лікамі.
{{/рамка}}

Кальцо <math>\Z</math> існуе і з’яўляецца адзіным з дакладнасцю да [[ізамарфізм]]а, а кожны яго элемент ровен рознасці натуральных лікаў. Пры пабудове кальца выкарыстоўваюць мноства пар натуральных лікаў віду <math>(a,\;b)</math>. Для пар вызначаюць [[дачыненне эквівалентнасці|эквівалентнасць]], складанне і множанне наступным чынам{{sfn|Арифметика|1951|с=160—167}}:
* <math>(a,\;b)</math> эквівалентна <math>(c,\;d)</math> тады і толькі тады, калі <math>a+d=b+c,</math>
* <math>(a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),</math>
* <math>(a,\;b)\cdot(c,d)=(ac+bd,\;ad+bc).</math>

=== Рацыянальныя лікі ===
«Энциклопедия элементарной математики» прапануе наступнае азначэнне дзялення натуральных лікаў{{sfn|Арифметика|1951|с=150—151}}:

{{рамка}}
''Азначэнне.'' Дзяленнем натуральных лікаў называецца такая адпаведнасць, якая кожнай пары натуральных лікаў <math>a</math> і <math>b</math> супастаўляе лік <math>a:b</math> і валодае наступнай уласцівасцю:
* <math>(a:b)\cdot b=a</math>.
{{/рамка}}

Дзяленне натуральных лікаў ажыццявіма, толькі калі <math>a\,\vdots\,b</math> (<math>a</math> кратна <math>b</math>), калі дзель існуе, то яна адзіная{{sfn|Арифметика|1951|с=150—151}}. Пашырэнне цэлых лікаў за кошт паняццяў множання і дзялення прыводзіць да азначэння рацыянальных лікаў{{sfn|Арифметика|1951|с=172—179}}. Яшчэ ў 1710 годзе [[Хрысціян фон Вольф|Вольф]] выказаў патрабаванне, што ўжо вядомыя законы выканання арыфметычных дзеянняў з цэлымі лікамі не могуць напрамую прымяняцца для дробаў і павінны быць абгрунтаваны. Сама абгрунтаванне было распрацавана толькі ў XIX ст. з выкарыстаннем прынцыпа пастаянства фармальных законаў{{sfn|Депман|1965|с=258—262}}.

{{рамка}}
''Азначэнне.'' [[Поле (алгебра)|Полем]] [[Рацыянальны лік|рацыянальных лікаў]] называецца мінімальнае поле <math>\Q</math>, якое ўтрымлівае кальцо <math>\Z</math> цэлых лікаў і валодае наступнымі ўласцівасцямі{{sfn|Арифметика|1951|с=172—178}}:
* складанне і множанне цэлых лікаў супадаюць з аднайменнымі аперацыямі над лікамі ў кальцы <math>\Z</math>;
* поле <math>\Q</math> не ўтрымлівае нетрывіяльнага падполя, якое ўтрымлівала бы <math>\Z</math>.

Элементы поля <math>\Q</math> называюцца рацыянальнымі лікамі.
{{/рамка}}

Поле <math>\Q</math> існуе і з’яўляецца адзіным з дакладнасцю да ізамарфізма, а кожны яго элемент ровен дзелі цэлых лікаў. Як і для цэлых лікаў, пры пабудове поля рацыянальных лікаў выкарыстоўваюць мноства пар <math>(a,\;b)</math>, але цяпер ужо цэлых лікаў, пры гэтым <math>b\ne 0</math>. Для пар вызначаюць эквівалентнасць, складанне і множанне наступным чынам{{sfn|Арифметика|1951|с=172—178}}:
* <math>(a,\;b)</math> эквівалентна <math>(c,\;d)</math> тады і толькі тады, калі <math>ad=bc,</math>
* <math>(a,\;b)+(c,\;d)=(ad+bc,\;bd),</math>
* <math>(a,\;b)\cdot(c,d)=(ac,\;bd).</math>

=== Рэчаісныя лікі ===
У другой палавіне XIX ст. было прапанавана тры розныя тэарэтычныя пабудовы [[рэчаісны лік|сапраўдных лікаў]]. Найбольш папулярнай з’яўляецца пабудова [[Юліус Вільгельм Рыхард Дэдэкінд|Дэдэкінда]]. [[Георг Фердынанд Людвіг Філіп Кантар|Кантар]] у сваёй пабудове выкарыстоўваў тэорыю граніц{{sfn|Арифметика|1951|с=188}}.

{{рамка}}
''Азначэнне.'' Полем рэчаісных лікаў называецца непарыўнае поле <math>\R</math>, якое ўтрымлівае ў якасці падполя поле <math>\Q</math> рацыянальных лікаў. Элементы поля <math>\R</math> называюцца рэчаіснымі лікамі{{sfn|Арифметика|1951|с=202}}.
{{/рамка}}

Поле <math>\R</math> існуе і з’яўляецца адзіным з дакладнасцю да ізамарфізма, а кожны яго элемент ровен граніцы паслядоўнасці рацыянальных лікаў{{sfn|Арифметика|1951|с=202}}.

=== Камплексныя лікі ===
{{рамка}}
''Азначэнне.'' Полем [[Камплексны лік|камплексных лікаў]] называецца мінімальнае поле <math>\Complex</math>, якое ўтрымлівае поле <math>\R</math> рэчаісных лікаў і элемент <math>i</math> такі, што <math>i^2=-1</math>, і валодае наступнымі ўласцівасцямі{{sfn|Арифметика|1951|с=228}}:
* складанне і множанне цэлых лікаў супадаюць з аднайменнымі аперацыямі над лікамі ў поле <math>\R</math>;
* поле <math>\Complex</math> не ўтрымлівае нетрывіяльнага падполя, якое ўтрымлівала бы <math>\R</math>.
Элементы поля <math>\Complex</math> называюцца камплекснымі лікамі.
{{/рамка}}

Поле <math>\Complex</math> з’яўляецца [[Алгебраічна замкнутае поле|алгебраічна замкнутым]]. Пры пабудове поля камплексных лікаў выкарыстоўваецца мноства [[Пара, матэматыка|ўпарадкаваных пар]] <math>(a,\;b)</math>. Для пар вызначаюць эквівалентнасць, складанне і множанне наступным чынам:
* <math>(a,\;b)</math> эквівалентна <math>(c,\;d)</math> тады і толькі тады, калі <math>a=c</math> і <math>b=d</math>,
* <math>(a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),</math>
* <math>(a,\;b)\cdot(c,\;d)=(ac-bd,\;bc+ad).</math>

== Фармальная арыфметыка ==
[[Матэматычная логіка|Логіка-матэматычная]] пабудова носіць назву [[Фармальная сістэма|фармальнай арыфметыкі]]<ref name="bse_formal"/>. Пераход да логікі звязан з падыходам школы [[Давід Гільберт|Гільберта]], які разглядаў замест лікаў абстракцыі і меркаваў для іх вернымі асноўныя арыфметычныя законы{{sfn|Клейн|1987|с=26—35}}. Для абгрунтавання арыфметыкі было прапанавана некалькі варыянтаў аксіяматыкі. Акрамя сістэмы аксіём Пеана, у якой вызначаныя і складанне, і множанне, існуе [[Арыфметыка Прэсбургера|сістэма аксіём Прэсбургера]], у якой вызначана толькі складанне, а таксама аксіёмы, у якіх вызначаны складанне, множанне і ўзвядзенне ў ступень. Часта ў якасці аксіём уключаюць усе ўласцівасці аперацый{{sfn|Avigad|2003|p=260}}{{sfn|Нечаев|1975|с=52—53}}. Усе гэтыя аксіяматычныя тэорыі заснаваныя на мностве цэлых лікаў і не ўключаюць у сябе [[Аксіяматыка тэорыі мностваў|парадоксы тэорыі мностваў]]. Іншыя даследчыя падыходы выводзяць арыфметыку з аксіём тэорыі мностваў або матэматычнай логікі<ref name="bse_method"/>. Для зручнасці даследавання аксіёмы запісваюць на спецыяльнай фармальнай мове [[Логіка першага парадку|матэматычнай логікі]]<ref name="bse_formal"/>. Яна ўтрымлівае <math>0</math>, лікавыя пераменныя, сімвалы (<math>=, +, \cdot, '</math>) і лагічныя звязкі (<math>\And, \leftarrow, \forall, \exists, \lor, \mathcal{e}</math>), пастулатамі з’яўляюцца пастулаты прэдыкатаў злічэння<ref name="MathEnc_FormArith"/>. Аксіёма індукцыі ўяўляе сабой бесканечны набор аксіём, які нельга замяніць ніякім канечным мноствам<ref name="bse_formal"/>.

У ідэале базавы набор аксіём павінен валодаць трыма якасцямі<ref name="bse"/>:
* [[Несупярэчлівасць]] — аксіёмы не павінны канфліктаваць адна з адной;
* [[Незалежнасць сістэмы аксіём|Незалежнасць]] — сярод аксіём не павінна быць лішніх, якія лагічна выводзяцца з іншых аксіём;
* [[Фармальная сістэма#Паўната|Паўната]] — набор аксіём павінен быць дастатковы для таго, каб любую правільна сфармуляваную тэарэму можна было даказаць ці абвергнуць.

Арыфметыка натуральных лікаў мае вялікае значэнне для абгрунтавання матэматычных тэорый: з яе несупярэчлівасці вынікае несупярэчлівасць арыфметыкі сапраўдных лікаў, якая ў сваю чаргу дазваляе, карыстаючыся метадам мадэлей, паказаць несупярэчлівасць [[Эўклідава геаметрыя|эўклідавай геаметрыі]] і [[Геаметрыя Лабачэўскага|геаметрыі Лабачэўскага]]<ref name="bse"/><ref name="bse_method"/>. Доказам несупярэчлівасці арыфметыкі ў сістэме Пеана і роднасных ёй аксіяматычных сістэмах беспаспяхова займаўся Гільберт у пачатку XX стагоддзя. Пасля адкрыцця ў 1930 годзе [[Тэарэма Гёдэля аб непаўнаце|тэарэмы Гёдэля аб непаўнаце]] стала ясна, што ў падобных простых сістэмах гэта немагчыма. Доказ несупярэчлівасці быў праведзены ў 1936 годзе [[Герхард Генцэн|Генцэнам]] з выкарыстаннем разнавіднасці [[Трансфінітная індукцыя|трансфінітнай індукцыі]]<ref name="bse_formal"/>.

Для даследавання незалежнасці кожная аксіёма па чарзе замяняецца на процілеглую і затым будуецца мадэль, дзе атрыманы набор аксіём выконваецца. Калі замененая аксіёма залежная, г.зн. лагічна выцякае з іншых аксіём, то замена яе на процілеглую, відавочна, прыводзіць да супярэчлівай сістэмы аксіём, і пабудова мадэлі немагчыма. Такім чынам, калі мадэль удаецца пабудаваць, то адпаведная аксіёма незалежная{{sfn|Нечаев|1975|с=48}}. Такім спосабам было даказана, што ўсе аксіёмы Пеана незалежныя адна ад адной{{sfn|Нечаев|1975|с=68—72}}.

Сродкамі фармальнай арыфметыкі, якая будуецца на аксіёмах Пеана, можна запісаць тэарэмы тэорыі лікаў, якія даказваюцца без выкарыстання матэматычнага аналізу, а таксама [[Рэкурсія|рэкурсіўныя]] функцыі і іх уласцівасці<ref name="MathEnc_FormArith"/>. Яна эквівалентная [[Аксіяматыка тэорыі мностваў|аксіяматычнай тэорыі мностваў]] Цэрмела — Фрэнкеля без [[Аксіёма бесканечнасці|аксіёмы бесканечнасці]]. Разам з тым даказаная ў 1929 годзе [[тэарэма Гёдэля аб паўнаце]] паказала, што аксіяматыка Пеана няпоўная, г.зн. існуюць арыфметычныя тэарэмы, якія нельга ні даказаць, ні абвергнуць. У той час як арыфметыка поўная адносна формул віду <math>\exists x_1 \dots \exists x_k (P=Q)</math>, існуюць тэарэмы віду <math>\forall x_1 \dots \forall x_9 (P\neq Q)</math>, якія сцвярджаюць праўдзівы факт, але іх немагчыма вывесці<ref name="bse_formal"/>. Удалося знайсці і канкрэтныя прыклады тэарэм: {{нп3|тэарэма Гудстэйна||en|Goodstein's theorem}}, {{нп3|Тэарэма Пэрыса – Харынгтана||en|Paris–Harrington theorem}} і іншыя.

== Гісторыя ==
{{main|Гісторыя арыфметыкі}}

=== Старажытныя матэматычныя тэксты і сістэмы злічэння ===
[[Файл:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|300px|thumb|right|Частка папіруса Райнда]]
[[Матэматыка ў Старажытным Егіпце|Егіпецкія матэматычныя тэксты]] асаблівую ўвагу надавалі вылічэнням і ўзнікаючым пры гэтым складанасцям, ад якіх у многім залежалі метады рашэння задач. Матэматычныя [[папірус]]ы [[Старажытны Егіпет|Старажытнага Егіпта]] былі састаўлены для навучальных мэт{{sfn|История математики, т. I|1970|с=19—20}}, яны ўтрымлівалі задачы з рашэннямі, дапаможныя табліцы і правілы дзеянняў над цэлымі лікамі і [[дроб]]амі, сустракаюцца [[Арыфметычная прагрэсія|арыфметычныя]] і [[Геаметрычная прагрэсія|геаметрычныя прагрэсіі]], а таксама [[Ураўненне|ўраўненні]]<ref name="bse"/>. Егіпцяне карысталіся [[Дзесятковая сістэма злічэння|дзесятковай сістэмай злічэння]]{{sfn|Депман|1965|с=49—52}}. Егіпцяне зналі такія арыфметычныя аперацыі, як складанне, падваенне і дапаўненне дробу да адзінкі. Любое памнажэнне на цэлы лік і дзяленне без астачы праводзіліся з дапамогай шматразовага паўтарэння аперацыі падваення, што прыводзіла да грувасткіх вылічэнняў, у якіх удзельнічалі пэўныя члены паслядоўнасці <math>1,2,4,8,16, ...</math>{{sfn|История математики, т. I|1970|с=23—24}}. У Егіпце знайшлі прымяненні толькі [[Егіпецкія дробы|аліквотныя дробы]], ці долі адзінкі (<math>1/n</math>), а ўсе астатнія дробы раскладаліся на суму аліквотных{{sfn|История математики, т. I|1970|с=25}}. Пры вызначэнні [[Плошча фігуры|плошчы квадрата]], [[Аб'ём, геаметрыя|аб’ёму куба]] ці знаходжанні стараны квадрата па яго плошчы егіпцяне сутыкаліся з узвядзеннем у ступень і здабываннем кораня, хаця назвы гэтым аперацыям яшчэ не было{{sfn|История математики, т. I|1970|с=23—24}}.

[[Файл:Babylonian numerals.svg|thumb|right|300 px|[[Вавілонскія лічбы]]]]
[[Вавілонская матэматыка|Вавілонскія]] [[клінапіс]]ныя матэматычныя тэксты выкарыстоўвалі [[Шасцідзесятковая сістэма злічэння|шасцідзесятковую сістэму злічэння]], характэрную яшчэ для [[шумер]]аў{{sfn|История математики, т. I|1970|с=34}}, і прадстаўлялі сабой навучальныя дапаможнікі, якія ўключаюць [[Табліца множання|табліцы множання]] для лікаў ад <math>1</math> да <math>59</math>, а таксама табліцы [[адваротны лік|адваротных лікаў]], табліцы квадратаў і кубоў лікаў натуральнага рада, табліцы вылічэння [[працэнт]]аў, дробы з асноваю <math>60</math><ref name="bse"/>{{sfn|Депман|1965|с=49—52}}. Пры рашэнні арыфметычных задач вавіланяне апіраліся на [[Прапорцыя, матэматыка|прапорцыі]] і прагрэсіі. Яны зналі формулу сумы <math>n</math> членаў арыфметычнай прагрэсіі, правіла для суміравання геаметрычнай прагрэсіі, рашалі задачы на працэнты{{sfn|История математики, т. I|1970|с=40}}. У Вавілоне зналі мноства [[Піфагорава тройка|піфагоравых троек]], для пошуку якіх, верагодна, карысталіся невядомым агульным прыёмам. У цэлым задача знаходжання цэлых і рацыянальных рашэнняў ураўнення <math>x^2+y^2=z^2</math> адносіцца да тэорыі лікаў{{sfn|История математики, т. I|1970|с=50}}. Геаметрычныя задачы прывялі да неабходнасці прыбліжанага здабывання [[Квадратны корань|квадратных каранёў]], якія яны выконвалі, карыстаючыся правілам <math>\sqrt {a^2+r} \approx a + \frac {r}{2a}</math> і ітэрацыйнымі метадамі для далейшага прыбліжэння выніку{{заўвага|Няхай трэба знайсці корань з <math>N=a^2+r</math>, <math>a</math> — першае прыбліжэнне з недастачай, <math>b=N/a</math> — прыбліжэнне з лішкам. Другое прыбліжэнне ўтвараецца па формуле сярэдняга арыфметычнага <math>a_1=(a+b)/2</math><math></math>, і яму адпавядае <math>b_1=N/a_1</math><math></math>, і так далей){{sfn|История математики, т. I|1970|с=46—47}}.}}.

[[Файл:Diophantus text.gif|thumb|300px|Ліст з «Арыфметыкі» Дыяфанта (рукапіс XIV ст.). У верхнім радку запісана ўраўненне: <math>x^3 \cdot 8 - x^2 \cdot 16 = x^3</math>|right]]
Найстаражытнейшыя [[Матэматыка ў Старажытнай Грэцыі|грэчаскія матэматычныя]] тэксты адносяцца да XIV—VII ст. да н. э.{{sfn|Депман|1965|с=53—54}} Першапачаткова грэкі карысталіся [[Атычная сістэма злічэння|атычнай нумарацыяй]], якую з часам замяніла кампактная літарная, ці [[Грэчаская сістэма злічэння|іанічная]]{{sfn|История математики, т. I|1970|с=62}}. Развіццё старажытнагрэчаскай арыфметыкі належыць [[Піфагарэізм|піфагарэйскай школе]]. Піфагарэйцы меркавалі спачатку, што адносіну любых двух адрэзкаў можна выразіць цераз адносіну цэлых лікаў, г.зн. [[геаметрыя]] прадстаўляла сабой арыфметыку рацыянальных лікаў. Яны разглядалі толькі цэлыя дадатныя лікі і вызначалі лік як збор адзінак. Вывучаючы ўласцівасці лікаў, яны разбілі іх на [[Цотныя і няцотныя лікі|цотныя і няцотныя]] (як прыкмета дзялімасці на два), [[Просты лік|простыя]] і [[Састаўны лік|састаўныя]], знайшлі бесканечнае мноства піфагоравых троек{{sfn|История математики, т. I|1970|с=68—69}}. У 399 годзе да н. э. з'явілася агульная тэорыя дзялімасці, якая належыць, відаць, [[Тээтэт Афінскі|Тээтэту]], вучню [[Сакрат]]а. [[Еўклід]] прысвяціў ёй кнігу VII i частку кнігі IX «[[Пачаткі Еўкліда|Пачаткаў]]». У аснове тэорыі ляжыць [[алгарытм Еўкліда]] для знаходжання [[Найбольшы агульны дзельнік|найбольшага агульнага дзельніка]] двух лікаў. З алгарытму вынікае [[Асноўная тэарэма арыфметыкі|той факт]], што любы лік можна раскласці на простыя, прычым такое раскладанне адзінае{{sfn|История математики, т. I|1970|с=74—76}}.

Разам з тым піфагарэйцам належыць доказ несувымернасці дыяганалі і стараны адзінкавага квадрата. Дадзенае адкрыццё паказала, што адносін цэлых лікаў недастаткова для выражэння адносін любых адрэзкаў, і на гэтай аснове немагчыма будаваць метрычную геаметрыю{{sfn|История математики, т. I|1970|с=73}}. Першае вучэнне аб ірацыянальнасцях належыць Тээтэту. Алгарытм Еўкліда дазваляе вызначыць няпоўныя дзелі раскладання рацыянальнага ліку ў [[непарыўны дроб]]. Разам з тым паняцце непарыўнага дробу ў Старажытнай Грэцыі не ўзнікла{{sfn|История математики, т. I|1970|с=74—76}}. У III стагоддзі [[Дыяфант Александрыйскі|Дыяфант]] пачаў пабудову [[Алгебра|алгебры]] з апорай не на геаметрыю, а на арыфметыку. Дыяфант таксама пашырыў лікавую вобласць на [[Адмоўны лік|адмоўныя лікі]]{{sfn|История математики, т. I|1970|с=144—146}}.

[[Рымскія лічбы|Рымская сістэма нумарацыі]] была мала прыстасаваная для вылічэнняў. Рымскія лічбавыя знакі ўзніклі да з'яўлення алфавіта і не паходзяць ад яго літар. Лічыцца, што першапачаткова лікі ад <math>1</math> да <math>9</math> абазначыліся адпаведнай колькасцю вертыкальных рысачак, а іх перакрэсліванне азначала ўдзесяцярэнне ліку (адсюль лік <math>X</math>). Адпаведна, каб атрымаць лік <math>100</math>, палачку перакрэслівалі два разы. Пасля адбылося спрашчэнне сістэмы{{sfn|Депман|1965|с=57—58}}. У цяперашні час яна ўжываецца ў асноўным для абазначэння парадкавых лікаў.

Да XIV стагоддзя [[Матэматыка ў Старажытным Кітаі|матэматыка Кітая]] ўяўляла сабой набор вылічальных алгарытмаў для рашэння на [[Суаньпань|лічыльнай дошцы]]{{sfn|История математики, т. I|1970|с=178}}. Арыфметычныя аперацыі складання і аднімання, якія рабіліся на лічыльнай дошцы, не патрабавалі дадатковых табліц, для множання ж існавала табліца ад <math>1 \times 1</math> да <math>9 \times 9</math>. Дзеянні множання і дзялення рабіліся пачынаючы са старэйшых разрадаў, пры гэтым прамежкавыя вынікі выдаляліся з дошкі, што рабіла праверку немагчымай. Спачатку множанне і дзяленне былі незалежнымі аперацыямі, але затым [[Сунь Цзы, матэматык|Сунь Цзы]] адзначыў іх узаемную адваротнасць{{sfn|История математики, т. I|1970|с=160—161}}. У Кітаі ўмелі рашаць задачы з дапамогай [[правіла двух ілжывых палажэнняў|правілы двух ілжывых палажэнняў]]{{sfn|История математики, т. I|1970|с=163—164}}, а для рашэння [[Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў|сістэм лінейных ураўненняў]] былі ўведзеныя адмоўныя лікі. Спачатку яны выкарыстоўваліся толькі ў працэсе разлікаў і к канцу вылічэнняў выдаляліся з дошкі, затым кітайскія навукоўцы сталі тлумачыць іх як доўг або недастачу{{sfn|История математики, т. I|1970|с=167—169}}.

=== Арыфметыка ў Сярэдневякоўі ===
[[Файл:Indian numerals 100AD.svg|thumb|right|300px|Індыйскія лічбы (I стагоддзе н. э.) i адпаведныя ім сучасныя лічбы]]
[[Пазіцыйная сістэма злічэння]] (дзесяць [[Лічбы|лічбаў]], уключаючы [[Нуль, лічба|нуль]]) была ўведзена ў [[Індыя|Індыі]]. Яна дазволіла распрацаваць параўнальна простыя правілы выканання арыфметычных аперацый<ref name="bse"/>. Асноўнымі арыфметычнымі дзеяннямі ў Індыі лічыліся складанне, адніманне, множанне, дзяленне, узвядзенне ў квадрат і куб, здабыванне квадратных і кубічных каранёў, для якіх былі распрацаваны правілы. Вылічэнні праводзіліся на лічыльнай дошцы з пяском ці пылам або проста на зямлі і запісваліся палачкай{{sfn|История математики, т. I|1970|с=183—185}}. Індыйцы ведалі дробы і ўмелі здзяйсняць аперацыі над імі, прапорцыі, прагрэсіі{{sfn|История математики, т. I|1970|с=185}}. Ужо з VII стагоддзя н. э. яны карысталіся адмоўнымі лікамі, інтэрпрэтуючы іх як доўг, а таксама ірацыянальнымі лікамі{{sfn|История математики, т. I|1970|с=190—191}}.

[[Файл:Dixit algorizmi.png|thumb|200px|left|Старонка лацінскага перакладу кнігі «Аб індыйскім лічэнні»]]
У пачатку IX стагоддзя Мухамед iбн-Муса ал-Харэзмі напісаў кнігу «Аб індыйскім лічэнні». Падручнік утрымліваў рашэнні практычных задач «рознага роду і сорту» і быў першай кнігай, напісанай з выкарыстаннем пазіцыйнай сістэмы злічэння, да гэтага лічбамі карысталіся толькі для вылічэнняў на лічыльнай дошцы{{sfn|Депман|1965|с=72—78}}{{sfn|История математики, т. I|1970|с=209—210}}. У XII стагоддзі [[Адэлард Бацкі|Адэлардам]] і [[Іаан Севельскі|Іаанам Севельскім]] было зроблена два пераклады кнігі на [[лацінская мова|лацінскую мову]]{{sfn|Депман|1965|с=90—94}}. Яе арыгінал не захаваўся, але ў 1857 годзе пад назвай «Алхарэзмі аб індыйскім ліку» быў выдадзены знойдзены лацінскі пераклад{{sfn|Депман|1965|с=72—78}}. У трактаце апісваецца выкананне з дапамогай індыйскіх лічбаў на лічыльнай дошцы такіх арыфметычных дзеянняў, як складанне, адніманне, падваенне, множанне, раздваенне, дзяленне і здабыванне квадратнага кораня{{sfn|История математики, т. I|1970|с=211—212}}. Множанне дробаў, як і дзяленне, разглядалася з дапамогай прапорцый: <math>a</math> памножыць на <math>b</math> было раўназначна пошуку такога <math>q</math>, што <math>q:a=b:1</math>. Гэтая тэорыя была асновай арабскай арыфметыкі. Аднак пры гэтым існавала і іншае злічэнне дробаў, якое прадстаўляла любы дроб у выглядзе сумы аліквотных дробаў{{sfn|История математики, т. I|1970|с=212—214}}. Для рашэння задач арабы карысталіся [[Трайное правіла|трайным правілам]], якое прыйшло з Індыі і было апісана разам з шэрагам іншых прыёмаў у «Кнізе аб індыйскіх рашыках» аль-Біруні, правілам двух ілжывых палажэнняў, якое прыйшло з Кітая і атрымала тэарэтычнае абгрунтаванне ў «кнізе аб правіле двайнога ілжывага палажэння» [[Куста ібн Лукка|Кусты ібн Луккі]]{{sfn|История математики, т. I|1970|с=218—219}}.

Праз [[Іспанія|Іспанію]] і [[Сіцылія|Сіцылію]] ў X стагоддзі пачалі завязвацца навуковыя сувязі Еўропы з арабскім светам. У гэты час [[Каталонія|Каталонію]] наведаў вучоны манах Герберт, які стаў пазней [[Папства|папам]] [[Сільвестр II|Сільвестрам II]]. Яму прыпісваюць такія сачыненні, як «Кніжка аб дзяленні лікаў» і «Правілы лічэння на абаку». У абедзвюх кнігах лікі напісаныя словамі ці рымскімі лічбамі{{sfn|История математики, т. I|1970|с=254—256}}. Герберт называў вылічальнікаў на абаку «абацыстамі». У XII—XIII стагоддзях у Еўропе з'явіліся лацінскія пераклады арабскіх кніг па арыфметыцы. Прыхільнікі прадстаўленай у кнігах дзесятковай пазіцыйнай нумарацыі сталі называцца «алгарыстамі» па імені арабскага матэматыка ал-Харэзмі ў лацінскай форме{{sfn|История математики, т. I|1970|с=256—257}}. У пачатку XIII стагоддзя ў Заходняй Еўропе існавала дзве сістэмы злічэння: старая, заснаваная на абаку, якую падтрымліваў Герберт, і новая, пазіцыйная індыйская сістэма, якую падтрымліваў Леанарда Фібаначы. Паступова новая сістэма ўзяла верх{{sfn|Депман|1965|с=90—94}}{{sfn|Арифметика|1951|с=50—57}}. Асноўнай яе перавагай з'яўляецца спрашчэнне арыфметычных аперацый. Разам з тым у Германіі, Францыі і Англіі новыя лічбы не ўжываліся да канца XV стагоддзя. Выцясненне старой нумарацыі адбылося толькі ў XVI—XVII стагоддзях{{sfn|Арифметика|1951|с=50—57}}.

У 1427 годзе [[ал-Кашы]] апісаў сістэму [[Дзесятковы дроб|дзесятковых дробаў]], якая пачала паўсюдна ўжывацца пасля твораў [[Сіман Стэвін|Стевіна]] ў 1585 годзе<ref name="bse"/>. Стэвін хацеў як мага шырэй распаўсюдзіць дзесятковую сістэму. Іменна таму ён напісаў свае сачыненні на [[Французская мова|французскай]] і [[Фламандскія дыялекты|фламандскай]] мовах, а не на [[Лацінская мова|латыні]]. Акрамя таго, ён стаў энергічна змагацца за ўвядзенне дзесятковай сістэмы мер{{sfn|Арифметика|1951|с=57—71}}.

=== Арыфметыка Новага часу ===
[[Файл:Tables generales aritmetique MG 2108.jpg|200px|thumb|right|Арыфметычныя табліцы. 1835]]
У XVII стагоддзі [[Астранамічная навігацыя|мараходная астраномія]], [[механіка]], больш складаныя камерцыйныя разлікі паставілі перад арыфметыкай новыя запыты да тэхнікі вылічэнняў і далі штуршок к далейшаму развіццю. Значна змянілася паняцце ліку. Калі раней да вобласці лікаў у большасці сваёй адносілі толькі дадатныя рацыянальныя лікі, то пачынаючы з XVI стагоддзя ўсё больш прызнаваліся ірацыянальныя і адмоўныя лікі. [[Ісаак Ньютан|Ньютан]] ў сваіх лекцыях дзеліць лікі на тры віды: цэлыя (вымяраюцца адзінкай), дробавыя (кратныя долі адзінкі) і ірацыянальныя (несувымерныя з адзінкай). З 1710 такое вызначэнне ліку трывала ўваходзіць ва ўсе падручнікі{{sfn|История математики, т. II|1970|с=34—36}}.

У пачатку XVII стагоддзя [[Джон Непер|Непер]] вынайшаў [[лагарыфм]]ы. Прымяненне лагарыфмаў і дзесятковых дробаў, уключэнне ў арыфметыку паняцця [[Ірацыянальны лік|ірацыянальнага ліку]], як паслядоўнасці рацыянальных прыбліжэнняў, пашырылі вобласць ужывання арыфметыкі к канцу XVII стагоддзя і вызначылі фундаментальнае значэнне навукі для вывучэння [[Непарыўнае адлюстраванне|непарыўных]] велічынь<ref name="bse"/>.

З працамі [[Мікалай Іванавіч Лабачэўскі|Лабачэўскага]] па [[Геаметрыя Лабачэўскага|геаметрыі]] звязаны працэс крытычнага перагляду асноў матэматыкі, які здарыўся ў XIX стагоддзі. Яшчэ ў XVIII стагоддзі пачаліся спробы тэарэтычнага абгрунтавання уяўленняў аб ліку. Лейбніц першы паставіў задачу [[дэдуктыўны вывад|дэдуктыўнай]] пабудовы арыфметыкі і, сярод іншага, паказаў неабходнасць доказу роўнасці «два плюс два роўна чатыры» у сваіх «Новых вопытах аб чалавечым розуме» ў 1705 годзе. У спробах вырашыць гэтае пытанне свае аксіёмы прадставілі [[Хрысціян фон Вольф|Вольф]] ў 1770 годзе, [[Іаган Фрыдрых Шульц, матэматык|Шульц]] ў 1790 годзе, [[Марцін Ом|Ом]] ў 1822 годзе, [[Герман Гюнтэр Грасман|Грасман]] ў 1861 годзе і, нарэшце, [[Джузэпэ Пеана|Пеана]] ў 1889 годзе{{sfn|История математики, т. III|1972|с=47—49}}.

У 1758 годзе у «Першых асновах арыфметыкі, геаметрыі, плоскай і сферычнай трыганаметрыі і перспектывы» [[Аўраам Готгельф Кестнер|Кестнер]] выступіў за абгрунтаванне ўсіх арыфметычных паняццяў цераз цэлы лік. Такім чынам ён вызначыў, па парадку ў яго кнізе, натуральныя лікі, дробы, адмоўныя лікі, дзесятковыя дробы, ірацыянальныя лікі і толькі затым тэорыю адносін{{sfn|История математики, т. III|1972|с=49—52}}. У фарміраванні тэорыі адмоўных лікаў асноўную праблему складала сцвярджэнне, што адмоўны лік менш за нуль, г.зн. менш, чым нічога{{sfn|История математики, т. III|1972|с=52—56}}.

Поўнае геаметрычнае тлумачэнне камплексных лікаў было прапанавана [[Каспар Весель|Каспарам Веселем]] у «Вопыце аб аналітычным прадстаўленні напрамку і яго ужываннях, пераважна да рашэння плоскіх і сферычных многавугольнікаў» у 1799 годзе. Весель спрабаваў абагульніць тэорыю на трохмерную прастору, але гэта яму не ўдалося. Пытанне заставалася адкрытым да таго часу, пакуль [[Уільям Роўэн Гамільтан|Гамільтан]] не пабудаваў тэорыю [[кватэрніён]]аў, пры памнажэнні якіх не выконваецца [[перамяшчальны закон]]. Далейшыя даследаванні [[Карл Веерштрас|Веерштраса]], [[Фердынанд Георг Фрабеніус|Фрабеніуса]] і [[Бенджамін Пірс|Пірса]] паказалі, што адмовіцца ад якога-небудзь з арыфметычных законаў прыйдзецца пры любым пашырэнні паняцця ліку за межы камплексных лікаў{{sfn|История математики, т. III|1972|с=61—66}}.

== Арыфметыка ў адукацыі ==
Утварэнне арыфметычных паняццяў цесна звязана з працэсам лічэння. У яго аснове ляжаць такія элементы разумовай дзейнасці, як уменне пазнаваць прадмет; адрозніваць прадметы; падзяляць сукупнасць прадметаў на элементы, раўнапраўныя пры лічэнні (іншымі словамі, карыстацца адзінкай лічэння); уменне размяшчаць элементы [[Паслядоўнасць|паслядоўна]], парадкаваць іх, што прыводзіць да лічэння розных па якасці прадметаў і ўтварэння паняцця ліку. Падобныя працэсы можна назіраць пры засваенні паняццяў дзецьмі<ref name="bse"/>.

{{Урэзка
|Загаловак = Баэцый аб арыфметыцы<ref name="de"/>
|Шырыня = 250px
|Выраўноўванне = right
|Змест = Дык вось, якую ж з дысцыплін трэба вывучаць першай, калі не тую, што з'яўляецца пачаткам і выконвае як бы ролю маці ў адносінах да іншых [дысцыплін]? Такая як раз арыфметыка. Яна папярэднічае ўсім іншым не толькі таму, што сам Бог, творца гэтага сусвету, узяў яе першай за ўзор свайго мыслення і па яе [прынцыпе] зрабіў усё, што цераз лікі сілай творчага Розуму здабыла гармонію ва ўстаноўленым парадку, але і таму арыфметыка аб'яўляецца папярэдняй, што калі выключыць папярэднія па сваёй прыродзе сутнасці, адразу ж знікаюць і наступныя. Калі гінуць наступныя, то нічога ў статусе папярэдняй субстанцыі не мяняецца.}}

Стандарты пачатковай адукацыі мяркуюць навыкі лічэння і параўнання лікаў да мільёна, работу з асноўнымі адзінкамі вымярэння і суадносінамі паміж імі, выкананне чатырох асноўных арыфметычных аперацый (вусна да 100 і пісьмова да {{num|10000}}), а таксама дзялення з астачай, пошук значэння лікавага выразу, які складаецца з некалькіх арыфметычных дзеянняў<ref name="fgos_n"/><ref name="fgos_n_book"/>. Школьны матэрыял падаецца з дапамогай наглядных уяўленняў. У першым класе дзеці маюць справу з лікавымі вобразамі і колькасцямі прадметаў, лічэнне ідзе да 20. У другім класе ўводзяць дзесятковую сістэму, пазіцыйную сістэму, табліцу множання, лічэнне ідзе да 100. У трэцім класе вывучаюць арыфметычныя дзеянні з мнагазначнымі лікамі. Наступным крокам ідзе пераход да літарных абазначэнняў, іншымі словамі — ад канкрэтнага да абстрактнага. Іменна з гэтага, на думку Клейна, і пачынаецца матэматыка{{sfn|Клейн|1987|с=20—23}}. Цяжкасць вывучэння арыфметыкі ў пачатковай школе заключаецца ў тым, што неабходна ажыццяўляць лічэнне адцягнена ад прыроды прадметаў{{sfn|Депман|1965|с=1—3, 103—109}}.

Навучанне ў сярэдняй школе звязана з пашырэннем паняцця ліку, уводзяць дробы і дзеянні над імі, адмоўныя лікі, ірацыянальныя лікі{{sfn|Клейн|1987|с=37}}.

У сучасным свеце [[Лікавая граматнасць|матэматычная граматнасць]] з'яўляецца адной з асноўных мэт адукацыі. Яна ўключае ў сябе, сярод іншага, уменне здзяйсняць арыфметычныя дзеянні, праводзіць падлікі і вымярэнні<ref name="hse"/>. Пытаннямі матэматычнай граматнасці дзяцей і дарослых займаюцца такія арганізацыі, як [[ЮНІСЕФ]] і [[ЮНЕСКА]]<ref name="unicef"/><ref name="unesco"/>.

Разам з тым доўгі час навучанне арыфметычным дзеянням зводзілася да механічнага выкананню узораў. У Старажытным Кітаі вялікая ўвага надавалася навучанню матэматыцы, уключаючы здачу экзаменаў. У Імператарскай акадэміі матэматыка вывучалася сем гадоў. Аднак класічныя матэматычныя трактаты разглядаліся як догма і перавыдаваліся без змен{{sfn|История математики, т. I|1970|с=157}}.

У Еўропе сістэматычныя практыкаванні на складанне, адніманне, множанне і дзяленне былі прапанаваны [[Нікола Тарталья|Тарталья]] ў XVI стагоддзі, але яны яшчэ доўгі час не ўваходзілі ва ўжытак{{sfn|Депман|1965|с=199—203}}. Акрамя таго, у Сярэднія вякі існавалі правілы для рашэння вялікага ліку асобных арыфметычных задач. У некаторых падручніках сустракаецца да 26 такіх правіл, пры гэтым яны могуць не супадаць у розных падручніках{{sfn|Депман|1965|с=305}}. Некаторыя правілы не страцілі сваёй актуальнасці да гэтага часу. Да іх адносяцца прапорцыі (дробы разглядаліся як адносіны двух лікаў, што прыводзіла да разгляду прапорцый для здзяйснення аперацый), працэнты{{sfn|Депман|1965|с=306}}.

Арыфметыка з'яўляецца чацвёртым з [[Сем вольных мастацтваў|сямі вольных мастацтваў]] па ўзроўні навучання. Ёй папярэднічае [[Трывіум]], які складаецца з [[Граматыка|Граматыкі]], [[Рыторыка|Рыторыкі]] і [[Дыялектыка|Дыялектыкі]], а сама яна з'яўляецца старэйшай навукай у [[квадрывіум]]е, да якога таксама адносяцца [[Геаметрыя]], [[Музыка]] і [[Астраномія]]<ref name="brit-liberal-arts"/>. Са з'яўленнем першых еўрапейскіх універсітэтаў матэматыка выкладалася на факультэтах мастацтва як квадрывіум і была дапаможнай дысцыплінай. Першыя лекцыі па арыфметыцы былі прачытаны магістрам [[Венскі ўніверсітэт|Венскага ўніверсітэта]] [[Іаган Гмундэн|Іаганам з Гмундэна]] ў 1412 годзе{{sfn|История математики, т. I|1970|с=259—260}}.

== Арыфметыка ў філасофіі і мастацтве ==
[[Файл:Marten de Vos Seven liberal arts.jpg|thumb|right|350px|[[Марцін дэ Вос]]. Сем сясцёр. 1590]]
Пасля таго як піфагарэйцы выкарыстоўвалі адносіны цэлых лікаў для выражэння геаметрычных адносін адрэзкаў, а таксама аналагічных адносін у гармоніі і музыцы, яны прыйшлі да вываду, што ўсе заканамернасці свету можна апісаць з дапамогай лікаў, а арыфметыка патрэбна для таго, каб выразіць адносіны і пабудаваць мадэль свету{{sfn|История математики, т. I|1970|с=67}}. Разам з тым адным з адкрыццяў піфагарэйцаў з'яўляецца тое, што адносін цэлых лікаў недастаткова для выражэння адносін любых адрэзкаў (дыяганаль і старана квадрата несувымерныя), і на гэтай аснове немагчыма будаваць метрычную геаметрыю{{sfn|История математики, т. I|1970|с=73}}. Праблемы пабудовы канечнай меры і вызначэння сапраўднага ліку агалілі навуковы крызіс у V стагоддзі да н. э., выхадам з якога займаліся ўсе філасофскія школы Старажытнай Грэцыі. Паказаць усе цяжкасці, якія ўзнікаюць пры вырашэнні гэтых праблем, удалося [[Зянон Элейскі|Зянону Элейскаму]] ў яго парадоксах, або [[Апорыі Зянона|апорыях]]{{sfn|История математики, т. I|1970|с=88—89}}.

[[Марцыян Капэла]] ў сваім трактаце «Вяселле Філасофіі і Меркурыя» стварыў візуальныя вобразы ўсіх сямі мастацтваў і ў тым ліку Арыфметыкі. Мастацтвы ўвасаблялі жанчыны з адпаведнымі атрыбутамі, якія суправаджаліся вядомымі прадстаўнікамі сферы. Арыфметыка трымае ў сваіх руках скрыжаль, спісаную лічбамі, або абак. Яе суправаджае Піфагор<ref name="simbol"/>.

Лічэнне было адным з выпрабаванняў [[Буда (тытул)|Буды]]. Пасля спаборніцтваў у [[Стральба з лука|стральбе з лука]], [[бег]]у і [[Плаванне|плаванні]] матэматык Ар'юна загадаў яму назваць усе лікавыя ступені больш за <math>10^9</math>. Буда назваў дваццаць дзве ступені да <math>10^{53}</math> (толькі няцотныя ступені мелі назвы), і гэта быў толькі першае лічэнне, у другім лічэнні Буда працягнуў да <math>10^{421}</math>. Наступным заданнем Буда палічыў лік атамаў у мілі, а затым і ў Сусвеце{{sfn|Меннингер|2011|с=176—179}}. Падобныя «лікавыя лесвіцы» сустракаюцца неаднаразова ў індыйскай рэлігійнай паэзіі, пры гэтым словы для абазначэння лікаў могуць адрознівацца. Прызначэнне такіх лесвіц — падняцца над светам смяротных. У індыйскай кнізе «Лілавацістара» апісваюцца спаборніцтвы паміж жаніхамі гаспадарыні зямлі, прыгожай Гопы, у [[пісьменства]], арыфметыцы, [[Спартыўная барацьба|барацьбе]] і мастацтве кідання стрэл. Выпрабаванням у арыфметыцы прысвечана значная частка твора{{sfn|Арифметика|1951|с=49}}.

Як і ў Індыі, вельмі вялікія лікі, сканструяваныя штучна жрацамі [[Цывілізацыя мая|мая]], гавораць аб імкненні забрацца вышэй па «лікавай лесвіцы», бліжэй да багоў{{sfn|Меннингер|2011|с=82}}.

== Заўвагі ==
{{заўвагі}}

== Крыніцы ==
{{Крыніцы|colwidth=24em|refs=
<ref name="bse">{{cite web|url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/65000/Арифметика|title=Арифметика|publisher=[[Большая советская энциклопедия]]|access-date=2013-01-20|archive-url=https://www.webcitation.org/6BtoHcmjU?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/65000/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0|archive-date=3 лістапада 2012|url-status=live}}</ref>
<ref name="bse_formal">{{cite web|url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/145438/Формальная|title=Формальная арифметика|publisher=[[Большая советская энциклопедия]]|access-date=2013-01-20|archive-url=https://www.webcitation.org/6BtoIYqGV?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/145438/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F|archive-date=3 лістапада 2012|url-status=live}}</ref>
<ref name="bse_method">{{cite web|url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62301/Аксиоматический|title=Аксиоматический метод|publisher=[[Большая советская энциклопедия]]|access-date=2013-01-20|archive-url=https://www.webcitation.org/6EKxKQKhi?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62301/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9|archive-date=10 лютага 2013|url-status=live}}</ref>
<ref name="bse_algebra">{{cite web|url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62556/Алгебра|title=Алгебра|publisher=[[Большая советская энциклопедия]]|access-date=2013-01-20|archive-url=https://www.webcitation.org/6E6ZXGwLN?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/62556/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0|archive-date=1 лютага 2013|url-status=live}}</ref>
<ref name="ebse">{{ВТ-ЭСБЕ|Арифметика, наука}}</ref>
<ref name="brit-liberal-arts">{{cite web|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/339020/liberal-arts|title=Liberal Arts|publisher=Encyclopædia Britannica|access-date=2012-03-20|archive-url=https://www.webcitation.org/67ytPsnR6?url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/339020/liberal-arts|archive-date=27 мая 2012|url-status=live}}{{ref-en}}</ref>
<ref name="brit-arithmetic">{{cite web|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/34730/arithmetic|title=Arithmetic|publisher=Encyclopædia Britannica|author=MacDuffee C. C.|access-date=2012-03-20|archive-url=https://www.webcitation.org/67ytRv4RV?url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/34730/arithmetic|archive-date=27 мая 2012|url-status=live}}{{ref-en}}</ref>
<ref name="simbol">{{cite web|url=http://www.simbolarium.ru/simbolarium/sym-uk-cyr/cyr-s/sv/semj-sv-isk.htm|title=Семь свободных искусств|publisher=Simbolarium|access-date=2012-03-20|archive-url=https://www.webcitation.org/67ytQg2zB?url=http://www.simbolarium.ru/simbolarium/sym-uk-cyr/cyr-s/sv/semj-sv-isk.htm|archive-date=27 мая 2012|url-status=dead}}</ref>
<ref name="col">{{cite web|url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6305/АРИФМЕТИКА|title=Арифметика|publisher=Энциклопедия Кольера|access-date=2013-01-20|archive-url=https://www.webcitation.org/6E6ZYET8N?url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6305/%D0%90%D0%A0%D0%98%D0%A4%D0%9C%D0%95%D0%A2%D0%98%D0%9A%D0%90|archive-date=1 лютага 2013|url-status=live}}</ref>
<ref name="bell-12">
{{кніга |аўтар = Беллюстин В.
  |частка = Глава 12. Число и порядок действий, знаки и определения
  |спасылка частка = http://ru.wikisource.org/wiki/Как_постепенно_дошли_люди_до_настоящей_арифметики/Глава_12/
  |загаловак = Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики 
  |спасылка = http://ru.wikisource.org/wiki/Как_постепенно_дошли_люди_до_настоящей_арифметики
  |месца = М. |выдавецтва=Типография К. Л. Меньшова |год = 1909
  }}</ref>
<ref name="de">
{{кніга |аўтар = Боэций
  |частка = I, 1
  |загаловак = Основы арифметики 
  |спасылка = http://la.wikisource.org/wiki/De_Arithmetica}}</ref>
<ref name="MathEnc_Arith">{{кніга|аўтар=[[Іван Матвеевіч Вінаградаў|Виноградов И. М.]]
 |частка = Арифметика |загаловак= Математическая энциклопедия
 |месца = М. |выдавецтва=Советская энциклопедия |год=1977|том=1}}</ref>
<ref name="MathEnc_FormArith">{{кніга|аўтар=Виноградов И. М.
 |частка = Арифметика формальная|загаловак=Математическая энциклопедия
 |месца = М. |выдавецтва=Советская энциклопедия |год=1977|том=1}}</ref>
<ref name="MathEnc_NumTeo">{{кніга|аўтар=Виноградов И. М.
 |частка = Чисел теория |загаловак=Математическая энциклопедия
 |месца = М. |выдавецтва=Советская энциклопедия |год=1977|том=5}}</ref>
<ref name="MathEnc_ElNumTeo">{{кніга|аўтар=Виноградов И. М.
 |частка = Элементарная теория чисел|загаловак=Математическая энциклопедия
 |месца = М. |выдавецтва=Советская энциклопедия|год=1977|том=5}}</ref>
<ref name="fgos_n">{{cite web|url=http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2768|title=Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа|publisher=Федеральный государственный образовательный стандарт|access-date=2012-12-05|archive-url=https://www.webcitation.org/6CjHCBywo?url=http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2768|archive-date=7 снежня 2012|url-status=dead}}</ref>
<ref name="fgos_n_book">{{кніга |адказны = сост. Е. С. Савинов |загаловак = Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа |спасылка = http://standart.edu.ru/attachment.aspx?id=545 |месца = М. |выдавецтва = Просвещение |год = 2013 |выданне = 4-е |isbn = 9785090264167 |старонак = 223 |старонкі = 32—35 |archive-url = https://web.archive.org/web/20130824091054/http://standart.edu.ru/attachment.aspx?id=545 |archive-date = 24 жніўня 2013 |archiveurl = https://web.archive.org/web/20130824091054/http://standart.edu.ru/attachment.aspx?id=545 |archivedate = 24 жніўня 2013 }}</ref>
<ref name="hse">{{cite web|url=http://www.hse.ru/org/hse/iori/news/55563956.html|title=Грамотность, математические способности и навыки решения задач в технологически развитом обществе|publisher=Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики|access-date=2012-12-05|archive-url=https://www.webcitation.org/6CjHGVVQo?url=http://www.hse.ru/org/hse/iori/news/55563956.html|archive-date=7 снежня 2012|url-status=dead}}</ref>
<ref name="unicef">{{cite web|url=http://www.unicef.org/education/files/QualityEducation.PDF|title=Defining Quality in Education|publisher=[[ЮНІСЕФ]]|access-date=2012-12-05|lang=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20121015092003/http://www.unicef.org/education/files/QualityEducation.PDF|archive-date=15 кастрычніка 2012|url-status=dead}}</ref>
<ref name="unesco">{{cite web|url=http://www.unesco.org/new/en/education/themes/leading-the-international-agenda/education-for-all/efa-goals/|title=Education for All Goals|publisher=[[ЮНЕСКА]]|access-date=2012-12-05|lang=en|archive-url=https://www.webcitation.org/6CjHHftrk?url=http://www.unesco.org/new/en/education/themes/leading-the-international-agenda/education-for-all/efa-goals/|archive-date=7 снежня 2012|url-status=live}}</ref>
}}

== Літаратура ==
{{commonscat|Arithmetic}}
* {{кніга |аўтар = {{нп3|Ігар Уладзіміравіч Арнольд|Арнольд И. В.|uk|}}
  |загаловак = Теоретическая арифметика
  |месца = М. |выдавецтва = Государственное учебно-педагогическое издательство |год = 1938
  |старонак = 481  
  |ref = Арнольд}}
* {{кніга
  |аўтар = {{нп3|Іван Якаўлевіч Дэпман|Депман И. Я.|ru|Депман, Иван Яковлевич}}
  |загаловак = История арифметики
  |спасылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm
  |месца = М.
  |выдавецтва = Просвещение
  |год = 1965
  |старонак = 400
  |ref = Депман
  |archive-url = https://web.archive.org/web/20170514025435/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm
  |archive-date = 14 мая 2017
  |archiveurl = https://web.archive.org/web/20170514025435/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm
  |archivedate = 14 мая 2017
  }}
* {{кніга |аўтар = [[Фелікс Клейн|Клейн Ф.]]
  |загаловак = Элементарная математика с точки зрения высшей |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-1.htm I: Арифметика. Алгебра. Анализ]
  |месца = М. |выдавецтва = Наука |год = 1987
  |старонак = 432
  |ref = Клейн}}
* {{кніга |аўтар = [[Дональд Эрвін Кнут|Кнут Д. Э.]]
  |загаловак = Искусство программирования |частка=Арифметика |том=II 
  |месца = М. 
  |старонак = 830  
  |ref = Кнут}}
* {{кніга |аўтар = {{нп3|Карл Менінгер (матэматык)|Меннингер К.||Karl Menninger (mathematics)}}
  |загаловак = История цифр. Числа, символы, слова 
  |месца = М. |выдавецтва = ЗАО Центрполиграф |год = 2011
  |старонак = 543 |isbn = 9785952449787   
  |ref = Меннингер}}
* {{кніга |аўтар = {{нп3|Васіль Ільіч Нячаеў|Нечаев В. И.|ru|Нечаев, Василий Ильич}}
  |загаловак = Числовые системы 
  |месца = М. |выдавецтва = Просвещение |год = 1975
  |старонак = 199 
  |ref = Нечаев}}
* {{кніга 
  |аўтар=[[Леў Сямёнавіч Пантрагін|Понтрягин Л. С.]] 
  |спасылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm 
  |загаловак=Обобщения чисел 
  |месца=М. 
  |выдавецтва=Наука 
  |год=1986 
  |старонак=120 
  |серыя=Библиотечка «Квант» 
  |ref=Понтрягин 
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20110918063001/http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm 
  |archive-date=18 верасня 2011 
  |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110918063001/http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/pontrjagin.htm 
  |archivedate=18 верасня 2011 
  }}
* {{кніга |аўтар = [[Жан-П’ер Сер|Серр Ж.-П.]]
  |загаловак = Курс арифметики
  |спасылка = http://www.ega-math.narod.ru/Books/Arithm.htm
  |адказны = пер. с франц. {{нп3|Аляксандр Іванавіч Скопін|А. И. Скопина|ru|Скопин, Александр Иванович}} под ред. А. В. Малышева
  |месца = М.
  |выдавецтва = Мир
  |год = 1972
  |старонак = 184
  |ref = Серр}}
* {{кніга 
  |загаловак=История математики: в 3 т.
  |адказны=под ред. {{нп3|Адольф Паўлавіч Юшкевіч|А. П. Юшкевича|ru|Юшкевич, Адольф Павлович}}
  |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1970 |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm I: С древнейших времён до начала Нового времени] 
  |ref = История математики, т. I}}
* {{кніга 
  |загаловак=История математики: в 3 т.
  |адказны=под ред. {{нп3|Адольф Паўлавіч Юшкевіч|А. П. Юшкевича|ru|Юшкевич, Адольф Павлович}}
  |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1970 |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm II: Математика XVII столетия]
  |ref = История математики, т. II}}
* {{кніга 
  |загаловак=История математики: в 3 т.
  |адказны=под ред. {{нп3|Адольф Паўлавіч Юшкевіч|А. П. Юшкевича|ru|Юшкевич, Адольф Павлович}}
  |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1972 |том=[http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm III: Математика XVIII столетия]
  |ref = История математики, т. III}}
* {{кніга |загаловак = Энциклопедия элементарной математики. Книга первая. Арифметика |спасылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-1.htm |адказны = под ред. [[Павел Сяргеевіч Аляксандраў|П. С. Александрова]], {{нп3|Аляксей Іванавіч Маркушэвіч|А. И. Маркушевича|ru|Маркушевич, Алексей Иванович}} и {{нп3|Аляксандр Якаўлевіч Хінчын|А. Я. Хинчина|ru|Хинчин, Александр Яковлевич}} |месца = {{М.}}—{{Л.}} |выдавецтва = Гос. издат. технико-теоретической литературы |год = 1951 |старонак = 448 |ref = Арифметика |archive-url = https://web.archive.org/web/20150302170346/http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-1.htm |archive-date = 2 сакавіка 2015 |archiveurl = https://web.archive.org/web/20150302170346/http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-1.htm |archivedate = 2 сакавіка 2015 }}
* {{артыкул |аўтар = {{нп3|Джэрэмі Авігед|Avigad, Jeremy||Jeremy Avigad}}.
  |загаловак = Number theory and elementary arithmetic
  |спасылка = http://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/elementary.pdf 
  |выданне = Philosophia Mathematica |год=2003 |нумар=3 |volume=11 |pages=257—284
  |ref = Avigad}} {{ref-en}}
* {{кніга |аўтар = {{нп3|Карл Боер|Boyer C. B.|ru|Бойер, Карл}}, Merzbach U. C.
  |загаловак = A History of Mathematics|спасылка = http://books.google.ca/books?id=BokVHiuIk9UC&source=gbs_navlinks_s
  |год = 2010 |выдавецтва = John Wiley & Sons 
  |allpages = 640  
  |ref = Boyer & Merzbach}} {{ref-en}}

'''Дадатковая літаратура'''
* Cunnington, Susan, ''The Story of Arithmetic: A Short History of Its Origin and Development'', Swan Sonnenschein, London, 1904
* {{нп3|Леанард Юджын Дзіксан|Dickson, Leonard Eugene|ru|Диксон, Леонард Юджин}}, ''History of the Theory of Numbers'' (3 volumes), reprints: Carnegie Institute of Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
* [[Леанард Эйлер|Euler, Leonhard]], ''[http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ Elements of Algebra] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ |date=13 красавіка 2011 }}'', Tarquin Press, 2007
* {{нп3|Генры Бухард Файн|Fine, Henry Burchard||Henry Burchard Fine}} (1858—1928), ''The Number System of Algebra Treated Theoretically and Historically'', Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
* {{нп3|Луіс Чарльз Карпінскі|Karpinski, Louis Charles||Louis Charles Karpinski}} (1878—1956), ''The History of Arithmetic'', Rand McNally, Chicago, 1925; reprint: Russell & Russell, New York, 1965
* {{нп3|Ойсцін Орэ|Ore, Øystein|ru|Оре, Ойстин}}, ''Number Theory and Its History'', McGraw—Hill, New York, 1948
* [[Андрэ Вейль|Weil, André]], ''Number Theory: An Approach through History'', Birkhauser, Boston, 1984.

{{Раздзелы матэматыкі}}
{{Сем вольных мастацтваў}}
{{Бібліяінфармацыя}}
{{добры артыкул|Матэматыка}}

[[Катэгорыя:Арыфметыка| ]]
[[Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы]]