Прагляд зыходнага тэксту старонкі Бесканечнасць

{{універсальная картка}}
{{Знак|<math> \infty </math>}}
'''Бескане́чнасць''' (абазначаецца як ∞) — паняцце ў [[матэматыка|матэматыцы]] і [[філасофія|філасофіі]], якое абазначае нейкую велічыню, якая не мае меж або канца. Узнікае ў розных раздзелах [[матэматыка|матэматыкі]] ў асноўным як проціпастаўленне паняццю канечнага.

Паняцце бесканечнасці выкарыстоўваецца ў аналітычных і геаметрычных тэорыях для абазначэння «няўласных» ці «бесканечна аддаленых» элементаў, у [[тэорыя мностваў|тэорыі мностваў]] і [[матэматычная логіка|матэматычнай логіцы]] пры вывучэнні «[[бесканечнае мноства|бесканечных мностваў]]», а таксама ў іншых раздзелах матэматыкі. Уяўленне пра бесканечна малыя і бесканечна вялікія пераменныя велічыні з'яўляецца адным з галоўных у [[матэматычны аналіз|матэматычным аналізе]]<ref>Бесконечность // Математическая энциклопедия в 5 т. Т. 1.</ref>.

У канцы [[XIX стагоддзе|XIX]] — пачатку [[XX стагоддзе|XX стагоддзяў]] [[Георг Кантар]] фармалізаваў многія ідэі, звязаныя з бесканечнасцю і [[бесканечнае мноства|бесканечнымі мноствамі]]. Паводле яго тэорыі, існуюць бесканечныя мноства розных памераў<ref>Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). [http://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC «''The Princeton Companion to Mathematics''»]. Princeton University Press. p. 616. ISBN 0-691-11880-9.</ref>. Напрыклад, [[магутнасць мноства]] [[цэлы лік|цэлых лікаў]] ёсць злічальная бесканечнасць, а магутнасць мноства рэчаісных лікаў ёсць незлічальная бесканечнасць.

== Сімвал ==
[[Выява:John Wallis by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|thumb|200px|right|[[Джон Валіс]] увёў сімвал бесканечнасці ў навуковай літаратуры.]]

У [[1655]] годзе [[Джон Валіс]] выдае вялікі трактат «Аб канічных сячэннях» (''[http://books.google.com/books?id=03M_AAAAcAAJ&pg=PP5 De sectionibus conicis]''), дзе на {{nobr|стар. 5}} паяўляецца прыдуманы ім<ref>{{citation
|title=The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703)
|edition=2
|first1=Joseph Frederick
|last1=Scott
|publisher=AMS Bookstore
|year=1981
|isbn=0-828-40314-7
|page=24
|url=http://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C}}, [http://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C&pg=PA24 Chapter 1, page 24]
</ref><ref>{{citation
|title=COLOG-88: International Conference on Computer Logic Tallinn, USSR, December 12–16, 1988: proceedings
|first1=Per
|last1=Martin-Löf
|first2=G. E.
|last2=Mints
|publisher=Springer
|year=1990
|isbn=3-540-52335-9
|page=147
|url=http://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC}}, [http://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC&pg=PA147 page 147]
</ref> сімвал бесканечнасці: ∞.
Ва [[Унікод]]зе бесканечнасць абазначана сімвалам ∞ (U+221E).

== Гісторыя агульнага паняцця бесканечнасці ==
Бесканечнае і канечнае — [[філасофская катэгорыя|філасофскія катэгорыі]], якія выражаюць непарыўна звязаныя паміж сабой процілеглыя бакі аб'ектыўнага свету.

Бесканечнае характарызуе неабмежаваную разнастайнасць прасторавых структур [[матэрыя|матэрыі]], яе уласцівасцей і ўзаемасувязей, колькасную невычарпальнасць у глыбіню, існаванне бесканечнага мноства якасна розных узроўняў яе структурнай арганізацыі.

У гісторыі [[навука|навукі]] спачатку ўвага канцэнтравалася на колькасных аспектах бесканечнага, якія вывучаліся [[матэматыка]]й (гл. [[бесканечна малая і бесканечна вялікая]]). Ідэі бесканечнасці сустракаліся ўжо ў выказваннях [[старажытнаіндыйская філасофія|старажытных індыйцаў]].
Большасць [[старажытнагрэчаская філасофія|старажытнагрэчаскіх філосафаў]] лічыла, што свет канечны і абмежаваны цвёрдым нябесным купалам. Такога ж погляду прытрымлівалася [[хрысціянства]].
Толькі [[Мікалай Кузанскі]] і [[Джардана Бруна]] ў 15—16 стст. зноў загаварылі пра бесканечнасць свету.

Канечнае з'яўляецца адмаўленнем бесканечнага і ўяўляе сабой усякі абмежаваны ў [[прастора|прасторы]] і [[час]]е аб'ект.
Усякая канкрэтная якасць у свеце канечная, існуе ў пэўных межах меры. Канечнае азначае таксама абмежаванасць і часовасць зямнога быцця наогул, у гэтым значэнні яно дапускае прынцыповую магчымасць далейшага, незямнога быцця.

== Матэматычнае паняцце бесканечнасці ==
1) Прадстаўленне аб бесканечна малых і бесканечна вялікіх пераменных велічынях з'яўляецца адным з асноўных у матэматычным аналізе.
Папярэдняя сучаснаму падыходу да паняцця бесканечна малой канцэпцыя, па якой канечныя велічыні складаліся з бесканечна вялікага ліку бесканечна малых «непадзельных» (гл. метад «непадзельных»), трактаваць не як зменныя, а як пастаянныя і меншыя любой канечнай велічыні, можа служыць адным з прыкладаў незаконнага адрыву бесканечнага ад канечнага:
рэальны сэнс мае толькі раскладанне канечных велічынь на неабмежавана нарастаючы лік неабмежавана меншаючых складнікаў.

2) Зусім у іншай лагічнай абстаноўцы бесканечнасць паяўляецца ў матэматыцы ў выглядзе «няўласных» бесканечна аддаленых геаметрычных вобразаў (гл. бесканечна аддаленыя элементы).

Тут, напрыклад, бесканечна аддаленая кропка на прамой ''a'' разглядаецца як асаблівы пастаянны аб'ект, «далучаны» да звычайных канечных кропак.
Аднак непарыўная сувязь бесканечнага з канечным выяўляецца і тут, хаця б пры праектаванні з цэнтра, які ляжыць па-за прамой, пры якім бесканечна аддаленай кропцы аказваецца адпаведнай прамая, якая праходзіць праз цэнтр праектавання і паралельная асноўнай прамой ''a''.

Аналагічны характар мае папаўненне сістэмы рэчаісных лікаў двума «няўласнымі» лікамі <math>+\infty</math> і <math>-\infty</math>, якое адпавядае многім запытам аналізу і тэорыі функцый рэчаіснага пераменнага.

Можна падысці з такой жа пункта гледжання і к папаўненню рада натуральных лікаў 1, 2, 3, …, трансфінітнымі лікамі <math>\omega, \omega+1, \dots , 2\omega, 2\omega+1, \dots.</math>

У сувязі з адрозненнем паміж пераменнымі бесканечна малымі і бесканечна вялікімі велічынямі, з аднаго боку, і «няўласнымі» бесканечна вялікімі лікамі, якія разглядаюцца як пастаянныя, — з другога, узніклі тэрміны «патэнцыяльная» бесканечнасць (для першых) і «актуальная» бесканечнасць (для другіх).
У гэтым першапачатковым разуменні (аб іншым, сучасным разуменні, гл. ніжэй) спрэчку паміж прыхільнікамі патэнцыяльнай і актуальнай бесканечнасці можна лічыць закончанай.

Бесканечна малыя і бесканечна вялікія, якія ляжаць у аснове азначэння [[Вытворная (матэматыка)|вытворнай]] (як адносіны бесканечна малых) і [[інтэграл]]а (як сумы бесканечна вялікага ліку бесканечна малых) і прымыкаючых сюды канцэпцый матэматычнага аналізу, павінны ўспрымацца як «патэнцыяльныя».
Нараўне з гэтым у належнай лагічнай абстаноўцы ў матэматыку цалкам заканамерна ўваходзяць і «актуальныя» бесканечна вялікія «няўласныя» лікі (і нават у многіх розных аспектах: як колькасныя і парадкавыя [[трансфінітны лік|трансфінітныя лікі]] ў [[тэорыя мностваў|тэорыі мностваў]], як няўласныя элементы <math>+\infty</math> і <math>-\infty</math> сістэмы рэчаісных лікаў і т. д.).

У матэматыцы прыходзіцца мець справу з двума спосабамі далучэння да лікавай сістэме бесканечных «няўласных» элементаў.

а) З праектыўнага пункта гледжання на прамой знаходзіцца адна «бесканечна аддаленая кропка».
У звычайнай метрычнай [[Сістэма каардынат|сістэме каардынат]] гэтай кропцы натуральна прыпісаць [[абсцыса|абсцысу]] <math>\infty</math>.
Такое ж далучэнне да лікавай сістэмы адной бесканечнасці без знака ўжываецца ў [[тэорыя функцый камплекснага пераменнага|тэорыі функцый камплекснага пераменнага]].
У элементарным аналізе пры вывучэнні [[рацыянальная функцыя|рацыянальных функцый]] ''f''(''x'') = ''P''(''x'')/''Q''(''x''),
дзе ''P''(''x'') і ''Q''(''x'') — [[мнагачлен]]ы, у тых пунктах, дзе ''Q''(''x'') мае [[нуль функцыі|нуль]] вышэйшага парадку, чым ''P''(''x''), натуральна прыняць <math>f(x)=\infty</math>.
Для няўласнага элемента <math>\infty</math> устанаўліваюццца такія правілы дзеянняў:
: <math>\infty + a = \infty,</math> калі ''a'' канечнае;
: <math>\infty + \infty</math> не мае сэнсу;
: <math>\infty \cdot a = \infty,</math> калі <math>a \ne 0</math>;
: <math>\infty \cdot 0</math> не мае сэнсу.
Няроўнасці з удзелам <math>\infty</math> не разглядаюцца: бессэнсоўна пытацца, больш ці менш <math>\infty</math>, чым канечнае ''a''.

б) Пры вывучэнні рэчаісных функцый рэчаіснага пераменнага сістэму рэчаісных лікаў дапаўняюць двума няўласнымі элементамі <math>+\infty</math> і <math>-\infty</math>.
Тады можна прыняць, што <math>-\infty < a < +\infty</math> для любога канечнага ''a'', і захаваць асноўныя ўласцівасці няроўнасцей ў пашыранай лікавай сістэме.
Для <math>+\infty</math> і <math>-\infty</math> устанаўліваюцца такія правілы дзеянняў:
: <math>(+\infty) + a = +\infty,</math> калі <math>a \ne -\infty</math>;
: <math>(-\infty) + a = -\infty,</math> калі <math>a \ne +\infty</math>;
: <math>(+\infty) + (-\infty)</math> пазбаўлена сэнсу;
: <math>(+\infty) \cdot a = +\infty,</math> калі <math>a > 0</math>;
: <math>(+\infty) \cdot a = -\infty,</math> калі <math>a < 0</math>;
: <math>(-\infty) \cdot a = -\infty,</math> калі <math>a > 0</math>;
: <math>(-\infty) \cdot a = +\infty,</math> калі <math>a < 0</math>;
: <math>(+\infty) \cdot 0</math> і <math>(-\infty) \cdot 0</math> не маюць сэнсу.

3) Асноўная цікавасць, але і асноўныя цяжкасці матэматычнага вучэння аб бесканечнасці засяроджваюцца на пытанні аб прыродзе бесканечных мностваў матэматычных аб'ектаў.
Варта, у прыватнасці, мець на ўвазе, што дасягнутая цяпер поўная адцягненасць і закончанасць тэорыі бесканечна вялікіх і бесканечна малых зменных велічынь заключаецца толькі ў звядзенні ўсіх цяжкасцей гэтай тэорыі да пытання абгрунтавання вучэння аб ліку, у якое істотна ўваходзіць уяўленне аб бесканечнасці сістэмы лікаў.
Сцвярджэнне аб тым, што ''y'' бесканечна малое, мае сэнс толькі пры ўказанні характару змянення ''y'' у залежнасці ад якога-небудзь іншага пераменнага ''x'';
напрыклад, кажуць, што ''y'' бесканечна малое пры <math>x\to a</math>, калі пры любым <math>\epsilon > 0</math> існуе такое <math>\delta > 0</math>, што з <math>|x-a|<\delta</math> вынікае <math>|y|<\epsilon</math>.
У само гэтае азначэнне ўжо ўваходзіць дапушчэнне, што функцыя ''y''=''f''(''x'') вызначана для бесканечнага мноства значэнняў ''x'' (напрыклад, для ўсіх рэчаісных ''x'', дастаткова блізкіх да ''a'').

У [[тэорыя мностваў|тэорыі мностваў]] тэрмінам «актуальная» і «патэнцыяльная» бесканечнасць надаюць звычайна глыбокі сэнс, які не мае нічога агульнага з найменнем кожнай бесканечнай магутнасці «актуальна бесканечным лікам».
Справа ў тым, што бесканечныя сістэмы матэматычных аб'ектаў (напрыклад, [[натуральныя лікі|натуральных]] або [[рэчаісныя лікі|рэчаісных лікаў]]) ніколі не задаюцца простым пералікам, як гэта магчыма для канечных сістэм аб'ектаў.
Было б відавочным абсурдам меркаваць, што хто-небудзь «утварыў» мноства натуральных лікаў, пералічыўшы іх фактычна «ўсе» адзін за адным. На самай справе мноства натуральных лікаў вывучаюць, зыходзячы з працэсу ўтварэння яго элементаў пераходам ад ''n'' да ''n''+1.
У выпадку [[кантынуум, тэорыя мностваў|кантынуума]] рэчаісных лікаў ужо разгляд аднаго яго элемента — рэчаіснага ліку — прыводзіць да вывучэння працэсу ўтварэння яго паслядоўных прыбліжаных значэнняў, а разгляд усяго мноства рэчаісных лікаў прыводзіць да вывучэння агульных уласцівасцей такога роду працэсаў утварэння яго элементаў.
У гэтым іменна сэнсе сама бесканечнасць [[натуральныя лікі|натуральнага рада]], або сістэмы ўсіх рэчаісных лікаў (кантынуума), можа характарызавацца як бесканечнасць толькі «патэнцыяльная».

Пункту гледжання патэнцыяльнай бесканечнасці проціпастаўляецца погляд на бесканечныя мноствы як «актуальна» зададзеныя, незалежна ад працэсу іх утварэння.
Высвятленне пытання аб тым, у якой меры і пры якіх умовах пры вывучэнні бесканечных мностваў законна такое абстрагаванне ад працэсу іх утварэння, яшчэ нельга лічыць завершаным.

== Гл. таксама ==
* [[Бесканечна малая і бесканечна вялікая]]
* [[Бесканечнае мноства]]
* [[Тэарэма аб бесканечных малпах]]

== Зноскі ==
{{reflist}}

== Літаратура ==
* {{Крыніцы/МатемЭнц|1
 | аўтар    = Колмогоров А.Н.
 | артыкул  = Бесконечность
 | спасылка = 
 | слупкі   = 455—458 <!--стар. 443--446 у скане-->
}}
* {{Крыніцы/МатемЭнц|1
 | аўтар    = Нагорный Н.М.
 | артыкул  = Абстракция актуальной бесконечности
 | спасылка = 
 | слупкі   = 43 <!--стар. 31 у скане-->
}}
* {{Крыніцы/МатемЭнц|1
 | аўтар    = Нагорный Н.М.
 | артыкул  = Абстракция потенциальной осуществимости
 | спасылка = 
 | слупкі   = 44—45 <!--стар. 32--33 у скане-->
}}
* Бесканечнасць // {{Крыніцы/БелЭн|3к}} С. 127.

; У філасофіі
* Бесканечнае і канечнае // {{Крыніцы/БелЭн|3к}} С. 127.
* Кармин А. С. Познание бесконечного. М., 1981.
* Бурова И. Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. М., 1987.
* Жуков Н. И. Философские основания математики. 2 изд. Мн., 1990.

== Спасылкі ==
{{Commons|Category:Infinity|выгляд=міні}}
* [http://www.ega-math.narod.ru/Singh/Cantor.htm Георг Кантар і нараджэнне тэорыі трансфінітных мностваў]. {{ref-ru}}
* [http://www.youtube.com/watch?v=V1N5pCAgUzU To Infinity and Beyond — Horizon — BBC].

{{Матэматычныя знакі}}
{{Час}}
{{Месцазнаходжанне Зямлі}}
{{Бібліяінфармацыя}}
[[Катэгорыя:Філасофская тэрміналогія]]
[[Катэгорыя:Філасофія матэматыкі]]
[[Катэгорыя:Касмалогія]]
[[Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы]]