Прагляд зыходнага тэксту старонкі Брахмагупта

{{Вучоны
 |Імя                  = Брахмагупта
 |Арыгінал імя         = ब्रह्मगुप्त
 |Выява                =
 |Шырыня               = 200px
 |Подпіс               = Брахмагупта
 |Месца нараджэння     = 
 |Месца смерці         = 
 |Навуковая сфера      = 
 |Месца працы          = 
 |Знакамітыя вучні     = 
 |Вядомы як            = 
}}

'''Брахмагупта''', '''Брамагупта''' ({{lang-sa|ब्रह्मगुप्त}}, каля [[598]]—[[670]]) — індыйскі [[матэматык]] і [[астраном]]. Кіраваў абсерваторыяй ва [[Удджайн]]е. Сваімі працамі істотна паўплываў на развіццё [[Астраномія|астраноміі]] ў Візантыі і краінах ісламу, пачаў выкарыстоўваць алгебраічныя метады для астранамічных разлікаў, увёў правілы аперацый з нулём, дадатнымі і адмоўнымі велічынямі. Да нашагу часу дайшоў яго галоўны твор «[[Брахма-спхута-сіддханта]]» («Удасканаленае вучэнне Брахмы», ці «Перагляд сістэмы Брахмы»). Большая частка твора прысвечана астраноміі, два раздзелы (12-ы і 18-ы) — матэматыцы.

== Біяграфія ==
Брахмагупта нарадзіўся прыблізна ў 598 годзе. Гэты вынікае з кнігі «Брахма-спхута-сіддханта», у якой ён паведамляе, што напісаў гэты тэкст ва ўзросце 30-ці гадоў у 628 годзе (Śaka 550){{sfn|Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke|1817|p=xxxv-xxxvi}}<ref name="world_bio">{{cite web|url=http://www.encyclopedia.com/topic/Brahmagupta.aspx#1 |title=Brahmagupta|publisher=Encyclopedia of World Biography|date=2006|access-date=2013-08-20}}</ref>. Брахмапутра нарадзіўся ў Бхіламале (сучасны [[:en:Bhinmal|Бхінмал]] у штаце [[Раджастан]] Паўночна-Заходняй Індыі), які тады быў сталіцай зямель дынастыі Gurjara. Яго бацькам быў Джіснугупта<ref name="brahmagupta">{{cite web|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Brahmagupta.html|title=Brahmagupta|publisher=[[Архіў па гісторыі матэматыкі Мактутар|MacTutor History of Mathematics archive]]|author=J J O'Connor and E F Robertson|access-date=2013-08-20|archive-url=https://www.webcitation.org/6Jeq9449q?url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Brahmagupta.html|archive-date=15 верасня 2013|url-status=dead}}</ref>. Верагодна, ён пражыў большую частку жыцця ў Бхінмале ў час праўлення (і, магчыма, пры заступніцтве) правіцеля Ўяграмукхі{{sfn|Plofker|2007|p=418—419}}, таму яго нярэдка называюць Бхіламакар'я (настаўнік з Бхілама)<ref name="sci_bio">{{cite web|url=http://www.encyclopedia.com/topic/Brahmagupta.aspx#2 |title=Brahmagupta|publisher=Complete Dictionary of Scientific Biography|access-date=2013-08-20}}</ref>. Брахмагупта был кіраўніком астранамічнай абсерваторыі ва [[Удджайн]]е. Абсерваторыя, у якой таксама працаваў [[Варахаміхіра]], была самай лепшай у старажытнай Індыі<ref name="brahmagupta"/>.

На даследаванні Брахмапутры значна паўплывалі яго рэлігійныя погляды. З'яўляючыся прыхільнікам традыцыйнага індуізму, ён крытыкаваў касмалагічныя погляды, у тым ліку меркаванне Арыябхаты, які сцвярджаў, што сферычная Зямля круціцца<ref name="britannica">{{cite web|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/77073/Brahmagupta |title=Brahmagupta|publisher=[[Энцыклапедыя Брытаніка]]|author= Takao Hayashi|access-date=2013-08-20}}</ref>. Брахмагупта спрачаўся з Арыябхатай і аб прыродзе сонечных зацьменняў<ref>''Еремеева А. И., Цицин Ф. А.'' История астрономии. Указ. соч., стр. 111.</ref>:
{|
|-
|<blockquote>Сярод людзей ёсць такія, якія думаюць, што зацьменні выклікаюцца не Галавой [дракона Раху]. Гэта абсурднае меркаванне, бо гэта яна выклікае зацьменні, і большасць жыхароў свету кажуць, што менавіта яна выклікае іх. У Ведах, якія ёсць Слова Божае, з вуснаў Брахмы гаворыцца, што Галава выклікае зацьменні. Насупраць таго, Арыябхата, ідучы насуперак усім, з варожасці да згаданых святым слоў сцвярджае, што зацьменне выклікаецца не Галавой, а толькі Месяцам і ценню Зямлі… Гэтыя аўтары павінны падпарадкавацца большасці, бо ўсё, што ёсць у Ведах — свяшчэнна.</blockquote>
|}

Хоць Брахмагупта быў знаёмы з працамі [[Арыябхата|Арыябхаты]], невядома, ці быў ён знаёмы з працамі [[Бхаскара I|Бхаскары]]. Работы Брахмагупты ўтрымліваюць шматлікія крытычныя заўвагі ў адрас сучасных яму астраномаў, а змест «Брахма-спхута-сіддханты» сведчыць аб расколе сярод тагачасных індыйскіх матэматыкаў. Рознагалоссі былі абумоўлены ў значнай ступені выбарам астранамічных параметраў і тэорыі. Крытыка тэорый апанентаў Брахмагупты змешчана ў першых дванаццаці раздзелах «Брахма-спхута-сіддханты» і адсутнічае ў трынаццатым і васямнаццатым раздзелах.

Арабскі вучоны [[Аль-Біруні]] ў сваёй кнізе «Кітаб аль-Хінд» (каля 1035) прааналізаваў і апісаў ідэі індыйскіх астраномаў. У сваёй працы ён спасылаецца на Брахмагупту, як на самага аўтарытэтнага<ref name="unesco">{{кніга|аўтар=Katz V. J., Imhausen A.
  |загаловак=История человечества
  |Mathematics in India
  |Edited by M. A. Al-Bakhit, L. Bazin and S. M. Cissoko
  |allpages=796
  |pages=410-412
  |спасылка=http://books.google.ca/books?id=http://books.google.ca/books?id=xMhb5HRbTG4C&source=gbs_navlinks_s
  |том = IV. VII-XVI века
  |выдавецтва=Издательский дом Магистр-Пресс
  |год=2003
  |ref=UNESCO}}{{ref-ru}}
</ref>.

== Асноўныя працы ==
Вядомыя дзве галоўныя працы Брахмагупты: Brahmasphutasiddhanta (Брахма-спхута-сіддханта) (628), Khandakhadyaka (Кхандакхадзьяка) (665)<ref name="brahmagupta_arabic">{{cite web |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_3.html |title=Brahmagupta, and the influence on Arabia |publisher=MacTutor History of Mathematics archive |author=Pearce Ian |access-date=2013-08-20 |archive-url=https://www.webcitation.org/6Jeq9hMCc?url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_3.html |archive-date=15 верасня 2013 |url-status=dead }}</ref>.

=== Брахма-спхута-сіддханта ===
{{Асноўны артыкул|Брахма-спхута-сіддханта}}
«Брахма-спхута-сіддханта» («удасканаліць вучэнне Брахмы», або «Перагляд сістэмы Брахмы»<ref>{{cite web|url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/71003/Брахмагупта|title=Брахмагупта|publisher=[[Большая советская энциклопедия]]|access-date=2013-08-20}}</ref>) — самая вядомая праца Брахмагупты, прысвечаная матэматыцы і астраноміі. Трактат напісаны вершамі і ўтрымлівае толькі вынікі без доказаў. Праца складаецца з 25 кіраўнікоў<ref name="brahmagupta"/> (у іншых крыніцах гаворыцца пра 24 раздзелах і дадатку з табліцамі<ref name="sci_bio"/>).

Першыя 10 кіраўнікоў, якія ўяўляюць сабой тыповы тэкст па астраноміі таго перыяду, часта разглядаюцца асобна як першая версія працы, так як існуюць манускрыпты, якія змяшчаюць толькі гэтыя кіраўніка. Гэты тэкст носіць назву Daśādhyāyī<ref name="sci_bio"/>. У ім утрымліваюцца у прыватнасці разлікі сярэдняй і сапраўднай даўгаты, вылічэнне сутачнага кручэння, разлік сонечных і месяцавых зацьменняў, метады разліку становішча нябесных цел з цягам часу (эфемерыды), іх узыходаў і заходаў, злучэнняў<ref name="brahmagupta"/>.

Наступныя 15 кіраўнікоў ўтрымліваюць значныя дапаўненні і ўдакладненні да першых кіраўнікам, а таксама кіраўніка па матэматыцы<ref name="brahmagupta"/>. Матэматычныя главы даюць уяўленне аб двух асноўных падыходах індыйскіх матэматыкаў: «матэматыка працэдур», ці алгарытмы, і «матэматыка насення», або ўраўненні. 12-я частка кнігі носіць назву «Матэматыка», яна прысвечана найпростым арыфметычным аперацыям, прапорцыям, задачам на змешванне і рады, што складала асноўную частку практычнай матэматыкі ў часы Брахмагупты. 18-я глава, «Распыляльнік», мае прамое стаўленне да [[Алгебра|алгебры]], але паколькі такога тэрміна яшчэ не існавала, названая па першай задачы, разгляданай у главе<ref name="britannica"/>.

У другой палове VIII стагоддзя, калі Багдадскі халіф з дынастыі Абасидаў Абу-ці-Абас Абд-Алах аль-Мамун (712-775) быў з пасольствам у Індыі, запрасіў у Багдад вучонага з Уджайн па імі Канку, які выкладаў індыйскую сістэму астраноміі на аснове «Брахма-спхута-сіддханта». Халіф замовіў пісьмовы пераклад кнігі на арабскую мову, які быў ажыццёўлены матэматыкам і філосафам Ібрахімам аль-Фазары ў 771 годзе<ref name="world_bio"/><ref name="brahmagupta_arabic"/>. Пераклад, выкананы ў выглядзе табліц — зіджа — з неабходнымі тлумачэннямі і рэкамендацыямі, атрымаў назву «Вялікі Сіндхінд». Вядома, што гэтай працай карыстаўся аль-Харэзмі для напісання сваіх прац па астраноміі («Зідж аль-Харэзмі») і арыфметыцы («Кніга пра індыйскі рахунак»). Лічыцца, што пераклад апошняй у XI стагоддзі на лацінскую мову адыграў вырашальную ролю ў распаўсюдзе пазіцыйнай сістэмы злічэння<ref name="sci_bio"/>.

«Брахма-спхута-сіддханта» была перакладзеная кітайскімі матэматыкамі VII-IX стагоддзяў (вядома па меншай меры чатыры пераклады), дазволіўшы такім чынам распаўсюдзіць дзесятковую сістэму сярод кітайскіх навукоўцаў<ref name="brahmagupta_arabic"/>. У 1817 годзе дзве матэматычныя главы былі перакладзеныя на англійскую Генры Томасам Колбруком<ref name="sci_bio"/>.

У 860 годзе індыйскі матэматык Prthudakasvami напісаў каментары да працы, якія носяць назву Vāsanābhāṣya. Ад поўных каментарыяў захавалася толькі некалькі манускрыптаў. Вядома таксама некалькі ананімных каментарыяў да поўнай версіі сачыненні і да першых дзесяці глаў. У Індыі праца Брахмагупты была апублікаваная ў 1902 і 1966 гадах<ref name="sci_bio"/>.

=== Кхандакхадьяка ===
Другая праца Брахмагупты, Кхандакхадьяка (A Piece Eatable), была напісана ў 665 годзе<ref name="britannica"/>. Яна складаецца з 8 раздзелаў. У гэтай працы Брахмагупта удакладніў і спрасціў шэраг астранамічных разлікаў, карыстаючыся шмат у чым сістэмай, прапанаванай Арыябхатай<ref name="unesco"/>. Акрамя таго, яна ўключае інтэрпаляцыйную формулу для вылічэння сінусам<ref name="brahmagupta"/>. У VIII стагоддзі Кхандакхадьяка была перакладзеная на арабскую мову пад назвай «Арканд»<ref name="unesco" />.

Каментарыі да Кхандакхадьякі былі напісаныя ў 864, 966, 1040, 1180 гады, некаторыя з іх не захаваліся. Сама кніга была надрукаваная ў Калькуце ў 1925 і 1941 годзе. Пераклад на [[Англійская мова|англійскую мову]] ажыццявіў Сенгупта (Prabodh Chandra Sengupta) ў 1934 годзе<ref name="sci_bio"/>.

== Уклад у матэматыку ==
У сваёй працы Брахма-спхута-сіддханта Брахмагупта даў азначэнне нуля, як выніку адымання ліку ад самога сябе. Ён адзін з першых сфармуляваў правілы арыфметычных аперацый над дадатнымі і адмоўнымі лікамі, разглядаючы пры гэтым дадатныя лікі як маёмасць, а адмоўныя — як доўг. Далей Брахмагупта спрабаваў пашырыць арыфметыку, вызначыўшы дзяленне на нуль<ref name="brahmagupta"/>. Паводле Брахмапуты<ref name="brahmagupta"/>{{sfn|Plofker|2007|p=428—434}},
* Дзель нуля на нуль ёсць нуль;
* Дзель дадатнага ці адмоўнага ліку на нуль ёсць дроб з нулём у назоўніку;
* Дзель нуля на дадатны ці адмоўны лік ёсць нуль.

Брахмагупта прапанаваў тры спосабы множання многаразрадных лікаў у слупок (асноўны і два спрошчаныя), блізкія да сучасных. Асноўны спосаб Брахмагупта назваў «gomutrika», што перакладаецца «як траекторыя мачы каровы» ({{lang-en|"like the trajectory of cow's urine"}})<ref name="brahmagupta"/>.

Брахмагупта таксама прапанаваў метад прыбліжанага вылічэння квадратнага кораня, раўназначны ітэрацыйнай формуле Ньютана (Newton-Raphson), метад рашэння некаторых нявызначаных квадратных ураўненняў выгляду ax²+c=y², метад рашэння нявызначаных лінейных ураўненняў выгляду ax+c=by, выкарыстоўваючы метад паслядоўных дробаў<ref name="brahmagupta"/>.

Ён выразіў суму квадратаў і кубаў першых n лікаў праз суму першых n лікаў, сцвярджаючы, што «Сума квадратаў ёсць сума лікаў, памножаная на падвоены лік крокаў, павялічаны на адзінку, і падзеленая на тры. Сума кубаў ёсць квадрат сумы лікаў да аднаго і таго ж ліку»{{sfn|Plofker|2007|p=428-434}}{{sfn|Plofker|2007|p=428-434}}. У сімвальнай форме гэта выглядае так:
:<math>\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{(2n+1)}{3} \sum_{k=1}^n k;</math>
:<math>\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right).</math>

У працы Кхандакхадзьяка Брахмагупта прапанаваў {{Нп5|Інтэрпаляцыйная формула Брахмагупты|інтэрпаляцыйную формулу другога парадку|en|Brahmagupta's interpolation formula}}, якая з'яўляецца асобным выпадкам выведзенай больш чым праз 1000 гадоў [[Інтэрпаляцыйныя формулы Ньютана|інтэрпаляцыйнай формулы Ньютана — Сцірлінга]]. Ён выкарыстаў яе для [[Інтэрпаляцыя|інтэрпаляцыі]] значэнняў [[Трыганаметрычныя функцыі|сінуса]] ў складзеных ім трыганаметрычных табліцах<ref>{{Cite book
 | first=George G.
 | last=Joseph
 | location=Princeton, NJ
 | title=The Crest of the Peacock
 | publisher=Princeton University Press
 | year=2000
 | isbn=0-691-00659-8
 | ref=joseph-2000
 | page=[https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose/page/285 285-286]
 | url=https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose/page/285
 }}.</ref>. Формула дае ацэнку значэння функцыі {{math|''f''}} пры значэнні яе аргумента {{math|''a'' + ''xh''}} (пры {{math|''h'' &gt; 0}} і {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}}), калі яе значэнне ўжо вядома ў пунктах {{math|''a'' − ''h''}}, {{math|''a''}} і {{math|''a'' + ''h''}}. Яна запісваецца наступным чынам:
: <math>f( a + x h ) \approx f(a) + x \left(\frac{\Delta f(a) + \Delta f(a-h)}{2}\right) + \frac{x^2 \Delta^2 f(a-h)}{2!},</math>
дзе {{math|Δ}} — аператар узыходзячай [[Канечныя рознасці|канечнай рознасці]] першага парадку, г. зн.
: <math> \Delta f(a) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ f(a+h) - f(a).</math>

[[Файл:Brahmaguptas formula.svg|міні|слева|150px|Формула Брахмагупты для чатырохвугольніка]]
Брахмагупта прапанаваў формулу вылічэння плошчы чатырохвугольніка, упісанага ў акружнасць<ref name="brahmagupta"/>. [[Формула Брахмагупты]] з'яўляецца абагульненнем [[формула Герона|формулы Герона]] для плошчы трохвугольніка. А іменна, плошча {{math|''S''}} упісанага ў акружнасць чатырохвугольніка са старанамі {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}} і паў[[перыметр]]ам {{math|''p''}} раўняецца
: <math>S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.</math>

Пры гэтым сам Брахмагупта не ўдакладніў, што формула справядлівая толькі для чатырохвугольнікаў, якія можна ўпісаць у акружнасць, таму некаторыя гісторыкі лічаць гэта памылкай Брахмагупты<ref name="brahmagupta"/>.

Вядома яшчэ адна формула Брахмагупты для радыуса апісанай акружнасці адвольнага трохвугольніка:
: <math>R=\frac{ab}{2h_c}=\frac{bc}{2h_a}=\frac{ac}{2h_b},</math>
дзе {{math|''a'', ''b'', ''c''}} — стораны трохвугольніка, {{math|''h<sub>a</sub>'', ''h<sub>b</sub>''}} і {{math|''h<sub>c</sub>''}} — яго вышыні.

==== Тоеснасць Брахмагупты ====
Тоеснасць Брахмагупты сцвярджае, што здабытак дзвюх сум двух квадратаў сам ёсць сума двух квадратаў, прычым двума спосабамі.
: <math>(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2.</math>

Напрыклад,
: <math>(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.</math>

==== Тэарэма Брахмагупты ====
[[Файл:Brahmaguptra's theorem.svg|thumb|right|Тэарэма Брахмагупты сцвярджае, што AF = FD]]
{{Галоўны артыкул|Тэарэма Брахмагупты}}
Няхай ёсць упісаны чатырохвугольнік, дыяганалі якога ўзаемна перпендыкулярныя. Апусцім з пункта перасячэння дыяганалей перпендыкуляр на адну з яго старон. Працяг гэтага перпендыкуляра па другі бок ад пункта перасячэння дзеліць процілеглую старану чатырохвугольніка на дзве роўныя часткі.

==== Задача Брахмагупты ====
Задача Брахмагупты — [[Пабудова з дапамогай цыркуля і лінейкі|пабудаваць з дапамогай цыркуля і лінейкі]] ўпісаны чатырохвугольнік па чатырох яго старанах<ref>В. В. Прасолов, Задачи по планиметрии</ref>.
Адно з рашэнняў выкарыстоўвае [[акружнасць Апалонія]].

== Уклад у астраномію ==
Брахмагупта лічыў Зямлю нерухамаю (г. зн. што яна не круціцца вакол сваёй восі) і ў сваёй працы Брахма-спхута-сіддханта прывёў працягласць года як 365 дзён 6 гадзін 5 хвілін і 19 секунд, тады як у наступнай працы Кхандакхадьяка працягласць года прыведзена як 365 дзён 6 гадзін 12 хвілін і 36 секунд. Магчыма, другое значэнне было ўзята ў Арыябхаты<ref name="brahmagupta"/>.

Астранамічныя ўяўленні Брахмагупты, выкладзеныя ў Брахма-спхута-сіддханта, сведчаць аб высокім узроўні яго даследаванняў і навуковай прадбачлівасці. Так, у сёмым раздзеле працы, які называецца «Аб зацьменні Месяца», Брахмагупта абвяргае ўяўленні аб том, што [[Месяц]] знаходзіцца далей ад Зямлі, чым [[Сонца]]{{sfn|Plofker|2007|p=419—420}}.

{{пачатак цытаты}}
7.1. Калі б Месяць быў вышэшы за Сонца, то яго бліжэйшая да Сонца палавіна заўсёды была б асветлена.

7.2. Гэтак жа, асветленая Сонцам частка Месяца заўсёды была б бачная, а неасветленая частка заставалася б нябачнай.

7.3. Яркасць [асветленай часткі Месяца] павялічваецца ў напрамку Сонца. У канцы светлага паўмесяца палавіна асветлена, а другая палавіна цёмная. Такім чынам, вышыню рагоў паўмесяца можна вылічыць.
{{канец цытаты}}

Брахмагупта тлумачыць, што раз Месяць бліжэшы да Зямлі, чым Сонца, ступень асветленасці Месяца залежыць ад узаемнага становішча Сонца і Месяца, і можа быць вылічана зыходзячы з велічыні вугла паміж гэтымі двума нябеснымі целамі.

Важным укладам Брахмагупты ў астраномію з'яўляюцца метады разліку становішча нябесных цел з цягам часу ([[Эфемерыда|эфемерыды]]), іх усходаў і заходаў, [[Парад планет|злучэнняў]], а таксама разліку [[Сонечнае зацьменне|сонечных]] і [[Месяцавае зацьменне|месяцавых зацьменняў]]. Брахмагупта раскрытыкаваў уяўленні [[Пураны|пуранічнай касмалогіі]] пра тое, што [[Зямля (планета)|Зямля]] плокая або пустая ў сярэдзіне. Ён сцвярджаў, што Зямля і неба маюць сферычную форму, і што Зямля рухаецца. У 1030 годзе газневідскі астраном [[Аль-Біруні|Абу аль-Райхан аль-Біруні]] ў сваёй працы «Та’рых аль-Хінд», пракаменціраваў працу Брахмагупты. Біруні адзначаў, што на заўвагі крытыкаў тэорыі шарападобнай Зямлі («Каб так было, то б камні і дрэвы падалі з зямлі») Брахмагупта адказаў:
{{пачатак цытаты}}
«Наадварот, каб гэта так было [Зямля была плоская], то Зямля не магла б захоўваць сваю форму нават на працягу хвілін. […] Усе цяжкія рэчы прыцягваюцца да цэнтра зямлі […] Зямля аднолькавая з усіх бакоў. Усе людзі на Зямлі стаяць, і ўсе цяжкія рэчы падаюць на зямлю па закону прыроды, так устроена прырода Зямлі, каб прыцягваць і трымаць рэчы, таксама як прырода вады — цячы, агня — гарэць, ветру — прыводзіць у рух … Зямля — гэта адзіная нізкая рэч, усе прадметы заўсёды вернуцца к ёй з любога кірунку, куды б вы іх не кінулі, і ніколі не падымуцца ўверх ад зямлі».
{{канец цытаты|крыніца=Брахмагупта, Брахма-спхута-сіддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)}}

Пра сілу цяжару Зямлі Брахмагупта казаў:
{{пачатак цытаты}}«Целы падаюць на зямлю, бо гэта ў прыродзе Зямлі — прыцягваць іх, гэтак жа як у прыродзе вады - цячы.»
{{канец цытаты|крыніца=Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2.}}

== Творы ==
Асноўная праца Брахмагупты, «Удасканаленнае вучэнне Брахмы» («Брахма-спхута-сіддханта», [[628]])<ref>Брахмагупта // Большой Энциклопедический словарь. 2000</ref>, змяшчае 25 раздзелаў:
# Аб стане зямнога шара і форме неба і зямлі.
# Пра абарачэннях свяціл і аб вызначэнні часу; пра тое, як знаходзіць сярэднія становішчы свяціл; аб вызначэнні сінуса дугі.	
# Аб складанні табліцы свяціл.
# Аб трох праблемах, а менавіта: пра цень, аб мінулай частцы дня і пра гараскоп; а таксама пра тое, як выводзіць адно з іх з іншага.
# Пра тое, як свяцілы з'яўляюцца з-за прамянёў Сонца і як яны хаваюцца за імі.
# Пра тое, як паказваецца малады месяц, і пра яго двух рагах.
# Аб зацьменні Месяца.
# Аб зацьменні Сонца.
# Аб цені Месяца.
# Аб злучэнні і супрацьстаянні свяціл.
# Аб шыротах свяціл.	
# Аб крытыцы таго, што змяшчаецца ў кнігах і табліцах, і пра адрозніванні правільнага ад няправільнага.
# Аб арыфметыцы і яе ўжыванні ў вылічэнні адлегласцей і ў іншых выпадках.
# Аб удакладненні сярэдняга становішча свяціл.
# Аб выпраўленні табліцы свяціл.
# Аб дакладным даследаванні трох праблем.
# Аб адхіленні зацьменняў.
# Аб дакладным вызначэнні з'яўлення маладога месяца і яго двух рагоў.	
# Аб метадзе «куттака».	
# Аб разліках ў памерах вершаў і метрыцы.
# Пра акружнасці і інструменты.
# Аб чатырох мерах часу — па Сонцы, па ўсход, па Месяцы і па месяцавым станцыях.
# Аб знаках для лікаў і лічбаў у вершаваных творах па гэтым прадмеце.
# Аб доказах, якія не выкарыстоўваюць матэматыку.	
Другая праца Брахмагупты, «Кхандакхадьяка» ([[655]]), таксама ўяўляе сабой фундаментальны праца па астраноміі.
== Публікацыі ==
* Brahmagupta. ''Brahma-Sphuta-Siddhanta.'' New Delhi, 1966. [http://www.wilbourhall.org/pdfs/BSS_VOL_I.pdf vol. 1].

== Заўвагі ==
{{reflist|2}}

== Гл. таксама ==

* [[Гісторыя матэматыкі ў Індыі]]
* [[Індыйская астраномія]]
* [[Вучэнне пра сігнатуры]]
* [[Рашэнне трохвугольнікаў]]
* [[Тэарэма Брахмагупты]]
* [[Формула Брахмагупты]]
* [[Пабудова з дапамогай цыркуля і лінейкі]]
* [[:en:Brāhmasphuṭasiddhānta]]
* [[:en:Brahmagupta–Fibonacci identity]]
* [[:en:Brahmagupta quadrilateral]]
* [[:en:Brahmagupta's identity]]
* [[:en:Brahmagupta's problem]]
* [[:en:Brahmagupta's interpolation formula]]
* [[:en:Brahmagupta matrix]]

{{зноскі}}

== Літаратура ==
* {{кніга|аўтар=Brahmagupta, Bhaskara, Colebrooke H.-T.
  |загаловак=Algebra, with arithmetic and mensuration, from Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara
  |allpages=378
  |спасылка=http://books.google.ca/books?id=ebZIAAAAcAAJ&source=gbs_navlinks_s
  |выдавецтва=John Murray|год=1817|ref=Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke}} {{ref-en}}
* {{кніга
  |аўтар         = Plofker K.
  |частка         = Mathematics in India
  |адказны = Editor Katz V. J.
  |загаловак=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A sourcebook
  |Mathematics in India
  |Plofker K.
  |allpages=685
  |спасылка=http://books.google.ca/books?id=3ullzl036UEC&source=gbs_navlinks_s
  |выдавецтва=Princeton University Press|год=2007|ref=Plofker}} {{ref-en}}
* ''Ван дер Варден Б. Л.'' Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. ''Успехи математических наук'', 31, вып. 5(191), 1976, с. 57-70.
* ''Володарский А. И.'' Очерки истории средневековой индийской математики. — М.: Наука, 1977.
* {{кніга|аўтар=Юшкевич А. П.|загаловак=История математики в средние века|месца=М.|выдавецтва=Физматгиз|год=1961|ref=Юшкевич}}
* Gupta R. C. Brahmagupta’s formulas for the area and diagonals of a cyclic quadrilateral. ''The Mathematics Education'', 8, 1974, p.&nbsp;33-36.
* Sarasvati Amma T. A. ''Geometry in ancient and medieval India.'' Delhi: Motilal Banarsidass, 1979.
* История математики, т.1, М., 1970.

== Спасылкі ==
* {{Commonscat-inline|Brahmagupta}}
* {{З ВСЭ|http://slovari.yandex.ru//БСЭ/Брахмагупта/}}{{V|15|8|2013}}
{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Матэматыкі VII стагоддзя]]
[[Катэгорыя:Матэматыкі Індыі]]
[[Катэгорыя:Астраномы Індыі]]
[[Катэгорыя:Астраномы VII стагоддзя]]
[[Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы]]