Прагляд зыходнага тэксту старонкі Бэта-размеркаванне другога тыпу

{{Размеркаванне імавернасцей |
  name       =Бэта-размеркаванне другога тыпу| 
  type       =density|
  pdf_image  =[[Image:Beta prime pdf.svg|325px]]|
  cdf_image  =[[Image:Beta prime cdf.svg|325px]]|
  parameters =<math>\alpha > 0</math> [[параметр формы]] ([[рэчаісны лік]])<br /><math>\beta > 0</math> параметр формы (рэчаісны лік)|
  support    =<math>x \in [0,\infty)\!</math>|
  pdf        =<math>f(x) = \frac{x^{\alpha-1} (1+x)^{-\alpha -\beta}}{B(\alpha,\beta)}\!</math>|
  cdf        =<math> I_{\frac{x}{1+x}(\alpha,\beta) }</math> дзе <math>I_x(\alpha,\beta)</math> [[няпоўная бэта-функцыя]]|
  mean       =<math>\frac{\alpha}{\beta-1}</math> калі <math>\beta>1</math>|
  median     =|
  mode       =<math>\frac{\alpha-1}{\beta+1}</math> калі <math>\alpha\ge 1</math>, інакш 0|
  variance   =<math>\frac{\alpha(\alpha+\beta-1)}{(\beta-2)(\beta-1)^2}</math> калі <math>\beta>2</math>|
  skewness   =<math>\frac{2(2\alpha+\beta-1)}{\beta-3}\sqrt{\frac{\beta-2}{\alpha(\alpha+\beta-1)}}</math> калі <math>\beta>3</math>|
  kurtosis   =|
  entropy    =|
  mgf        =не існуе|
  char       =<math>\frac{e^{-it}\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\beta)}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha+\beta\\\beta,0\end{matrix}}\;\right|\,-it\right)</math>|
}}

'''Бэта-размеркаванне другога тыпу''' — [[абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей]]. Калі <math>p\in[0,1]</math> мае [[бэта-размеркаванне|бэта-размеркаванне,]] то [[Шанцы|шансы]] <math>\frac{p}{1-p}</math> маюць бэта-размеркаванне другога тыпу.

Бэта-размеркаванне другога тыпу можа выкарыстоўвацца як {{нп5|Спалучанае апрыёрнае размеркаванне|спалучанае апрыёрнае|en|conjugate prior distribution}} для [[Размеркаванне Бернулі|размеркавання Бэрнулі]], калі яно параметрызаванае праз шансы, а не імавернасць. Супадае з {{нп5|Размеркаванне Пірсана|размеркаваннем Пірсана|en|Pearson distribution
}} VI тыпу<ref name="Johnson et al 1995, p 248">Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995). ''Continuous Univariate Distributions'', Volume 2 (2nd Edition), p. 248, Wiley. {{ISBN|0-471-58494-0}}</ref>.

== Азначэнне ==

Бэта-размеркаванне другога тыпу з двума параметрамі ''α'' і ''β'' для <math>x > 0</math> мае [[шчыльнасць імавернасці]]

: <math>f(x) = \frac{x^{\alpha-1} (1+x)^{-\alpha -\beta}}{B(\alpha,\beta)}</math>

дзе ''B'' — [[бэта-функцыя]].

[[Функцыя размеркавання]] мае выгляд

: <math>F(x; \alpha,\beta)=I_{\frac{x}{1+x}}\left(\alpha, \beta \right) ,</math>

дзе ''I'' — [[рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя]].

Іншая форма запісу функцыі размеркавання:

: <math> \frac{x^\alpha \cdot {}_2F_1(\alpha, \alpha+\beta, \alpha+1, -x)}{\alpha \cdot B(\alpha,\beta)},</math>

дзе <math>{}_2F_1</math> — {{нп5|Гіпергеаметычная функцыя|гіпергеаметычная функцыя|en|Hypergeometric function}} Гауса <sub>2</sub>F<sub>1</sub>&nbsp;.

=== Альтэрнатыўная параметрызацыя ===

Бэта-размеркаванне другога тыпу можа быць параметрызавана праз сярэдняе ''μ'' > 0 і дакладнасць ''ν'' > 0<ref name=Bourguignon>{{cite journal |last1=Bourguignon |first1=M. |author2=Santos-Neto,M. |author3=de Castro,M. |year=2021 |title=A new regression model for positive random variables with skewed and long tail |journal=Metron |volume=79| pages=33–55 |doi=10.1007/s40300-021-00203-y|s2cid=233534544 }}</ref>{{rp|36}}.

Няхай <math>\mu = \alpha/(\beta-1)</math> і <math>\nu = \beta - 2</math>, то бок <math>\alpha = \mu(1 + \nu)</math> і <math>\beta = 2 + \nu</math>. У такой параметрызацыі
<math>\mathbb{E}[X] = \mu</math> і <math>Var[Y] = \mu(1 + \mu)/\nu</math>.

{{зноскі}}

{{Размеркаванні імавернасцей}}
{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей]]