Прагляд зыходнага тэксту старонкі Выпадковая велічыня

{{Тэорыя імавернасцей}}
{{Пра|аднавымерную выпадковую велічыню|многавымерную выпадковую велічыню|многавымерная выпадковая велічыня}}

'''Выпадковая велічыня''' — матэматычная фармалізацыя лікавай велічыні, якая залежыць ад [[Выпадковая падзея|выпадковай падзеі]]. Тэрмін «выпадковая велічыня» можа ўводзіць у зман, бо строга кажучы гэта не велічыня<ref>{{Cite book |last=Deisenroth |first=Marc Peter |url=https://www.worldcat.org/oclc/1104219401 |title=Mathematics for machine learning |date=2020 |others=A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong |isbn=978-1-108-47004-9 |location=Cambridge, United Kingdom |oclc=1104219401 |publisher=Cambridge University Press}}</ref>, а [[Функцыя (матэматыка)|функцыя]] ад магчымых падзей з [[Прастора элементарных падзей|прасторы элементарных падзей]] на некаторую {{нп5|Вымерная прастора|вымерную прастору|en|Measurable space}}, часта [[рэчаісны лік|рэчаісных лікаў]].

== Азначэнне ==

Вызначым спачатку <math>\mathcal{A}</math>-{{нп5|Вымерная функцыя|вымерную|en|Measurable function}} функцыю. Функцыя <math>f: \Omega \to \mathbb{R}</math> называецца <math>\mathcal{A}</math>-вымернай для некаторай [[σ-алгебра|σ-алгебры]] <math>\mathcal{A}</math>, калі для кожнага <math>x \in \mathbb{R}</math> выконваецца
<math display="block">f^{-1}((-\infty, x)) := \{\omega \in \Omega | f(\omega) < x\} \in \mathcal{A}</math>

Выпадковай велічынёй называецца <math>\mathcal{A}</math>-вымерная функцыя <math>\xi\colon\Omega \to \mathbb{R}</math>, абсяг вызначэння якой супадае з прасторай элементарных падзей <math>\Omega</math> [[Імавернасная прастора|імавернаснай прасторы]] <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math><ref name=elemienty>''Звяровіч Э. І.'', ''Радына А. Я.'' Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.</ref>{{rp|69}}.

З гэтага азначэння вынікае таксама, што для кожнага {{нп5|Барэлеўскае мноства|барэлеўскага падмноства|en|Borel set}} <math>B \subset \mathbb{R}</math> праўдзіцца <math>\xi^{-1}(B) \in \mathcal{A}</math>. Аналагічным чынам замест <math>(\xi < x)</math> у азначэнні можна браць <math>(\xi \leq x)</math>, <math>(\xi > x)</math>, <math>(\xi \geq x)</math>, <math>(x_1 \leq \xi \leq x_2)</math> і г.д.<ref name=elemienty/>{{rp|70}}

Розніца ў азначэнні выпадковай велічыні і вымернай функцыі палягае ў тым, што ў азначэнні выпадковай велічыні фігуруе [[імавернасная мера]]. Пры вывучэнні выпадковых велічынь у [[тэорыя імавернасцей|тэорыі імавернасцей]] найчасцей разглядаецца пытанне таго, з якімі канкрэтна імавернасцямі выпадковыя велічыні прымаюць тыя ці іншыя значэнні, у той час як для вымерных функцый у [[Тэорыя меры|тэорыі меры]] такога пытання як правіла не ставіцца<ref name=elemienty/>{{rp|69}}.

Для абазначэння выпадковай велічыні выкарыстоўваюць малыя [[грэчаскі алфавіт|грэчаскія літары]] (<math>\xi</math>, <math>\eta</math> і г.д.) або вялікія [[Лацінскі алфавіт|лацінскія]] (<math>X</math>, <math>Y</math> і г.д.)

== Размеркаванне выпадковай велічыні ==
{{main|Размеркаванне імавернасцей}}

Размеркаваннем выпадковай велічыні <math>\xi\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> называецца імавернасная мера <math>P_{\xi} : \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}</math>, зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў <math>B \subset \mathbb{R}</math> з дапамогай роўнасці
<math>P_{\xi}(B) := P(\xi \in B) = P(\xi^{-1}(B)).</math>

[[Функцыя размеркавання|Функцыяй размеркавання]] выпадковай велічыні завецца функцыя <math>F_{\xi}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, якая вызначаецца праз роўнасць
: <math>F_{\xi}(x) := P(\xi < x), \forall x \in \mathbb{R}.</math>

З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў [[Прамежак (матэматыка)|прамежак]] <math>[a, b)</math> роўная <math>F(b) - F(a).</math>

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання<ref name=elemienty/>{{rp|70-71}}.

== Класіфікацыя ==
{{main|Размеркаванне імавернасцей#Класіфікацыя размеркаванняў}}
Выпадковыя велічыні класіфікуюцца паводле іх размеркаванняў і падзяляюцца, як і размеркаванні, на дыскрэтныя, абсалютна непарыўныя, сінгулярныя і змешаныя<ref name=elemienty/>{{rp|77-78}}.

Дыскрэтныя выпадковыя велічыні прымаюць канечную або [[Злічальнае мноства|злічоную]] колькасць значэнняў і іх размеркаванне можна апісаць з дапамогай [[Функцыя імавернасці|функцыі імавернасці]] <math>p_\xi(x) = P(\xi = x)</math>. Размеркаванне абсалютна непарыўных велічынь можна апісаць з дапамогай функцыі [[шчыльнасць імавернасці|шчыльнасці]], якая {{нп5|Амаль усюды|амаль усюды|en|Almost everywhere}} роўная вытворнай ад функцыі размеркавання <math>f_\xi(x) = F'_\xi(x)</math>.

З дапамогай функцыі размеркавання можна апісаць размеркаванні ўсіх тыпаў незалежных велічынь.

== Прыклады ==

* Няхай выпадковая велічыня мае [[дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне]], то бок
*: <math>\mathbb{P} (X = x_i) = \frac{1}{n},\; i = 1,\ldots, n.</math>
: Тады яе [[матэматычнае спадзяванне]]
:: <math>M[X] = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i</math>
: роўнае сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.
* Няхай выпадковая велічыня мае [[непарыўнае раўнамернае размеркаванне]] на прамежку <math>[a,b]</math>, дзе <math>a<b</math>. Тады яе шчыльнасць мае выгляд
*: <math>f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(x),</math>
: а матэматычнае спадзяванне роўнае
:: <math>M[X] = \int\limits_{a}^b \! \frac{x}{b-a} \, dx = \frac{a+b}{2}.</math>

Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.


== Функцыі ад выпадковых велічынь ==
Калі <math>\xi: \Omega \to \mathbb{R}</math> — выпадковая велічыня, а функцыя <math>\varphi : \xi(\Omega) \to \mathbb{R}</math> {{нп5|Барэлеўская функцыя|барэлеўская|en|Borel function}} (то бок {{нп5|Правобраз|правобраз|en|Preimage}} кожнага барэлеўскага мноства барэлеўскі), то [[Кампазіцыя функцый|кампазіцыя]] <math>\eta = \varphi \circ \xi : \Omega \to \mathbb{R}</math> ёсць выпадковай велічынёй на той жа імавернаснай прасторы з размеркаваннем
: <math>P_\eta(B) = P_\xi(\varphi^{-1}(B)),</math>
дзе <math>B</math> — барэлеўскае мноства<ref name=elemienty/>{{rp|90}}.

На практыцы гэтая ўласцівасць часта выконваецца, бо, напрыклад, усе [[Непарыўная функцыя|непарыўныя функцыі]] — барэлеўскія<ref>{{cite web |url=https://webusers.imj-prg.fr/~dominique.lecomte/Chapitres/5-Borel%20sets%20and%20functions.pdf |title=Chapter 5-Borel sets and functions |access-date=2023-10-07}}</ref>.

[[Функцыя размеркавання|Фукнцыю размеркавання]] <math>\eta</math> можна запісаць як<ref name=elemienty/>{{rp|90}}
: <math>F_\eta(x) = \int\limits_{\varphi^{-1} ((-\infty, x))} dF_\xi,</math>
дзе <math>F_\xi</math> — функцыя размеркавання <math>\xi.</math>

Калі <math>\xi</math> — [[абсалютна непарыўная выпадковая велічыня]] са [[Шчыльнасць імавернасці|шчыльнасцю]] <math>f_{\xi},</math> а <math>\varphi</math> — [[Cтрога манатонная функцыя|строга манатонная]] і {{нп5|Дыферэнцавальная фнукцыя|дыферэнцавальная функцыя|en|Differentiable function
}}, то <math>\eta = \varphi(\xi)</math> будзе мець шчыльнасць<ref name=elemienty/>{{rp|91}}
: <math>f_\eta (x) = f_\xi (\varphi^{-1}(x)) \left|\left[\varphi^{-1}\right]'(x)\right| = \frac{f_\xi (\varphi^{-1}(x))}{\left|\varphi'(\varphi^{-1}(x))\right|}.</math>

=== Прыклад ===
[[Файл:Scaling exponential distribution.webm|thumb|Залежнасць шчыльнасці ад значэння, на якое дамнажаюць выпадковую велічыню. Плошча пад графікам шчыльнасці застаецца нязменнай і роўнай 1.]]
Няхай выпадковая велічыня <math>\xi</math> мае [[паказнікавае размеркаванне]] (<math>\xi \sim Exp(\lambda)</math>) са шчыльнасцю
: <math>f_\xi(x) = \lambda e^{-\lambda x} </math> для <math>x \geq 0,</math>
а функцыя <math>\varphi(x) = 2x.</math> Тады <math>\varphi^{-1}(x) = x/2,</math> а <math>\eta = \varphi(\xi) = 2 \xi</math> — выпадковая велічыня са шчыльнасцю
: <math>f_\eta(x) = f_\xi \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left|\left(\frac{x}{2}\right)'\right| = \lambda e^{-\lambda \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\lambda}{2} e^{-\frac{\lambda }{2} x},</math>

то бок <math>\eta \sim Exp(\lambda / 2).</math>

Інтуітыўна формулу можна растлумачыць так, што памнажаючы велічыню на два, мы рассоўваем пункты на [[Вось абсцыс|восі абсцыс]] адзін ад аднаго такім чынам, што дыстанцыя паміж пунктамі становіцца ў два разы большай, што робіць шчыльнасць у два разы меншай, бо плошча пад графікам шчыльнасці мусіць заставацца роўнай 1. У выпадку нелінейнай манатоннай функцыі <math>\varphi</math>, напрыклад <math>\varphi = x^3,</math> інтуіцыя захоўваецца, але дыстанцыі паміж пунктамі будуць змяняцца па-рознаму ў розных пунктах восі абсцыс, адпаведна і значэнне [[Вытворная функцыі|вытворнай]] у формуле будзе залежаць ад <math>x</math>.

== Абагульненні ==
Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,
* Вымерная функцыя <math>X : \Omega \to \mathbb{R}^n</math> называецца {{math|''n''}}-мерным выпадковым вектарам (адносна [[Барэлеўская сігма-алгебра|барэлеўскай <math>\sigma</math>-алгебры]] на <math>\mathbb{R}^n</math>) або [[Многавымерная выпадковая велічыня|многавымернай выпадковай велічынёй]].
* Вымерная функцыя <math>X : \Omega \to \mathbb{C}^n</math> называецца {{math|''n''}}-мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай <math>\sigma</math>-алгебры).
* Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

== Гл. таксама ==
* [[Выпадковы працэс]]
* [[Функцыя размеркавання]]
* [[Матэматычнае спадзяванне]]

{{зноскі}}

== Літаратура ==
* ''[[Эдмунд Іванавіч Звяровіч|Звяровіч Э. І.]]'', ''Радына А. Я.'' Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. 206 с.

== Спасылкі ==
* [http://mathhelpplanet.com/static.php?p=mnogomernye-sluchainye-velichiny Многомерные случайные величины]{{ref-ru}}
{{Бібліяінфармацыя}}
[[Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей]]