Прагляд зыходнага тэксту старонкі Вытворная функцыі

{{універсальная картка}}
{{іншыя значэнні|Вытворная (матэматыка)}}

[[Файл:Graph of sliding derivative line.gif|right|thumb|400px| У кожным пункце вытворная функцыі <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin(x^2)</math> роўная тангенсу вугла [[нахіл]]у [[датычная, геаметрыя|датычнай]] да графіка функцыі. Прамая на рысунку з’яўляецца датычнай да сіняй крывой; яе нахіл роўны значэнню вытворнай у адпаведным пункце. Там дзе вытворная дадатная, прамая становіцца зялёнаю, а дзе вытворная адмоўная, там прамая чырвоная. Калі ж вытворная раўняецца нулю, прамая чорная.]]

'''Вытво́рная''' фу́нкцыі — асноўнае паняцце [[дыферэнцыяльнае злічэнне|дыферэнцыяльнага злічэння]], якое характарызуе хуткасць змянення функцыі пры змяненні яе аргумента. Вызначаецца як [[Ліміт функцыі|ліміт]] [[дзель|дзелі]] прыросту функцыі на прырост яе [[Функцыя|аргумента]] пры імкненні прыросту аргумента да [[0 (лік)|нуля]], калі такі ліміт існуе.

Функцыю, якая мае канечную вытворную на нейкім мностве, называюць '''дыферэнцава́льнай''' на гэтым мностве.

Працэс знаходжання вытворнай называецца '''дыферэнцава́ннем'''.

== Азначэнне ==
{{multiple image
 | зона             = right
 | кірунак      = vertical
 | загаловак        = Скорасць змянення як гранічнае значэнне
 | зона_загалоўка   = center
 | подпіс          = 
 | зона_подпісу     = center
 | выява1           = Tangent-calculus.svg
 | подпіс1       = '''Рысунак 1'''. [[Датычная, геаметрыя|Датычная]] ў пункце {{math|(''x'', ''f''(''x''))}}
 | шырыня1          = 250
 | выява2           = Secant-calculus.svg
 | подпіс2       = '''Рысунак 2'''. [[Сякучая прамая|Сякучая]] да крывой {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}}, вызначаная пунктамі {{math|(''x'', ''f''(''x''))}} і {{math|(''x''+''h'', ''f''(''x''+''h''))}}
 | шырыня2          = 250
 | выява3           = Lim-secant.svg
 | подпіс3       = '''Рысунак 3'''. Датычная як ліміт сякучых
 | шырыня3          = 250
 | box_caption = Скорасць змянення як лімітавае значэнне
}}

Няхай у некаторым [[Наваколле, матэматыка|наваколлі]] <math>U(x_0)\subset \R</math> [[пункт]]а <math>x_0 \in \R</math> вызначана [[функцыя]] <math>f:U(x_0) \to \R.</math>

'''Вытво́рнаю''' функцыі <math>f</math> у пункце <math>x_0</math> называецца [[Ліміт функцыі|ліміт]]
: <math>f'(x_0) := \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},</math>
калі яна існуе і канечная.

Вытворную функцыі <math>y=f(x)</math> у пункце <math>x_0</math> звычайна абазначаюць адным з наступных спосабаў
: <math>f'(x_0), \quad D f(x_0), \quad \frac{df(x_0)}{dx},</math>&emsp;або&emsp;<math>\dot{y}(x_0).</math>
Падрабязней пра ўжыванне кожнага са спосабаў гл. раздзел [[#Абазначэнні вытворнай]].

''Заўвага'': Вытворная <math>f'(x_0)</math> функцыі <math>f</math> у пункце <math>x_0</math> па азначэнні ёсць лімітам, а таму можа існаваць або не, і быць канечнай ці бесканечнай.

[[Файл:What is derivative (animation).gif|thumb|Анімацыя, якая дае інтуітыўнае ўяўленне аб вытворнай, як «размах» змены функцыі пры змене аргументу.]]

== Спалучаныя з азначэннем паняцці ==
* Назавём <math>\Delta x = x - x_0</math> '''прыро́стам аргуме́нта''' функцыі, а <math>\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)</math> '''прыро́стам значэ́ння''' функцыі ў пункце <math>x_0.</math> Тады
*: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.</math>
* Няхай функцыя <math>f:(a,b) \to \R</math> мае канечную вытворную ў кожным пункце <math>x_0 \in (a,b).</math> Тады вызначана '''вытворная функцыя'''
*: <math>f':(a,b) \to \R.</math>
* Калі вытворная функцыя сама з’яўляецца непарыўнай, то функцыю <math>f</math> называюць '''непары́ўна дыферэнцава́льнай''' і пішуць: <math>f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).</math>

== Дыферэнцавальнасць ==
{{main|Дыферэнцавальная функцыя}}

Функцыя адной зменнай {{math|''f''(''x'')}} называецца '''дыферэнцава́льнай''' у пункце {{math|''x''<sub>0</sub>}}, калі існуе канечны лік {{math|''A''}}, такі што ў некаторым [[наваколле пункта|наваколлі]] {{math|''U''(''x''<sub>0</sub>)}} пункта {{math|''x''<sub>0</sub>}} справядліва роўнасць
: <math>f(x) = f(x_0) + A (x-x_0) + o(x-x_0)</math>&emsp;пры&emsp;<math>x \to x_0,</math>
дзе {{math|''o''(''x''-''x''<sub>0</sub>)}} ёсць [[бесканечна малая велічыня]] пры {{math|''x'' → ''x''<sub>0</sub>}}.

'''Тэарэма'''
: Функцыя адной зменнай <math>f(x)</math> з’яўляецца дыферэнцавальнай у пункце <math>x_0</math>, калі і толькі калі яе вытворная <math>f'(x_0)</math> ў гэтым пункце існуе і канечная. Пры гэтым спраўджваецца роўнасць
: <math>A = f'(x_0).</math>

''Заўвага'': для функцыі адной зменнай існаванне канечнай вытворнай і дыферэнцавальнасць функцыі ў пункце раўназначныя між сабою. Аднак у выпадку функцый некалькіх зменных гэта не так: з дыферэнцавальнасці функцыі ў пункце вынікае існаванне [[частковая вытворная|частковых вытворных]], але не наадварот (гэта значыць, з існавання частковых вытворных у пункце, увогуле кажучы, '''не''' вынікае дыферэнцавальнасць функцыі).

== Вытворныя вышэйшых парадкаў ==
Вытворныя вышэйшых парадкаў вызначаюцца [[Зваротныя суадносіны|зваротным чынам]] праз вытворныя ніжэйшых парадкаў. А іменна, прымаем па азначэнні, што вытворная нулявога парадку — гэта сама функцыя:
: <math>f^{(0)}(x_0) := f(x_0).</math>
Калі функцыя <math>f</math> дыферэнцавальная ў <math>x_0</math>, то вытворная першага парадку вызначаецца як
: <math>f^{(1)}(x_0) := f'(x_0).</math>
Няхай цяпер вытворная {{math|''n''}}-га парадку <math>f^{(n)}</math> вызначана ў некаторым наваколлі кропкі <math>x_0</math> і дыферэнцавальная. Тады {{math|(''n''+1)}}-ая вытворная вызначаецца як вытворная {{math|''n''}}-ай вытворнай:
: <math>f^{(n+1)}(x_0) := \left(f^{(n)}\right)'(x_0).</math>

Вытворныя вышэйшых парадкаў абазначаюцца адным з наступных спосабаў:
: <math>f^{(n)}(x_0), \quad D^n f(x_0),</math>&emsp;або&emsp;<math>\frac{d^nf(x_0)}{dx^n}.</math>
Падрабязней пра абазначэнні гл. раздзел [[#Абазначэнні вытворнай]].

== Абазначэнні вытворнай ==

=== Лейбніцавы абазначэнні ===
Абазначэнні, уведзеныя [[Готфрыд Лейбніц|Готфрыдам Лейбніцам]], былі аднымі з першых. Яны і дагэтуль шырока ўжываюцца ў выпадку, калі ўраўненне {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} разглядаецца як функцыянальная залежнасць паміж [[залежныя і незалежныя зменныя|залежнай і незалежнай зменнымі]]. Першая вытворная абазначаецца як
: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),</math> або <math>\frac{d}{dx}f(x),</math>

Калісь такі запіс разглядалі як [[дзель]] двух [[бесканечна малая велічыня|бесканечна малы́х]].

Вытворную ''n''-га парадку функцыі {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} (па зменнай {{math|''x''}}) запісваюць як
: <math>\frac{d^ny}{dx^n}, \quad\frac{d^n f}{dx^n}(x),</math>&emsp;або&emsp;<math>\frac{d^n}{dx^n}f(x).</math>

Па сутнасці, такія абазначэнні — скарачэнне для кратнага прымянення [[Аператар, матэматыка|аператара]] вытворнай. Напрыклад,
: <math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>

У Лейбніцавых абазначэннях вытворную функцыі {{math|''y''}} у пункце {{math|''x'' {{=}} ''a''}} можна запісаць двума шляхамі:
: <math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).</math>

Абазначэнні Лейбніца дазваляюць пазначаць зменную дыферэнцавання (у назоўніку «дробу»). Гэта асабліва зручна для [[частковая вытворная|частковых вытворных]]. Таксама такія пазначэнні дапамагаюць запомніць [[вытворная складанай функцыі|правіла цэпа]]<ref>
Пры пабудове матэматычнага аналізу на аснове паняцця [[ліміт (матэматыка)|ліміту]], сімвал {{math|''du''}} розныя аўтары разглядаюць па-рознаму. Некаторыя аўтары не надзяляюць ніякім сэнсам сімвал {{math|''du''}} сам па сабе, і разглядаюць яго толькі як частку складанага сімвала {{math|''du''/''dx''}}. Іншыя ж вызначаюць {{math|''dx''}} як незалежную зменную, а сімвал {{math|''du''}} — як {{math|''du'' {{=}} ''f''&prime;(''x'')·''dx''}}. У [[нестандартны аналіз|нестандартным аналізе]] {{math|''du''}} вызначаецца як бесканечна малая велічыня. Яе таксама вытлумачваюць як [[вонкавая вытворная|вонкавую вытворную]] функцыі {{math|''u''}}. Падрабязней гл. [[дыферэнцыял (бесканечна малая)]].
</ref>:
: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>

=== Лагранжавы абазначэнні ===
Гэтыя абазначэнні былі ўведзены [[Жазэф Луі Лагранж|Жазэфам-Луі Лагранжам]], і з’яўляюцца аднымі з самых распаўсюджаных сучасных абазначэнняў дыферэнцавання. У гэтых абазначэннях вытворную функцыі {{math|''f''(''x'')}} запісваюць як {{math|''f''&prime;(''x'')}} ці проста {{math|''f''&prime;}}, выкарыстоўваючы [[Штрых, сімвал|сімвал штрыха]]. Таму такія абазначэнні часам называюць '''штрыхавымі'''<ref>
{{cite web|title=The Notation of Differentiation|url=http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/notation.html|publisher=MIT|accessdate=24 October 2012|year=1998}}
</ref>. Гэткім жа чынам пазначаюць другую і трэцюю вытворныя, а менавіта:
: <math>(f')'=f''</math>&emsp;і&emsp;<math>(f'')'=f'''.</math>
Ужо для чацвёртай вытворнай ставіць штрыхі становіцца нязручным, і ўзнікае патрэба ўдасканалення гэтых абазначэнняў. Некаторыя аўтары запісваюць парадак вытворнай рымскімі лічбамі ў верхнім індэксе, іншыя ж запісваюць парадак арабскімі лічбамі ў дужках:
: <math>f^{\mathrm{IV}}</math>&emsp;або&emsp;<math>f^{(4)}.</math>
Апошняе абазначэнне лёгка абагульняецца на адвольны парадак вытворнай: запіс {{math|''f''<sup> (''n'')</sup>}} для ''n''-ай вытворнай функцыі {{math|''f''}} найбольш ужываны, калі разглядаюць саму вытворную як функцыю (пакідаюча па-за ўвагай «імя» зменнай), тады як Лейбніцавы абазначэнні вельмі грувасткія для гэтых мэт.

=== Ньютанавы абазначэнні ===
[[Ісаак Ньютан|Ньютанавы]] абазначэнні для дыферэнцавання, таксама называныя ''кропкавымі абазначэннямі'', выкарыстоўваюць кропкі, якія размяшчаюцца над іменем функцыі і сваёю колькасцю пазначаюць парадак вытворнай. Такім чынам, калі {{math|''y'' {{=}} ''f''(''t'')}}, тады запісы
: <math>\dot{y}</math>&emsp;і&emsp;<math>\ddot{y}</math>
абазначаюць адпаведна першую і другую вытворныя {{math|''y''}} па зменнай {{math|''t''}}. Гэтыя абазначэнні выкарыстоўваюцца амаль выключна для пазначэння [[вытворная па часе|вытворных па часе]], маючы на ўвазе, што незалежная зменная функцыі — гэта [[час]] (г.зн. адлюстроўвае ход часу). Такія абазначэнні шырока распаўсюджаныя ў [[фізіка|фізіцы]] (асабліва ў [[механіка|механіцы]]) і галінах матэматыкі, звязаных з фізікаю, такіх як [[дыферэнцыяльныя ўраўненні]]. І хоць гэтыя абазначэнні непрыдатныя для запісу вытворных высокіх парадкаў, на практыцы ўжываюцца толькі вытворныя малых парадкаў.

=== Ойлеравы абазначэнні ===
[[Леанард Ойлер|Ойлеравы]] абазначэнні выкарыстоўваюць [[дыферэнцыяльны аператар]] {{math|''D''}}, прымяненне якога да функцыі {{math|''f''}} дае першую вытворную {{math|''Df''}}. Другая вытворная абазначаецца як {{math|''D''<sup>2</sup>''f''}}, а ''n''-ая вытворная абазачаецца як {{math|''D''<sup>''n''</sup>''f''}}.

Няхай {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} — функцыя. Каб падкрэсліць зменную, па якой адбываецца дыферэнцаванне, да сімвала {{math|''D''}} далучаюць ніжні індэкс {{math|''x''}}. Тады Ойлеравы абазначэнні запісваюцца як
: <math>D_x y</math>&emsp;або&emsp;<math>D_x f(x)</math>.
Аднак звычайна, калі і так зразумела, якую зменную маюць на ўвазе, ніжні індэкс апускаюць, так, напрыклад, робяць, калі {{math|''x''}} адзіная зменная ў выразе.

Ойлеравы абазначэнні зручныя для запісу і развязання [[лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне|лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў]].

== Геаметрычны і фізічны сэнс вытворнай ==

=== Тангенс вугла нахілу датычнай прамой ===
{{main|Датычная прамая}}

Калі функцыя <math>f:U(x_0) \to \R</math> мае канечную вытворную ў пункце <math>x_0,</math> то ў наваколлі <math>U(x_0)</math> яе можна прыблізіць [[Лінейная функцыя|лінейнай функцыяй]]
: <math>f_l(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).</math>
Функцыя <math>f_l</math> вызначае датычную да графіка <math>f</math> у пункце <math>x_0.</math> Лік <math>f'(x_0)</math> роўны вуглавому каэфіцыенту або [[тангенс]]у [[Вугал|вугла]] [[нахіл]]у датычнай прамой.

=== Хуткасць змянення функцыі ===
Хай <math>s=s(t)</math> — закон прамалінейнага [[Механічны рух|руху]]. Тады <math>v(t_0)=s'(t_0)</math> ёсць [[імгненная хуткасць]] руху ў момант часу <math>t_0.</math> Другая вытворная <math>a(t_0) = s''(t_0)</math> ёсць [[імгненнае паскарэнне]] ў момант часу <math>t_0.</math>

Наогул, вытворная функцыі <math>y=f(x)</math> у пункце <math>x_0</math> выражае хуткасць змянення функцыі ў пункце <math>x_0</math>, гэта значыць хуткасць працякання [[працэс]]у, апісанага ўраўненнем <math>y=f(x).</math>

== Прыклады ==
* Хай <math>f(x) = x^2.</math> Тады
: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.</math>
* Хай <math>f(x) = |x|.</math> Тады калі <math>x_0 \neq 0,</math> то
: <math>f'(x_0) = \sgn x_0,</math>
дзе праз <math>\sgn</math> пазначана [[Функцыя sgn(x)|функцыя знака]]. Калі ж <math>x_0 = 0,</math> то
<math>f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1,</math>
і, такім чынам, <math>f'(x_0)</math> не існуе.

== Правілы дыферэнцавання ==
{{Асноўны артыкул|Табліца вытворных}}
{{гл. таксама|Дыферэнцаванне складанай функцыі}}

Часцей за ўсё, вытворную знаходзяць не па азначэнні (г.зн. не як ліміт дзелі прыростаў), а з дапамогай правіл дыферэнцавання і табліцы вытворных найпрасцейшых элементарных функцый. Некалькі такіх правіл прыведзена ніжэй.

* ''Правіла сталай'': калі {{math|''f''(''x'')}} ёсць [[сталая велічыня|сталая функцыя]], то
: <math>f' = 0. \,</math>
* ''[[Лінейнасць дыферэнцавання|Правіла сумы]]'':
: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,</math> для любых функцый {{math|''f''}} і {{math|''g''}} і любых рэчаісных лікаў <math>\alpha</math> і <math>\beta</math>.
* ''[[Правіла Лейбніца]]'' або ''правіла здабытку'':
: <math>(fg)' = f 'g + fg' \,</math> для любых функцый {{math|''f''}} і {{math|''g''}}.
* ''[[Правіла дзелі]]'':
: <math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> для любых функцый {{math|''f''}} і {{math|''g''}} ў любых пунктах {{math|''x''}}, дзе {{math|''g''(''x'') ≠ 0}}.
* ''[[Ланцуговае правіла]]'': Няхай <math>h(x) = f(g(x))</math> — [[складаная функцыя]], тады
: <math>h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).</math>
* Калі функцыя {{math|''f''}} — [[адваротная функцыя|адваротная]] да {{math|''g''}} (гэта значыць {{math|1=''g''(''f''(''x'')) {{=}} ''x''}} і {{math|1=''f''(''g''(''y'')) {{=}} ''y''}}), то
: <math>g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}.</math>

== Уласцівасці вытворнай ==
* Калі функцыя дасягае ў пункце <math>~x</math> свайго найбольшага (або найменшага) значэння і дыферэнцавальная ў гэтым пункце, то <math>~f'(x)=0</math> (гэта сцвярджэнне яшчэ называюць [[Лема Ферма|лемай Ферма]]).

== Дыферэнцавальнасць і непарыўнасць ==
* Функцыя, дыферэнцавальная ў пункце, [[Непарыўная функцыя|непарыўная]] ў ім. Аднак з непарыўнасці дыферэнцавальнасць не вынікае.
* Калі функцыя дыферэнцавальная на прамежку <math>(a,b)</math>, то яна і непарыўная на гэтым прамежку.

== Гл. таксама ==
* [[Табліца вытворных]]
* [[Вытворная (матэматыка)|Вытворная ў матэматыцы]]
* [[Дыферэнцаванне складанай функцыі]]
* [[Першаісная]]
* [[Вытворная, абагульненне|Абагульненні вытворных]]
* [[Асноўная тэарэма аналізу]]
* [[Геаметрычны сэнс вытворнай]]
* [[Эканамічны сэнс вытворнай]]

{{Зноскі}}

== Літаратура ==
* {{кніга
|аўтар         = Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф.
|загаловак     = Основные математические формулы
|адказны       = Под ред. Богданова Ю.С.
|спасылка      = 
|месца         = Минск
|выдавецтва    = Вышэйшая школа
|год           = 1980
|том           = 
|старонак      = 
|старонкі      = 
|isbn          = 
}}
* ''В. Г. Болтянский,'' [http://plm.mccme.ru/ann/a17.htm Что такое дифференцирование?], [http://plm.mccme.ru «Популярные лекции по математике»], Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
* В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»

== Спасылкі ==
* [http://ru.numberempire.com/derivatives.php Анлайн-калькулятар вытворных]
* [http://pikod.ru/Производная%20функции%20онлайн/3/76 Анлайн калькулятар вытворных] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20160304141050/http://pikod.ru/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8%20%D0%BE%D0%BD%D0%BB%D0%B0%D0%B9%D0%BD/3/76 |date=4 сакавіка 2016 }} — вылічэнне вытворных любой складанасці, у т. л. трыганаметрычных, гіпербалічных, лагарыфмічных і інш.

{{Бібліяінфармацыя}}
[[Катэгорыя:Дыферэнцыяльнае злічэнне]]
[[Катэгорыя:Матэматычны аналіз]]