Прагляд зыходнага тэксту старонкі Гаусавы цэлыя лікі

[[Файл:Gaussian integer lattice.svg|thumb|217px|Рашотка гаусавых лікаў на камплекснай плоскасці]]
'''Гаусавы цэлыя лікі''' ('''гаусавы лікі''', '''цэлыя камплексныя лікі''') — гэта [[камплексныя лікі]], у якіх і рэчаісная, і ўяўная частка — цэлыя лікі{{sfn |Математическая энциклопедия|1977|name=MATH }}. Упершыню ўведзены [[Карл Фрыдрых Гаус|Гаусам]] у манаграфіі «Тэорыя біквадратычных вылікаў»{{sfn |Гаусс К. Ф.|1959|с=655—754. }} (1828—1832){{sfn |Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей|1978|с=88—92.|name=XIX }}. Мноства гаусавых цэлых лікаў прынята абазначаць <math>\mathbb{Z}[i],</math> іх уласцівасці падобныя на ўласцівасці мноства звычайных цэлых лікаў <math>\mathbb{Z},</math> але ёсць і істотныя адрозненні.

== Агульныя ўласцівасці ==

=== Азначэнне і класіфікацыя ===
Фармальнае азначэнне:
: <math>\mathbb{Z}[i] = \{a+bi : a,b\in \mathbb{Z} \}.</math>
Мноства <math>\mathbb{Z}[i]</math> утрымлівае мноства звычайных цэлых лікаў <math>\mathbb{Z}</math> і з’яўляецца яго пашырэннем{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=146. }}. Сума, рознасць і здабытак гаусавых лікаў з’яўляюцца гаусавымі лікамі; такая алгебраічная структура называецца [[Кальцо (алгебра)|колцам]]{{sfn |Айерлэнд К., Роузен М.|1987|с=23. }}. Увесці ў гэтым камплексным колцы [[Дачыненне парадку|ўпарадкаванасць]] немагчыма. Адзначым таксама, што [[Спалучаны лік|спалучаны]] да гаусавага ліку <math>a+bi</math> ёсть таксама гаусаў лік <math>a-bi.</math>

Кожны лік <math>z=a+bi</math> задавальняе [[квадратнае ўраўненне]]:
: <math>(z-a)^2+b^2=0.</math>
Таму гаусаў лік ёсць [[цэлы алгебраічны лік]].

=== Норма ===
'''Норма''' для гаусавага ліку <math>a + bi</math> вызначаецца як квадрат яго [[Абсалютная велічыня|модуля]]{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=27—28. }}:
: <math>N \left(a+bi \right) = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)}.</math>

'''Уласцівасці нормы'''{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=147—149.|name=KF148 }}:
* Норма роўная нулю толькі для нуля. У астатніх выпадках норма — дадатны цэлы лік.
* Нормы [[Камплексны лік|спалучаных лікаў]] супадаюць.
* Норма звычайнага цэлага ліку роўная яго квадрату.
* Калі норма няцотная, то яна мае від {{math|4''n'' + 1}}, г. зн. пры дзяленні яе на 4 атрымліваецца астача 1. Ніякі гаусаў лік не можа мець норму віду {{math|4''n'' + 3}}.

Норма, як і модуль, мае ўласцівасць [[мультыплікатыўнасць|мультыплікатыўнасці]]<ref name=KF148/>:
: <math>N(u\cdot v) = N(u)\cdot N(v).</math>
Адсюль вынікае<ref name=OKU29/>, што абарачальнымі элементамі колца (''[[Абарачальны элемент|дзельнікамі адзінкі]]'') з’яўляюцца тыя элементы, чыя норма роўная 1, г. зн. <math>\{1; -1; i; -i \}.</math>

Два гаусавыя лікі называюцца ''асацыіраванымі'', калі адзін атрымліваецца з другога дамнажэннем на дзельнік адзінкі. Лёгка бачыць, што асацыіраванасць — [[дачыненне эквівалентнасці]]<ref name=OKU29/>. Прыклад: гаусавы лікі {{math|1 + ''i''}} і {{math|1 − ''i''}} асацыіраваныя, бо:
: <math>1+i = i(1-i).</math>
У кожнага ненулявога гаусавага ліку ёсць тры асацыіраваныя з ім. Нормы ўсіх чатырох асацыіраваных паміж сабою лікаў супадаюць.

== Тэорыя дзялімасці ==

=== Дзяленне цалкам ===
Дзяленне цалкам гаусавых лікаў вызначаецца звычайным чынам<ref name=KF148/>:
{{рамка}}
Кажуць, што гаусаў лік <math>u</math> '''дзеліцца''' ('''цалкам''') на гаусаў лік <math>v</math>, калі існуе трэці гаусаў лік <math>q</math> такі, што <math>u=vq</math>.

Абазначэнне: <math>v|u.</math>
{{/рамка}}
Чытанне: адзін з трох раўназначных варыянтаў,
* <math>u</math> дзеліцца на <math>v;</math>
* <math>v</math> дзеліць <math>u;</math>
* <math>v</math> — дзельнік <math>u.</math>
Ужываюцца традыцыйныя тэрміны: [[дзеліва]] ці [[кратнае]] (<math>u</math>), [[дзельнік]] (<math>v</math>) і [[дзель]] (<math>q</math>). Колькасць дзельнікаў гаусавага ліку заўсёды канечная, колькасць кратных бесканечная.
 
Прыклад: лік 2 дзеліцца цалкам на {{math|1 + ''i''}}, таму што <math>~2=(1+i)(1-i)</math>.

Усе гаусавы лікі дзеляцца на дзельнікі адзінкі, таму любы гаусаў лік, які не дзеліць адзінку, мае сама менш 8 дзельнікаў: 4 дзельнікі адзінкі і 4 іх здабыткі на сам лік. Гэтыя дзельнікі называюцца '''трывіяльнымі'''{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=32. }}.

Дзяленне цалкам у <math>\mathbb{Z}[i]</math> па сваіх уласцівасцях падобнае на дзяленне цалкам цэлых лікаў. Некаторыя асаблівасці дзялімасці гаусавых лікаў{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=29.|name=OKU29 }}<ref name=KF148/>:
* Калі гаусаў лік <math>z</math> дзеліцца цалкам на звычайны цэлы лік, то на гэты цэлы лік дзеляцца як рэчаісная, так і ўяўная частка <math>z.</math>
* Калі <math>u|v</math> і <math>v|u</math>, то гэтыя лікі асацыіраваныя.
* Калі <math>u|v</math>, то любы з 3 лікаў, асацыіраваных з <math>v,</math> дзеліцца на любы з 3 лікаў, асацыіраваных з <math>u</math>.
* Калі <math>u</math> дзеліцца на <math>v\; (u=vq)</math>, то спалучаны да дзялімага ліку <math>\overline u</math> дзеліцца на спалучаны да дзельніка <math>\overline v \; (\overline u=\overline v\overline q).</math>
* Усе дзельнікі гаусавага ліку <math>z</math> з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы <math>N(z)=z \cdot \overline{z}.</math>
* Норма гаусавага ліку цотная тады і толькі тады, калі гэты лік дзеліцца на <math>~1+i.</math>
* Калі <math>v|u</math>, то і норма дзеліва, па мультыплікатыўнасці, дзеліцца цалкам на норму дзельніка. Пры гэтым:
:: <math>N\left(\frac{u}{v}\right) = \frac {N(u)} {N(v)}.</math>

=== Геаметрычнае прадстаўленне дзялімасці ===
У кожнага гаусавага ліку <math>z</math> ёсць 4 кратныя з тою ж нормаю (і, адпаведна, тым жа модулем) — гэта сам <math>z</math> і асацыіраваныя з ім 3 лікі, атрыманыя паслядоўным дамнажэннем <math>z</math> на <math>i</math>:
: <math>z,\ iz,\ -z,\ -iz.</math>
Але дамнажэнне на <math>i</math> геаметрычна на [[Камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]] адпавядае павароту [[радыус-вектар]]а ліку на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, прычым модуль здабытку будзе той жа. Такім чынам, усе 4 лікі ўтвараюць роўнастаронні крыж (выдзелены чырвоным на рысунку), цэнтр і вяршыні якога кратныя <math>z</math>. Паслядоўна ссоўваючы гэты крыж ва ўсе бакі на адну з 4 велічынь, асацыіраваных з <math>z</math>, атрымліваем на ўсёй плоскасці квадратную рашотку, усе вузлы якой (вяршыні квадратаў) кратныя <math>z.</math> Напрыклад, на рысунку <math>~4-2i=-2i(1+2i).</math> Наадварот, любое кратнае <math>z</math> супадае з адным з вузлоў рашоткі.

=== Простыя гаусавы лікі ===
[[Выява:Gaussian-primes.svg|thumb|<center>Размеркаванне гаусавых простых лікаў на камплекснай плоскасці (простыя лікі выдзелены чырвоным колерам)</center>]]
'''Просты гаусаў лік''' — гэта ненулявы лік, які не мае іншых дзельнікаў, акрамя трывіяльных. Лік, які не з’яўляецца простым, называецца '''састаўным'''. Пры гэтым дзельнікі адзінкі, як і натуральная адзінка, не лічацца ні простымі, ні састаўнымі лікамі{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=150. }}.

Некаторыя ўласцівасці простых гаусавых лікаў:
* Калі <math>a+bi</math> — просты гаусаў лік, то і [[Спалучаны лік|спалучаны з ім]] гаусаў лік <math>a-bi</math> таксама просты.
* Калі просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам здабытку гаусавых лікаў, то ён з’яўляецца дзельнікам хоць аднаго з сумножнікаў.
* Норма любога простага гаусавага ліку, акрамя асацыіраваных з <math>1+i</math>, заўсёды няцотная і таму мае від <math>4n+1.</math>

Натуральны [[просты лік]] можа не быць гаусавым простым лікам. Напрыклад, лікі 2 і 5 у <math>\mathbb{Z}[i]</math> ужо не простыя:
: <math>2 = (1+i)(1-i);\quad 5 = (2+i)(2-i).</math>

=== Узаемна простыя лікі ===
Калі гаусаў лік <math>w</math> з’яўляецца дзельнікам для двух гаусавых лікаў <math>u</math> і <math>v</math>, ён называецца іх '''агульным дзельнікам'''. Мноства агульных дзельнікаў двух лікаў заўсёды ўтрымлівае 4 дзельнікі адзінкі; калі іншых агульных дзельнікаў няма, гэтыя лікі называюцца '''ўзаемна простымі'''{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=155.|name=KF155 }}.

Адзначым, што калі нормы гаусавых лікаў <math>~u, v</math> узаемна простыя як цэлыя лікі, то і самі лікі <math>~u, v</math> узаемна простыя як гаусавы лікі. Адваротнае несправядліва: нормы ўзаемна простых гаусавых лікаў могуць мець агульныя дзельнікі — напрыклад, <math>5+2i</math> і <math>5-2i</math> узаемна простыя, але іх нормы супадаюць і таму не ўзаемна простыя.

Прывядзём дзве ўласцівасці, падобныя на ўласцівасці цэлых лікаў.
* Калі кожны з двух гаусавых лікаў <math>u,v</math> узаемна просты з гаусавым лікам <math>w,</math> то і іх здабытак <math>uv</math> узаемна просты<ref name=KF155/> з <math>w.</math>
* Калі <math>z|uv</math> і пры гэтым <math>z</math> узаемна просты з <math>u</math>, то{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=156. }} <math>z|v.</math>

=== Крытэрый Гауса ===
Гаус указаў вызначальныя прыкметы простага ліку ў <math>\mathbb{Z}[i]</math>{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=41, 44. }}.
{{рамка}}
Гаусаў лік <math>a+bi</math> з’яўляецца простым тады і толькі тады, калі:
* альбо адзін з лікаў <math>a, b</math> нулявы, а другі — цэлы просты лік віду {{s|<math>\pm(4n+3)</math>}};
* альбо <math>a, b</math> абодва не нулі, і норма <math>a^2+b^2</math> — просты натуральны лік.
{{/рамка}}
Прывядзём прыклады простых гаусавых лікаў.
* Да першай часткі крытэрыя: <math>\pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i.</math>
* Да другой часткі крытэрыя: <math>1 \pm i;\ 1 \pm 2i;\ 1 \pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i.</math>
Некаторыя крыніцы дзеля большае яснасці раздзяляюць другую частку крытэрыя на дзве{{sfn |A classification of gaussian primes|с=10. }}:
# Лікі, асацыіраваныя з <math>1+i.</math> Іх норма роўная 2.
# Лікі, чыя норма ёсць просты [[натуральны лік]] віду <math>4n+1.</math>
Сам Гаус такога раздзялення не рабіў{{sfn |Гаусс К. Ф.|1959|с=698. }}.

'''Вынікі'''.
* Ніякі просты натуральны лік віду <math>4n+1</math> не можа быць простым гаусавым лікам. Простыя натуральныя лікі віду <math>4n+3</math> з’яўляюцца і простымі гаусавымі лікамі.
* Норма простага гаусавага ліку з’яўляецца альбо простым натуральным лікам, альбо квадратам простага натуральнага ліку{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=158. }}.
* Просты натуральны лік віду <math>4n+1</math> можна прадставіць як здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў <math>(a+b i)(a-b i)</math> ці, што тое самае, як суму квадратаў <math>a^2+b^2</math>. Гэты факт вядомы як [[Тэарэма Ферма — Эйлера]]. Іменна пры даследаванні гэтай тэмы, а таксама тэорыі біквадратычных рэшт, Гаус з поспехам прымяніў цэлыя камплексныя лікі. Наадварот, калі просты лік можна прадставіць як суму натуральных квадратаў, то ў <math>\mathbb{Z}[i]</math> ён састаўны і раскладваецца на два спалучаныя гаусавыя простыя<ref name=CON9/>.
* Кожны просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам аднаго і толькі аднаго простага натуральнага ліку{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 9.|name=CON9 }}. Гэта значыць, раскладаючы натуральныя простыя на гаусавы множнікі, можна атрымаць усе гаусавы простыя.

=== Раскладанне на простыя множнікі ===
У <math>\mathbb{Z}[i]</math> спраўджваецца аналаг [[асноўная тэарэма арыфметыкі|асноўнай тэарэмы арыфметыкі]]: кожны гаусаў лік, не роўны нулю ці дзельніку адзінкі, раскладаецца на простыя множнікі, прычым гэта раскладанне адназначнае з дакладнасцю да парадку і асацыіраванасці множнікаў<ref name=MATH/>{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=33—34. }}.

Прыклад: <math>5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i).</math> Множнікі гэтых двух, з выгляду розных, раскладанняў папарна асацыіраваныя: <math>1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),</math> так што адназначнасць не парушаецца.

Каб практычна раскласці гаусаў лік <math>z</math> на простыя множнікі, можно выкарыстаць прыведзеную вышэй уласцівасць: усе дзельнікі гаусавага ліку з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы. Пры гэтым норма ўтрымлівае таксама «лішнія» простыя множнікі, якія адпавядаюць спалучанаму з <math>z</math> ліку.

Такім чынам, пачаць трэба з раскладвання нормы ліку <math>z</math> на простыя натуральныя множнікі{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 6. }}.
# Множнік 2, калі ён ёсць у раскладанні нормы, раскладваецца як <math>(1+i)(1-i)</math>. Трэба ўключыць у выніковае раскладанне тыя з гэтых множнікаў (у адпаведнай ступені), на якія <math>z</math> дзеліцца цалкам.
# Акрамя 2, астатнія множнікі нормы — няцотныя. Множнік віду <math>4n+3</math> з’яўляецца простым гаусавым лікам, таму ён дзеліць не толькі норму <math>N(z)=~z \overline{z}</math>, але і сам <math>z.</math> Але тады гэты множнік дзеліць і спалучаны лік <math>\overline{z}</math>. Адсюль выцякае, што множнік віду <math>4n+3</math> уваходзіць у раскладанне нормы заўсёды ў цотнай ступені, а ў раскладанне самога <math>z</math> — у ступені, удвая меншай.
# Множнік віду <math>4n+1</math> можна раскласці на здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў (ці, што тое самае, на суму квадратаў натуральных лікаў). І тут трэба дзяленнем высветліць, які з сумножнікаў адносіцца да зыходнага ліку, а які — да спалучанага.

Прыклад. Раскладзём на простыя множнікі <math>9+12i.</math> Норма гэтага ліку роўная 225, раскладзём яе на простыя натуральныя множнікі: <math>~225=3^2 \cdot 5^2.</math> Згодна з вышэйсказаным, <math>~5=(2-i)(2+i).</math> Праверкаю пераконваемся, што <math>9+12i</math> дзеліцца толькі на <math>~2+i</math> і не дзеліцца на <math>~2-i.</math> Дзель <math>9+12i</math> на <math>~3(2+i)</math> роўная <math>~2+i,</math> таму канчаткова атрымліваем:
: <math>9+12i=3\cdot(2+i)^2.</math>

== Тэорыя параўнанняў ==

=== Параўнанні па гаусаваму модулю ===
Паняцце [[параўнанне па модулю|параўнання па модулю]] вызначаецца ў <math>\mathbb{Z}[i]</math> аналагічна таму, як гэта робіцца для цэлых лікаў<ref name=CON7/>:
{{рамка}}
Няхай <math>w</math> — некаторы гаусаў лік. Два гаусавыя лікі <math>u, v</math> называюцца '''параўнальнымі па модулю''' <math>w</math>, калі рознасць <math>u-v</math> дзеліцца (цалкам) на <math>w</math>.

Гэта запісваецца так: <math>~u\equiv v\pmod w.</math>
{{/рамка}}
Уласцівасці параўнанняў у <math>\mathbb{Z}[i]</math> у асноўным такія ж, як у цэлых лікаў. Дачыненне параўнальнасці ёсць [[дачыненне эквівалентнасці]], таму <math>\mathbb{Z}[i]</math> разбіваецца на неперасечныя [[Параўнанне па модулю|класы вылікаў]] — кожны такі клас утрымлівае ўсе параўнальныя адзін з адным (па вызначанаму модулю) гаусавы лікі. Для класаў, як і ў выпадку цэлых лікаў, можна вызначыць складанне і множанне, так што атрымліваецца [[колца вылікаў]] па гаусаваму модулю.

Прыклад. Возьмем у якасці модуля параўнання <math>1+i</math>. Тады <math>\mathbb{Z}[i]</math> разбіваецца на два класы вылікаў: лікі <math>a+bi</math>, у якіх <math>a,b</math> аднолькавай цотнасці, трапяць у адзін клас (які ўтрымлівае кратныя для модуля), а лікі з рознай цотнасцю <math>a,b</math> — у другі.

У гаусавага параўнання ёсць некаторыя асаблівасці. Напрыклад, калі для цэлых лікаў па модулю 3 існуе 3 класы вылікаў з прадстаўнікамі <math>0;\ 1;\ 2,</math> то для гаусавых лікаў па таму ж модулю колькасць класаў значна большая. Іх прадстаўнікі:
: <math>0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1 + i;\ 2 + i;\ 2i;\ 1 + 2i;\ 2 + 2i.</math>
Як устанавіў Гаус, колца вылікаў па модулю <math>a+bi</math> утрымлівае <math>~N(a+bi)=a^2+b^2</math> элементаў{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 7.|name=CON7 }}. З гэтае прычыны прыходзіцца змяняць фармулёўкі некаторых класічных тэарэм, каб яны заставаліся справядлівымі і для гаусавых лікаў. Напрыклад, [[малая тэарэма Ферма]] для цэлых лікаў сцвярджае, што <math>(a^p-a)</math> дзеліцца на <math>p</math> для любога простага <math>p</math> і натуральнага <math>a</math>. Для гаусавых лікаў гэта несправядліва, нават калі абмежавацца натуральнымі значэннямі <math>p</math>; напрыклад, для цэлых лікаў <math>a^3-a</math> заўсёды дзеліцца на 3, а для гаусавых <math>i^3-i=-2i</math>, і гэта значэнне на 3 не дзеліцца. Адпаведнік малой тэарэмы Ферма для гаусавых лікаў фармулюецца наступным чынам<ref name=CON7/>:
{{тэарэма|
Для простага гаусавага ліку <math>w=a+bi</math> і любога гаусавага ліку <math>u</math><br> <math>(u^{N(w)}-u) = (u^{a^2+b^2}-u)</math> дзеліцца на <math>w.</math>
}}
Праверым на тым жа прыкладзе з <math>w=3; u=i.</math> Атрымаем: <math>~(i^9-i)=0</math> — дзеліцца на 3.

Назавём клас вылікаў па модулю <math>w,</math> у якім утрымліваецца лік <math>u,</math> '''абарачальным''', калі параўнанне
: <math>~ux \equiv 1\pmod w</math>
мае рашэнне адносна <math>x.</math> Клас абарачальны тады і толькі тады, калі гаусавы лікі <math>u</math> і <math>w</math> узаемна простыя<ref name=CON7/>. У прыватнасці, калі модуль параўнанняў <math>w</math> — гаусаў просты лік, то кожны ненулявы клас вылікаў мае адваротны элемент, а гэта значыць, што класы вылікаў па простаму модулю ў <math>\mathbb{Z}[i]</math>, як і ў <math>\mathbb{Z},</math> утвараюць [[Поле (алгебра)|поле]].

=== Функцыя Эйлера для гаусавых лікаў ===
Увядзём аналаг [[Функцыя Эйлера|функцыі Эйлера]] для гаусавых лікаў. Азначэнне для цэлых лікаў не падыходзіць хаця б таму, што выраз «ад 1 да {{math|''n''}}», які ўваходзіць у гэта азначэнне, не мае сэнсу для камплексных лікаў. Новае азначэнне<ref name=CON7/>:
{{рамка}}
'''Функцыя Эйлера''' <math>\varphi(z)</math> для гаусавага ліку <math>z</math> вызначаецца як лік абарачальных класаў вылікаў па модулю <math>z.</math>
{{/рамка}}
Вызначаная такім чынам функцыя, як і яе прататып для цэлых лікаў, [[Мультыплікатыўная функцыя|мультыплікатыўная]], таму дастаткова знаць яе значэнні для простых лікаў і іх натуральных ступеней. Калі <math>z</math> — просты гаусаў лік, то<ref name=CON7/>:
: <math>\varphi(z)=N(z)-1; \quad \varphi(z^k)=N(z)^{k-1}(N(z)-1).</math>
Прыклад:
: <math>\varphi(3+4i) = \varphi((2+i)^2) = N(2+i)(N(2+i)-1) = 5\cdot 4 = 20.</math>

Цяпер можна абагульніць прыведзеную ў папярэднім раздзеле малую тэарэму Ферма на выпадак адвольнага (не абавязкова простага) модуля параўнання, г. зн. прывесці аналаг [[Тэарэма Эйлера (тэорыя лікаў)|тэарэмы Эйлера]]<ref name=CON7/>:
{{рамка}}
Калі гаусаў лік <math>z</math> узаемна просты з модулем <math>w,</math> то:<br />
: <math>z^{\varphi(w)} \equiv 1 \pmod w</math>
{{/рамка}}

=== Геаметрычнае прадстаўленне параўнання па модулю ===
Разгледзім для прыкладу параўнанне па модулю <math>w=1+2i.</math> Як сказана ў раздзеле аб геаметрычным прадстаўленні дзялімасці, можна разбіць камплексную плоскасць на квадраты так, што вузлы гэтай рашоткі (вяршыні квадратаў) прадстаўляюць усе магчымыя камплексныя кратныя <math>~1+2i.</math> Тады, па азначэнню, лікі параўнальныя па модулю <math>w</math>, калі іх рознасць супадае з адным з вузлоў рашоткі кратных.

Кожны квадрат рашоткі атрымліваецца з любога іншага квадрата зрушэннем (пераносам) на велічыню, кратную <math>w,</math> таму рознасць любой кропкі квадрата і выніку яе зрушэння таксама кратная <math>w.</math> Адсюль вынікае канчатковы вывад<ref name=CON7/>:
{{рамка}}
Гаусавы лікі параўнальныя па модулю <math>w</math> тады і толькі тады, калі яны займаюць аднолькавае адноснае становішча ў сваіх квадратах рашоткі кратных.
{{/рамка}}
Напрыклад, параўнальныя ўсе цэнтры квадратаў, ці ўсе сярэдзіны іх адпаведных старон і пад.

== Дзяленне з астачаю ==

=== Азначэнне ===
У колцы <math>\mathbb{Z}[i]</math> можна вызначыць дзяленне з астачаю (на любы ненулявы гаусаў лік), увёўшы патрабаванне, каб норма астачы была меншая за норму дзельніка{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 3. }}:
{{рамка}}
Любы гаусаў лік <math>u</math> можна раздзяліць з астачаю на любы ненулявы гаусаў лік <math>v</math>, г. зн. прадставіць у выглядзе:
: <math>u = vq + r,</math>
тут дзель <math>q</math> і астача <math>r</math> — гаусавы лікі, прычым <math>N(r)<N(v).</math>
{{/рамка}}
Нескладана паказаць, што ў якасці дзелі ад дзялення з астачаю можна ўзяць гаусаў лік, найбліжэйшы да дзелі звычайнага дзялення камплексных лікаў{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=30—31. }}.

Неабходна адзначыць, што ўмова «норма астачы меншая за норму дзельніка» недастатковая, каб гарантаваць адназначнасць астачы ад дзялення цалкам. У <math>\mathbb{Z}[i],</math> у адрозненне ад <math>\mathbb{Z},</math> астача неадназначная. Напрыклад, <math>~7+2i</math> можна раздзяліць на <math>~3-i</math> двума спосабамі:
: <math>7+2i = (3-i)(2+i)+i = (3-i)(1+i)+3.</math>
Можна гарантаваць толькі тое, што ўсе астачы пападаюць у адзін клас вылікаў па модулю дзельніка.

Прыклад. Раздзелім з астачаю <math>11+10i</math> на <math>4+i</math>. Спачатку знойдзем дзель ад звычайнага камплекснага дзялення:
: <math>\frac{11+10i}{4+i} = \frac{(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{54+29i}{17} \approx 3{,}17+1{,}7i</math>
Найбліжэйшы да выніку гаусаў лік ровен <math>3+2i,</math> тады астача роўная <math>~11+10i - (4+i)(3+2i) = 1-i.</math> У выніку атрымліваем:
: <math>11+10i = (4+i)(3+2i) + 1-i.</math>

=== Найбольшы агульны дзельнік ===
Колца гаусавых лікаў з’яўляецца [[Еўклідава колца|еўклідавым]], і ў ім заўсёды можна вызначыць [[найбольшы агульны дзельнік]], прычым адназначна з дакладнасцю да дзельнікаў адзінкі{{sfn |Окунев Л. Я.|1941|с=35—36. }}.
{{рамка}}
[[Найбольшы агульны дзельнік|Найбольшым агульным дзельнікам]] НАД<math>(u, v)</math> для гаусавых лікаў <math>u</math> і <math>v</math>, хаця б адзін з якіх ненулявы, называецца іх агульны дзельнік <math>d</math>, які дзеліцца на любы іншы агульны дзельнік <math>u</math> і <math>v.</math>
{{/рамка}}
Эквівалентнае азначэнне: НАД<math>(u, v)</math> ёсць той агульны дзельнік <math>u, v</math>, у якога норма найбольшая{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 4.|name=CON4 }}.

; Уласцівасці НАД
* Калі вядомы некаторы НАД, то любы з трох лікаў, асацыіраваных з ім, таксама будзе НАД. У прыватнасці, калі адзін з НАД — дзельнік адзінкі, то такімі ж будуць і астатнія тры НАД.
* Гаусавы лікі ўзаемна простыя тады і толькі тады, калі іх НАД ёсць дзельнік адзінкі.
* Мае месца аналаг [[Суадносіны Безу|суадносін Безу]]{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 5.|name=CON5 }}:
{{рамка}}
Няхай <math>u, v</math> — гаусавы лікі, і хоць адзін з іх не нуль. Тады існуюць такія гаусавы лікі <math>x, y</math>, што спраўджваюцца суадносіны:
: НАД<math>(u, v) = xu + yv.</math>
{{/рамка}}
:: Іншымі словамі, найбольшы агульны дзельнік двух гаусавых лікаў можна заўсёды прадставіць як [[лінейная камбінацыя|лінейную камбінацыю]] гэтых лікаў з гаусавымі каэфіцыентамі.
* Вынік суадносін Безу<ref name=CON5/>: калі гаусавы лікі <math>u, v</math> узаемна простыя, то ўраўненне
: <math>~xu + yv = 1</math>
адносна <math>x, y</math> мае рашэнне ў <math>\mathbb{Z}[i].</math> Замест 1 ў прыведзеным ураўненні можа стаяць любы іншы дзельнік адзінкі, тэарэма пры гэтым застанецца вернаю.

=== Алгарытм Еўкліда і практычнае вылічэнне НАД ===
Для вызначэння НАД ў <math>\mathbb{Z}[i]</math> зручна карыстацца [[алгарытм Еўкліда|алгарытмам Еўкліда]], цалкам аналагічным таму, які прымяняецца для цэлых лікаў. НАД атрымліваецца ў гэтай схеме як апошняя ненулявая астатача{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=153—155. }}. Алгарытм Еўкліда можна таксама выкарыстоўваць для знаходжання каэфіцыентаў <math>x, y</math> у суадносінах Безу<ref name=CON7/>.

Прыклад 1. Знойдзем НАД для <math>32+9i</math> і <math>4+11i.</math>
: Крок 1: <math>32+9i = (4+11i) (2-2i) + 2-5i</math> (падзялілі з астачаю першы лік на другі)
: Крок 2: <math>4+11i = (2-5i) (-2+i) + 3-i</math> (падзялілі з астачаю папярэдні дзельнік на астачу папярэдняга кроку)
: Крок 3: <math>2-5i = (3-i) (1-i) -i</math> (тое ж дзеянне)
: Крок 4: <math>3-i = (-i) (1+3i)</math> (тое ж дзеянне, лік падзяліўся цалкам)
Адзначым, што на кожным кроку норма астачы манатонна памяншаецца. Апошняя ненулявая астача роўная <math>-i</math>, гэта дзельнік адзінкі, таму робім вывад, што зыходныя лікі ўзаемна простыя.

Прыклад 2. Знойдзем НАД для <math>11+3i</math> і <math>1+8i.</math>
: Крок 1: <math>11+3i = (1+8i) (1-i) +2-4i</math>
: Крок 2: <math>1+8i = (2-4i) (-1+i) +(-1+2i)</math>
: Крок 3: <math>2-4i = (-1+2i) (-2)</math> (лік падзяліўся цалкам)
Апошняя ненулявая астача роўная <math>-1+2i</math>, гэта і ёсць шукаемы НАД. Паслядоўна падстаўляючы замест левых частак роўнасцей правыя (пачынаючы з прадапошняе роўнасці, знізу ўверх), атрымаем суадносіны Безу для НАД:
: <math>-1+2i = (11+3i)(1-i) + (1+8i)(1+2i).</math>

== Некаторыя прыкладанні ==
Гаус выкарыстаў адкрытую ім алгебраічную структуру для глыбокага даследавання біквадратычных вылікаў. Можна назваць і іншыя вобласці паспяховага прымянення гаусавых лікаў{{sfn |Conrad, Keith|loc=Глава 8.|name=CON8 }}. Паказальна, што значная іх частка адносіцца да тэорыі не камплексных, а натуральных лікаў.

=== Раскладанне натуральных лікаў на сумы квадратаў ===
З [[#Крытэрый Гауса|крытэрыя Гауса]] выцякае, што просты натуральны лік віду <math>4n+1</math> можна прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў, прычым толькі адным спосабам. Прыклад: <math>~29=(2+5i)(2-5i)=2^2+5^2.</math>

Раскладанне натуральных лікаў іншага віду не заўсёды магчымае — напрыклад, <math>15; 19; 27; 103</math> і іншыя лікі віду <math>4n+3</math> нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў. Састаўныя лікі могуць таксама мець больш чым адзін спосаб раскладання, напрыклад<ref name=CON8/>: <math>~65=4^2+7^2=1^2+8^2.</math>

Агульная тэарэма<ref name=CON9/>:
{{Тэарэма|Натуральны лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух квадратаў тады і толькі тады, калі ў яго [[Асноўная тэарэма арыфметыкі|кананічнае раскладанне]] ўсе простыя множнікі віду <math>4n+3</math> уваходзяць у цотных ступенях.}}

Прыклад: <math>35=5\cdot 7</math> нельга прадставіць як суму квадратаў, бо лік <math>7=4\cdot 1+3</math> мае няцотную ступень. Але <math>35\cdot 7=5\cdot 7^2</math> прадставіць можна: <math>245=7^2+14^2.</math>

=== Падлік колькасці прадстаўленняў у выглядзе сумы квадратаў ===
Лік прадстаўленняў <math>\rho(m)</math> натуральнага ліку <math>m</math> у выглядзе сумы квадратаў можна вызначыць наступным чынам{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=164—166. }}. Раскладзём <math>m</math> на простыя натуральныя множнікі:
: <math>m=2^\lambda p_1^{\lambda_1} p_2^{\lambda_2} \dots  p_r^{\lambda_r} q_1^{\mu_1} q_2^{\mu_2}\dots  q_s^{\mu_s},</math>
тут <math>p_i</math> — множнікі віду <math>4n+1,</math> а <math>q_j</math> — множнікі віду <math>4n+3.</math> Тады магчымыя 3 выпадкі.
# Калі хаця б адзін паказчык ступені <math>\mu_j</math> няцотны, лік <math>m</math> нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў.
# Няхай усе <math>\mu_j</math> цотныя. Канчатковая формула залежыць ад цотнасці <math>\lambda_i.</math> Калі ўсе яны таксама цотныя, формула выглядае так:
: <math>\rho(m)=\frac{1}{2} [(\lambda_1+1)  (\lambda_2+1) \cdots  (\lambda_r+1) + 1 ].</math>
# <li value="3"> Калі не ўсе <math>\lambda_i</math> цотныя, то формула трохі адрозніваецца:
: <math>\rho(m)=\frac{1}{2} (\lambda_1+1)  (\lambda_2+1) \cdots  (\lambda_r+1).</math>

=== Тэорыя піфагоравых троек ===
[[Піфагорава тройка]] — гэта адно з цэлалікавых рашэнняў ураўнення:
: <math>x^2+y^2=z^2.</math>
Агульнае рашэнне ўраўнення залежыць ад двух цэлых параметраў <math>m,n</math>:
: <math>x=m^2-n^2; \; y=2mn; \; z=m^2+n^2.</math>
Для генерацыі піфагоравых троек можна скарыстаць такі прыём. Няхай <math>a+bi</math> — адвольны гаусаў лік, у якога абедзве кампаненты <math>a,b</math> ненулявыя. Узводзячы гэты лік у квадрат, атрымаем некаторы гаусаў лік <math>~c+di.</math> Тады тройка <math>~\{|c|; |d|; N(c+di)\}</math> будзе піфагоравай<ref name=CON8/>.

Прыклад: для зыходнага ліку <math>~17+12i</math> атрымліваем піфагораву тройку: <math>~(145; 408; 433).</math>

=== Рашэнне дыяфантавых ураўненняў ===
Рашэнне многіх [[дыяфантава ўраўненне|дыяфантавых ураўненняў]] удаецца знайсці, калі скарыстаць апарат гаусавых лікаў. Напрыклад, для ўраўнення <math>~x^2+y^2=2z^2</math> нескладаныя пераўтварэнні даюць два тыпы цэлых узаемна простых рашэнняў{{sfn |Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=162—163. }}, залежных ад цэлых параметраў <math>a,b</math>:
# <math>x=a^2-2ab-b^2, \; y=a^2+2ab-b^2;</math>
# <math>x=-a^2-2ab+b^2, \; y=a^2-2ab-b^2.</math>

У 1850 годзе Віктор Лебег, выкарыстоўваючы гаусавы лікі, даследаваў ураўненне <math>~x^2+1=y^n</math> і даказаў яго невырашальнасць у натуральных ліках. Іншымі словамі, сярод натуральных лікаў віду <math>~n^2+1</math> няма ні аднаго поўнага куба ці іншае ступені, вышэйшай за другую<ref name=CON8/>.

== Нярэшаныя праблемы ==
* Знайсці колькасць гаусавых лікаў, норма якіх меншая за вызначаную натуральную сталую {{math|''R''}}. У раўназначнай фармулёўцы гэта задача вядома як «[[Гаусава праблема круга]]» ў [[Геаметрыя лікаў|геаметрыі лікаў]]<ref>{{кніга|аўтар=Conway J. H., Sloane N. J. A.|загаловак=Sphere Packings, Lattices and Groups|выдавецтва=Springer-Verlag|pages=106}}</ref>. Гл. {{OEIS|id=A000328}}.
* Знайсці прамыя на камплекснай плоскасці, на якіх бесканечна многа простых гаусавых лікаў. Дзве такія прамыя відавочныя — гэта каардынатныя восі; невядома, ці існуюць іншыя<ref>{{кніга|аўтар=Ribenboim, Paulo.|загаловак=The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV |выданне=3rd ed.|месца=New York|выдавецтва=Springer|год=1996|isbn=0-387-94457-5 }}.</ref>.
* Задача, вядомая пад назваю «[[:en:Gaussian moat|Гаусаў роў]]»: ці можна дайсці да бесканечнасці, пераходзячы ад аднаго простага гаусавага ліку да другога скачкамі загадзя абмежаванай даўжыні? Задача пастаўлена ў 1962 годзе і дагэтуль не развязана<ref>{{кніга|аўтар=Guy Richard K.|загаловак=Unsolved problems in number theory |выданне=3rd ed.|месца=New York|выдавецтва=Springer|год=2004|isbn=978-0-387-20860-2|pages=55—57. }}</ref>.

== Відазмяненні і абагульненні ==
[[Файл:Eisenstein integer lattice.png|thumb|Трохвугольная рашотка лікаў Эйзенштэйна]]
Яшчэ адным гістарычна важным еўклідавым колцам, падобным па ўласцівасцях на цэлыя лікі, сталі «[[цэлыя лікі Эйзенштэйна]]».

Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца <math>\mathbb Q(i),</math> — гэта камплексныя лікі віду <math>a+bi</math>, дзе <math>a, b</math> — [[рацыянальныя лікі]]. Гэта мноства замкнута адносна ўсіх 4 арыфметычных аперацый, уключаючы дзяленне, і таму з’яўляецца [[Поле (алгебра)|полем]], якое пашырае колца гаусавых лікаў.

== Гісторыя ==
У 1820-х гадах [[Карл Фрыдрых Гаус]] даследаваў [[біквадратычны закон узаемнасці]], вынікам стала манаграфія «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Іменна ў гэтай працы праявілася карысць цэлых камплексных лікаў для рашэння задач [[Тэорыя лікаў|тэорыі лікаў]], хоць фармулёўка гэтых задач ніяк не звязана з камплекснымі лікамі. Гаус пісаў, што «натуральную крыніцу агульнай тэорыі трэба шукаць у пашырэнні вобласці арыфметыкі»<ref name=XIX/>.

[[Выява:Bendixen - Carl Friedrich Gauß, 1828.jpg|thumb|Карл Фрыдрых Гаус у 1828 годзе]]
У кнізе Гауса было паказана, што новыя лікі па сваіх уласцівасцях шмат у чым напамінаюць звычайныя цэлыя лікі. Аўтар апісаў чатыры [[Абарачальны элемент|дзельнікі адзінкі]], вызначыў дачыненне асацыіраванасці, паняцце простага ліку, даў крытэрый прастаты і даказаў аналагі [[Асноўная тэарэма арыфметыкі|асноўнай тэарэмы арыфметыкі]], [[Малая тэарэма Ферма|малой тэарэмы Ферма]]. Далей Гаус падрабязна разгледзеў рэшты па камплекснаму модулю, [[Першаісны корань (тэорыя лікаў)|індэксы і першаісныя карані]]. Галоўным дасягненнем пабудаванай тэорыі стаў біквадратычны закон узаемнасці, які Гаус абяцаў даказаць у наступным томе; гэты том так і не быў апублікаваны, але ў Гаусавых рукапісах была знойдзена падрабязная схема строгага доказу<ref name=XIX/>.

Гаус выкарыстоўваў уведзеныя ім лікі таксама і ў іншых сваіх працах, напрыклад, па алгебраічных ураўненнях{{sfn |Hardy G. H., Wright E. M.|1968|с=189. }}. Ідэі Гауса былі развіты ў працах [[Карл Густаў Якаб Якобі|Карла Густава Якаба Якобі]] і [[Фердынанд Готхальд Эйзенштэйн|Фердынанда Готхальда Эйзенштэйна]]. У сярэдзіне XIX стагоддзя Эйзенштэйн, [[Іаган Петэр Густаў Лежон Дзірыхле|Дзірыхле]] і [[Шарль Эрміт|Эрміт]] увялі і даследавалі абагульненае паняцце [[Цэлы алгебраічны лік|цэлага алгебраічнага ліку]].

Колца гаусавых цэлых лікаў было адным з першых прыкладаў алгебраічнай структуры з непрывычнымі ўласцівасцямі. З часам была адкрыта вялікая колькасць структур такога тыпу, а ў канцы XIX стагоддзя зарадзілася [[Агульная алгебра|абстрактная алгебра]], якая вывучае алгебраічныя ўласцівасці асобна ад аб’ектаў-носьбітаў гэтых уласцівасцей.

== Гл. таксама ==
* [[Еўклідава колца]]
* [[Квадратычнае поле]]
* [[Кватэрніён Гурвіца]]
* [[Гаусава праблема круга]]
* [[Простыя лікі Эйзенштэйна]]
* [[Цэлыя лікі Эйзенштэйна]]
* [[Цэлы элемент]]
* [[Фактарыяльнае колца]]

== Зноскі ==
{{reflist|2}}

== Літаратура ==
* {{кніга |аўтар=Айерлэнд К., Роузен М. |выдавецтва=Мир |год=1987 |старонак=416
  |загаловак=Классическое введение в современную теорию чисел |месца=М.|ref=Айерлэнд К., Роузен М. }}
* {{кніга|аўтар=Гаусс К. Ф. |загаловак=Труды по теории чисел |ref=Гаусс К. Ф.
  |старонкі=695—754 |месца=М. |выдавецтва=Изд-во АН СССР |год=1959}}
* {{кніга |частка=Гауссово число |загаловак=Математическая энциклопедия (в 5 томах)
  |месца=М. |том=1 |год=1977 |ref=Математическая энциклопедия
  |выдавецтва=Советская Энциклопедия }}
* {{кніга |аўтар=Калужнин Л. А. |загаловак=Основная теорема арифметики
  |серыя=Популярные лекции по математике |выпуск=47 |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1969 |старонак=32 }}
* {{кніга |аўтар=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).
  |загаловак=Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей
  |ref=Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей
  |месца=М. |выдавецтва=Наука |том=I |год=1978 }}
* {{кніга |аўтар=Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. |месца=М. |выдавецтва=Учпедгиз |ref=Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. |загаловак=Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей |год=1939 |старонак=187 |спасылка=http://libgen.info/view.php?id=356234 }}{{Недаступная спасылка}}
* {{кніга |аўтар=Окунев Л. Я. |загаловак=Целые комплексные числа |месца=М. |год=1941
  |выдавецтва=Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР |старонак=56 |ref=Окунев Л. Я. }}
* {{артыкул |аўтар=Сендеров В., Спивак А. |загаловак=Суммы квадратов и целые гауссовы числа
  |выданне=[[Квант, часопіс|Квант]] |год=1999 |нумар=3 |старонкі=14-22
  |спасылка=http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/kv0399senderov.pdf }}
* {{кніга |аўтар=Hardy G. H., Wright E. M. |загаловак=An introduction to the theory of numbers |выданне=4th edition
  |месца=Oxford. |год=1968 |выдавецтва=Oxford University Press |старонак=421 |ref=Hardy G. H., Wright E. M. }}

== Спасылкі ==
* {{cite web|url=http://home.pipeline.com/~hbaker1/Gaussian.html|title=Complex Gaussian Integers for 'Gaussian Graphics'|lang=en|access-date=2013-09-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20060614145143/http://home.pipeline.com/~hbaker1/Gaussian.html|archive-date=14 чэрвеня 2006|url-status=dead}}
* {{cite web|url=http://www.maths.bris.ac.uk/~malab/PDFs/2ndYearEssay.pdf|title=A classification of gaussian primes|author=Butler, Lee A.|lang=en|ref=A classification of gaussian primes|access-date=2013-09-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20120916022230/http://www.maths.bris.ac.uk/~malab/PDFs/2ndYearEssay.pdf|archive-date=16 верасня 2012|url-status=dead}}
* {{cite web|url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/Zinotes.pdf
  |title=The gaussian integers|author=Conrad, Keith. |lang=en |access-date=2013-09-11
  |ref=Conrad, Keith }}

[[Катэгорыя:Тэорыя колцаў]]
[[Катэгорыя:Алгебраічныя лікі]]