Прагляд зыходнага тэксту старонкі Група Лі

{{Тэорыя груп}}
'''Групай Лі''' над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>K</math> (<math>K=\R</math> або <math>\mathbb C</math>) называецца [[Група (алгебра)|група]] <math>G</math>, забяспечаная структурай дыферэнцавальнай (гладкай) [[мнагастайнасць|мнагастайнасці]] над <math>K</math> такім чынам, што адлюстраванні <math>\operatorname{mul}</math> і <math>\operatorname{inv}</math>:
: <math>\operatorname{mul}: G\times G \to G; \quad \operatorname{mul} (x, y) = xy,</math>
: <math>\operatorname{inv}: G\to G;\quad \operatorname{inv} x = x^{-1}</math>
з'яўляюцца [[гладкая функцыя|гладкімі]] (у выпадку поля <math>\mathbb C</math> патрабуюць галаморфнасці уведзеных адлюстраванняў).

Усякая комплексная <math>n</math>-мерная група Лі з'яўляецца рэчаіснай групай Лі размернасці <math>2n</math>. Усякая камплексная група Лі па азначэнню з'яўляецца аналітычнай мнагастайнасцю, але і ў рэчаісным выпадку на любой групе Лі існуе аналітычны [[атлас, матэматыка|атлас]], у якім адлюстраванні <math>\operatorname{mul}</math> і <math>\operatorname{inv}</math> запісваюцца [[аналітычная функцыя|аналітычнымі функцыямі]].

Групы былі названы ў гонар [[Софус Лі|Софуса Лі]]. Групы Лі натуральна ўзнікаюць пры разглядзе непарыўных [[Сіметрыя|сіметрый]]. Напрыклад, рухі плоскасці ўтвараюць групу Лі. Групы Лі з'яўляюцца ў сэнсе багацця структуры лепшымі з мнагастайнасцей і ў такой якасці вельмі важныя ў [[Дыферэнцыяльная геаметрыя|дыферэнцыяльнай геаметрыі]] і [[Тапалогія|тапалогіі]]. Яны таксама іграюць значную ролю ў [[Геаметрыя|геаметрыі]], [[Фізіка|фізіцы]] і [[Матэматычны аналіз|матэматычным аналізе]].

== Тыпы груп Лі ==

Групы Лі класіфікуюцца па сваіх алгебраічных уласцівасцях ([[простая група|прастаце]], [[Паўпростая група Лі|паўпрастаце]], [[вырашальная група|вырашальнасці]], [[нільпатэнтная група|нільпатэнтнасці]], [[абелева група|абелевасці]]), а таксама па тапалагічных уласцівасцях ([[звязная прастора|звязнасці]], [[адназвязная прастора|адназвязнасці]] і [[кампактная прастора|кампактнасці]]).

== Падгрупы Лі ==

Падгрупа <math>H</math> групы Лі <math>G</math> называецца яе ''падгрупай Лі'', калі яна з'яўляецца падмнагастайнасцю ў мнагастайнасці <math>G</math>, гэта значыць знойдзецца <math>m>0</math> такое, што <math>H</math> задаецца ў наваколлі кожнага свайго пункта <math>p</math> сістэмай з <math>k</math> функцый, якая мае ў <math>p</math> ранг <math>m</math>. Не ўсякая падгрупа з'яўляецца падгрупай Лі: напрыклад, падгрупа пар віду <math>(e^{ix}, e^{i\pi x})</math> у торы <math>\{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in\R\}</math> не падгрупа Лі (яна дае усюды шчыльную абмотку тора). Падгрупа Лі заўсёды замкнутая. У рэчаісным выпадку справядліва і адваротнае: замкнутая падгрупа з'яўляецца падгрупай Лі. У камплексным выпадку гэта не так: бываюць рэчаісныя падгрупы Лі камплекснай групы Лі, якія маюць няцотную размернасць, напрыклад, [[унітарная матрыца|унітарныя матрыцы]] ў групе абарачальных камплексных матрыц <math>2\times 2</math>.

Хай <math>H</math> — падгрупа Лі групы Лі <math>G</math>. Мноства <math>G/H</math> сумежных класаў (усё роўна, левых ці правых) можна адзіным чынам надзяліць структурай дыферэнцавальнай мнагастайнасці так, каб кананічная праекцыя была дыферэнцавальным адлюстраваннем. Пры гэтым атрымаецца лакальна трывіяльнае расслаенне, і калі <math>H</math> — [[нармальная падгрупа]], то фактаргруппа будзе групай Лі.

== Дзеянні груп Лі ==

Групы Лі часта выступаюць як сіметрыі якой-небудзь структуры на некаторай мнагастайнасці, а таму натуральна, што вывучэнне [[дзеянне групы|дзеянняў]] груп Лі на розных мнагастайнасцях з'яўляецца важным раздзелам тэорыі. Кажуць, што група Лі G дзейнічае на гладкай мнагастайнасці M, калі зададзены [[гомамарфізм груп]] a: G → Diff M, дзе Diff M — група [[дыфеамарфізм]]аў M. Такім чынам, кожнаму элементу g групы G павінна адпавядаць дыфеаморфнае пераўтварэнне a<sub>g</sub> мнагастайнасці M, прычым здабытку элементаў і ўзяццю адваротнага элемента адпавядаюць кампазіцыя дыфеамарфізмаў і адваротны дыфеамарфізм. Калі з кантэксту ясна, пра якое дзеянне ідзе гаворка, то вобраз a<sub>g</sub>(m) пункта m пры дыфеамарфізме, які вызначаецца элементам g, абазначаецца проста gm.

Група Лі натуральна дзейнічае на сабе левымі і правымі зрухамі, а таксама спалучэннямі. Гэтыя дзеянні традыцыйна абазначаюцца ''l'', ''r'' и ''a'':

: ''l''<sub>''g''</sub>(''h'') = ''gh'',
: ''r''<sub>''g''</sub>(''h'') = ''hg'',
: ''a''<sub>''g''</sub>(''h'') = ''ghg''<sup>−1</sup>.

Іншым прыкладам дзеяння з'яўляецца дзеянне групы Лі G на мностве сумежных класаў гэтай групы па якой-небудзь падгрупе Лі ''N'' ≤ ''G'':

: ''g'' (''hN'') = (''gh'')''N'',

[[Дзеянне групы]] Лі G на дыферэнцавальнай мнагастайнасці M называецца транзітыўным, калі любы пункт M можна перавесці ў любы іншы з дапамогай дзеяння некаторага элемента G. Мнагастайнасць, на якой зададзена транзітыўнае дзеянне групы Лі называецца аднароднай прасторай гэтай групы. Аднародныя прасторы адыгрываюць важную ролю ў многіх раздзелах геаметрыі. Аднародная прастора групы G дыфеаморфная ''G'' / st ''x'', дзе st ''x'' — стабілізатар адвольнага пункта.

== Алгебра Лі групы Лі ==

Са ўсякай групай Лі можна звязаць некаторую [[алгебра Лі|алгебру Лі]], якая цалкам адлюстроўвае лакальную структуру групы, ва ўсякім выпадку, калі група Лі звязная.

[[Вектарнае поле]] на групе Лі G называецца леваінварыянтным, калі яно перастаўляльнае з левымі зрухамі, гэта значыць

: ''V''(''l<sub>g</sub>''<sup>*</sup> ''f'') = ''l<sub>g</sub>''<sup>*</sup> (''Vf'') для ўсіх ''g'' з ''G'', і любой дыферэнцавальнай функцыі ''f''.

Раўназначна,

: ''dl<sub>g</sub>'' (''V<sub>x</sub>'') = ''V<sub>gx</sub>'' для ўсіх ''x'', ''g'' з G.

Відавочна, любое леваінварыянтнае вектарнае поле ''V'' на групе Лі цалкам вызначаецца сваім значэннем ''V<sub>e</sub>'' ў адзінцы. Наадварот, задаўшы адвольны вектар ''V'' у датычнай прасторы ''G<sub>e</sub>'' да адзінкі, можна разнесці яго левымі зрухамі па ўсёй групе. Атрымліваецца ўзаемна адназначная адпаведнасць паміж датычнай прасторай да групы ў адзінцы і прасторай леваінварыянтных вектарных палёў.

Дужка Лі [''X'',''Y''] леваінварыянтных вектарных палёў будзе леваінварыянтным вектарным полем. Таму ''G<sub>e</sub>'' з'яўляецца алгебрай Лі. Гэтая алгебра называецца ''алгебрай Лі групы G''. Звычайна яна абазначаецца адпаведнай малой гатычнай літарай.

== Гл. таксама ==

* [[Алгебра Лі]]
* [[Унітарная група]]
* [[Простая група Лі]]

== Літаратура ==
* ''Винберг Э. Б., Онищик А. Л.'' Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995.
* Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. — М.: ВИНИТИ. 1988.
* ''Адамс Дж. Ф.'' Лекции по группам Ли, «Наука», 1979.
* ''Бурбаки Н.'' Группы и алгебры Ли. Главы I—III. — М.: Мир, 1976. — 496 с.
* ''Бурбаки Н.'' Группы и алгебры Ли. Глава IX. — М.: Мир, 1986. — 174 с.

== Спасылкі ==
* Ресурсы [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library физико-математической библиотеки] сайта [http://eqworld.ipmnet.ru/ru EqWorld — «Мир математических уравнений»]:
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/SofusLi1962ru.djvu Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. М.: ИЛ, 1962 (djvu)]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Serr1969ru.djvu Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969 (djvu)]
{{Бібліяінфармацыя}}
[[Катэгорыя:Групы Лі]]
[[Катэгорыя:Сіметрыя]]