Прагляд зыходнага тэксту старонкі Гіпотэза Пуанкарэ

{{Праблемы тысячагоддзя}}
'''Гіпо́тэза Пуанкарэ́''' — адна з самых вядомых задач [[тапалогія|тапалогіі]].
Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з'яўляецца трохвымернаю [[сфера]]ю з дакладнасцю да [[гомеамарфізм|дэфармацыі]].

== Фармулёўка ==

=== Гіпотэза Пуанкарэ ===
У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:
{{рамка}}
Усякая {{нп3|адназвязная прастора|адназвязная|ru|Односвязное пространство}} {{нп3|кампактная прастора|кампактная|ru|Компактное пространство}} [[размернасць прасторы|трохмерная]] {{нп3|мнагастайнасць||ru|Многообразие}} без краю [[гомеамарфізм|гомеаморфная]] трохмернай [[сфера|сферы]].
{{/рамка}}

=== Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ ===
Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:
{{рамка}}
Для любога натуральнага ліку ''n'' усякая мнагастайнасць размернасці ''n'' {{нп3|гоматапічная эквівалентнасць|гоматапічна эквівалентная|ru|Гомотопическая эквивалентность}} сферы размернасці ''n'' тады і толькі тады, калі яна [[гомеамарфізм|гомеаморфная]] ёй.
{{/рамка}}
Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з'яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры ''n'' = 3.

== Схема доказу ==

{{нп3|Паток Рычы||ru|Поток Риччи}} — гэта пэўнае {{нп3|Дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных|ўраўненне ў частковых вытворных|ru|Дифференциальное уравнение в частных производных}}, падобнае на {{нп3|ураўненне цеплаправоднасці|ўраўненне цеплаправоднасці|ru|Уравнение теплопроводности}}.
Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць.
Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку.
Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць {{нп3|Перабудова Морса|«хірургію»|ru|Перестройка Морса}} — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць {{нп3|дыфеамарфізм|дыфеаморфную|ru|Диффеоморфизм}} [[прамы здабытак|прамому здабытку]] <math>(0,1)\times S^2</math>), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што {{нп3|Метрычны тэнзар|метрыка|ru|Метрический тензор}} атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.

Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй».
Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак» {{нп3|дыфеамарфізм|дыфеаморфны|ru|Диффеоморфизм}} {{нп3|Прасторавая форма|сферычнай прасторавай форме|ru|Пространственная форма}}.

Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці <math>M</math> і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй.
Важным крокам з'яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё.
Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць <math>M</math> можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм <math>S^3/\Gamma_i</math>, злучаных адна з адною трубкамі <math>[0,1]\times S^2</math>.
Падлік {{нп3|фундаментальная група|фундаментальнае групы|ru|Фундаментальная группа}} паказвае, што <math>M</math> дыфеаморфная {{нп3|звязная сума|звязнай суме|ru|Связная сумма}} набору прасторавых форм <math>S^3/\Gamma_i</math>, і больш таго, усе <math>\Gamma_i</math> трывіяльныя.
Такім чынам, <math>M</math> з'яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.

== Гісторыя ==
У 1900 годзе [[Анры Пуанкарэ|Пуанкарэ]] выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы.
У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца {{нп3|Сфера Пуанкарэ|сфераю Пуанкарэ|ru|Сфера Пуанкаре}}, і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы.
Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.

Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для ''n'' ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова [[Стывен Смейл|Смейлам]], незалежна і іншымі метадамі {{нп3|Джон Роберт Столінгс|Столінгсам|en|John R. Stallings}} (для ''n'' ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі ''n'' = 5 і 6 {{нп3|Эрык Крыстафер Зееман|Зееманам|en|Erik Christopher Zeeman}}). Доказ значна цяжэйшага выпадку ''n'' = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе [[Майкл Фрыдман|Фрыдманам]]. З тэарэмы [[Сяргей Пятровіч Новікаў, матэматык|Новікава]] аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных [[Клас Пантрагіна|класаў Пантрагіна]] вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.

Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай [[гіпотэза Цёрстана|гіпотэзы Цёрстана]]) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе [[Рыгор Якаўлевіч Перэльман|Рыгорам Перэльманам]].
Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаў<ref>''И. Иванов'' [http://elementy.ru/news/430288 Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков] 03/08/06, elementy.ru</ref>. Доказ выкарыстоўвае [[паток Рычы]] з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага {{нп3|Рычард Хамільтан, матэматык|Хамільтанам|ru|Гамильтон, Ричард (математик)}}, які таксама першым прымяніў паток Рычы.

=== Прызнанне і ацэнкі ===
* Фрыдман (у 1986 годзе) і [[Рыгор Якаўлевіч Перэльман|Перэльман]] (у 2006 годзе) сталі [[Філдсаўскі медаль|Філдсаўскімі лаўрэатамі]].
* У 2006 годзе часопіс [[Science, часопіс|Science]] назваў доказ Перэльманам гіпотэзы Пуанкарэ навуковым «прарывам года» ({{нп3|Прарыў года, узнагарода|«Breakthrough of the Year»|en|Breakthrough of the Year}})<ref>{{cite journal |author=Dana Mackenzie |title=BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved |journal=Science |year=2006 |volume=314 |issue=5807 |pages=1848-1849 |doi=10.1126/science.314.5807.1848 |url=http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/314/5807/1848}}{{ref-en}}</ref>. Гэта першая праца па матэматыцы, якая заслужыла такое званне<ref>Keith Devlin. [https://web.archive.org/web/20070102173914/http://www.maa.org/devlin/devlin_12_06.html The biggest science breakthrough of the year]. Mathematical Association of America. 2006.</ref>.
* У 2006 годзе {{нп3|Сільвія Назар||ru|Назар, Сильвия}} апублікавала нашумелы<ref>Сярод іншага, «Manifold Destiny» была ўключана ў кнігу [[:en:The Best American Science Writing|The Best American Science Writing]] за 2007 год.</ref> артыкул {{нп3|Мнагастайны лёс|«Manifold Destiny»|ru|Многообразная судьба}}, які расказвае гісторыю доказу гіпотэзы Пуанкарэ<ref>{{cite journal |author=Sylvia Nasar, David Gruber |title=Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it |journal=The New Yorker |issue=August 21 |year=2006 |url=http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2|archiveurl=https://archive.today/20120903235521/http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2|archivedate=2012-09-03}} Рускі пераклад: «[http://vadda.livejournal.com/42798.html Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет]».</ref>.
* [[18 сакавіка]] [[2010]] года {{нп3|Матэматычны інстытут Клэя||ru|Математический институт Клэя}} прысудзіў [[Прэмія тысячагоддзя|Прэмію тысячагоддзя]] за доказ гіпотэзы Пуанкарэ [[Рыгор Якаўлевіч Перэльман|Р. Я. Перэльману]]<ref>[http://www.claymath.org/poincare/millenniumPrizeFull.pdf Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20100331134628/http://www.claymath.org/poincare/millenniumPrizeFull.pdf |date=31 сакавіка 2010 }}{{ref-en}}. Пресс-релиз математического института Клэя.</ref>, але той адмовіўся яе браць.

== Гл. таксама ==
* {{нп3|Адкрытыя матэматычныя праблемы||ru|Открытые математические проблемы}}
* {{нп3|Задачы тысячагоддзя||ru|Задачи тысячелетия}}

== Зноскі ==
{{reflist|colwidth=30em}}

== Літаратура ==
* {{cite arXiv|author=Perelman, Grisha|title=The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications | date = November 11, 2002|eprint=math.DG/0211159|class=math.DG}}
* {{cite arXiv|author=Perelman, Grisha|title=Ricci flow with surgery on three-manifolds  | date = March 10, 2003|eprint=math.DG/0303109|class=math.DG}}
* {{cite arXiv|author=Perelman, Grisha|title=Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds|date = July 17, 2003|eprint=math.DG/0307245|class=math.DG}}
* J. Milnor, [http://www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report]{{ref-en}}
* {{артыкул |аўтар=С. Николенко |загаловак=Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре |выданне=Компьютерра |нумар=1-2 |год=2006 |спасылка=http://offline.computerra.ru/print/offline/2006/621/247630/}}
* John W.Morgan, Gang Tian [http://arxiv.org/abs/math/0607607 Ricci Flow and the Poincare Conjecture]{{ref-en}}
* B. Kleiner, J. Lott [http://www.arxiv.org/abs/math.DG/0605667 Notes on Perelman's papers]{{ref-en}}
* Terence Tao [http://arxiv.org/abs/math.DG/0610903 Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective]{{ref-en}}


[[Катэгорыя:Тапалогія]]
[[Катэгорыя:Матэматычныя гіпотэзы|Пуанкарэ]]
[[Катэгорыя:Задачы тысячагоддзя]]