Прагляд зыходнага тэксту старонкі Дыферэнцыяльнае ўраўненне

[[Выява:Elmer-pump-heatequation.png|thumb|300px|Мадэль размеркавання цяпла ў корпусе помпы, створаная шляхам рашэння [[ураўненне цеплаправоднасці|ўраўнення цеплаправоднасці]]]]
'''Дыферэнцыяльнае ўраўненне''', ці '''дыферэнцыяльнае раўнанне'''<ref name=pr>Літ.: Русско-белорусский математический словарь. Мн., 1993, С.204.: '''Раўнанне дыферэнцыяльнае'''. Тлумачальны слоўнік беларускай літаратурнай мовы. Мн.:БелЭн, 2002.: '''Дыферэнцыяльнае ўраўненне'''</ref> — [[ураўненне]], якое звязвае значэнне некаторай невядомай [[Функцыя (матэматыка)|функцыі]] ў некаторым пункце і значэнне яе [[вытворная функцыі|вытворных]] розных парадкаў у тым жа пункце. Дыферэнцыяльнае ўраўненне змяшчае ў сваім запісе невядомую функцыю, яе вытворныя і незалежныя [[Пераменная велічыня|пераменныя]]. Аднак не кожнае ўраўненне, якое змяшчае [[вытворная функцыі|вытворныя невядомай функцыі]], з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем. Напрыклад, <math>f'(x)=f(f(x))</math> не з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем. Варта таксама адзначыць, што дыферэнцыяльнае ўраўненне можа наогул не змяшчаць невядомую функцыю, некаторыя яе вытворныя і свабодныя зменныя, але абавязкова змяшчаць хоць адну з вытворных.

У прыкладаннях матэматыкі часта ўзнікаюць задачы, у якіх невядомая залежнасць аднаго параметра ад іншага, але магчыма запісаць выраз дзеля хуткасці змены аднаго параметра адносна іншага (вытворнай). У гэтым выпадку задача зводзіцца да знаходжання функцыі па яе вытворнай, звязанай з некаторымі іншымі выразамі.

== Гісторыя даследавання ==
Першапачаткова дыферэнцыяльныя ўраўненні ўзніклі з задач [[механіка|механікі]], у якіх патрабавалася вызначыць каардынаты [[фізічнае цела|цел]], іх [[хуткасць|хуткасці]] і [[паскарэнне|паскарэнні]], якія разглядаюцца як функцыі [[час]]у пры розных уздзеяннях. Да дыферэнцыяльных раўнанняў прыводзілі таксама некаторыя разгледжаныя ў той час геаметрычныя задачы.

Асноваю тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў стала дыферэнцыяльнае злічэнне, створанае [[Готфрыд Вільгельм Лейбніц|Лейбніцам]] і [[Ісаак Ньютан|Ньютанам]] (1642—1727). Сам тэрмін «дыферэнцыяльнае раўнанне» быў прапанаваны ў 1676 годзе Лейбніцам.

З вялікай колькасці работ XVIII стагоддзя па дыферэнцыяльных ураўненнях вылучаюцца працы [[Леанард Эйлер|Эйлера]] (1707—1783) і [[Жазэф Луі Лагранж|Лагранжа]] (1736—1813). У гэтых працах была развіта тэорыя малых ваганняў і тэорыя лінейных сістэм дыферэнцыяльных ураўненняў; адначасова ўзніклі асноўныя паняцці лінейнай алгебры (уласныя лікі і вектары ў {{math|''n''}}-мерным выпадку). Услед за Ньютанам [[П’ер-Сімон Лаплас|Лаплас]] і Лагранж, а пазней [[Карл Фрыдрых Гаус|Гаус]] (1777—1855) развіваюць таксама метады тэорыі ўзбурэнняў.

Калі была даказана невырашальнасць [[алгебраічнае ўраўненне|алгебраічных ураўненняў]] у радыкалах, [[Жазеф Ліувіль]] (1809—1882) пабудаваў аналагічную тэорыю для дыферэнцыяльных ураўненняў, устанавіўшы немагчымасць рашэння рада раўнанняў (у тым ліку, такіх класічных, як лінейныя ўраўненні другога парадку) у элементарных функцыях і квадратуры. Пазней [[Софус Лі]] (1842—1899), аналізуючы пытанне аб інтэграванні раўнанняў у квадратурах, прыйшоў да неабходнасці падрабязна даследаваць групы дыфеамарфізмаў (якія пасля атрымалі назву [[Група Лі|груп Лі]]) — так з тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў узнікла адна з самых плённых абласцей сучаснай матэматыкі, далейшае развіццё якой было цесна звязана зусім з іншымі пытаннямі (алгебры Лі яшчэ раней разглядалі [[Сімеон Дэні Пуасон]] (1781—1840) і, асабліва, [[Карл Густаў Якаб Якобі]] (1804—1851)).
Новы этап развіцця тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў пачынаецца з работ [[Анры Пуанкарэ]] (1854—1912), створаная ім «якасная тэорыя дыферэнцыяльных раўнанняў» разам з тэорыяй функцый камплексных зменных прывяла да стварэння сучаснай [[тапалогія|тапалогіі]]. Якасная тэорыя дыферэнцыяльных ураўненняў, ці, як цяпер яе часцей называюць, [[дынамічная сістэма|тэорыя дынамічных сістэм]], цяпер актыўна развіваецца і мае шмат прыкладанняў у прыродазнаўстве.

== Віды дыферэнцыяльных ураўненняў ==

=== Звычайныя ДУ ===
{{Асноўны артыкул|Звычайнае дыферэнцыяльнае ўраўненне}}

'''Звычайныя дыферэнцыяльныя ўраўненні''' (ЗДУ) — гэта ўраўненні, у якіх невядомая функцыя залежыць ад аднае зменнай. Яны маюць выгляд
: <math>F\left(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}\right)=0\!</math> &emsp;ці&emsp; <math>F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2},\dots,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}\right)=0,</math>

дзе <math>y=y(x)</math> — невядомая [[Функцыя (матэматыка)|функцыя]] (магчыма, [[вектар-функцыя]]; у такім выпадку часта гавораць аб сістэме дыферэнцыяльных ураўненняў), якая залежыць ад незалежнай зменнай {{math|''x''}}, штрых абазначае дыферэнцаванне па {{math|''x''}}. Лік {{math|''n''}}, роўны найвышэйшаму парадку вытворных, прысутных ва ўраўненні, называецца ''парадкам'' дыферэнцыяльнага ўраўнення. Найбольш практычна важнымі з’яўляюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні першага і другога парадку.

=== ДУ ў частковых вытворных ===
{{Асноўны артыкул|Дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных}}

'''Дыферэнцыяльныя ўраўненні ў частковых вытворных''' (ДУЧВ) — ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя [[Функцыя (матэматыка)|функцыі]] ад некалькіх зменных і іх [[частковая вытворная|частковыя вытворныя]]. Такія ўраўненні можна запісаць у выглядзе:

: <math>F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0,</math>

дзе <math>x_1, x_2,\dots, x_m</math> — незалежныя пераменныя, а <math>z = z(x_1, x_2,\dots, x_m)</math> — функцыя гэтых пераменных. Парадак ураўненняў у частковых вытворных можа вызначацца гэтак жа, як для звычайных ДУ.

Ураўненні ў ЧВ другога парадку таксама падзяляюцца на ўраўненні эліптычнага, парабалічнага і гіпербалічнага тыпу.

=== Абагульненыя тыпы ДУ ===
* {{нп4|Дыферэнцыяльнае ўраўненне з запазненнем||en|Delay differential equation}} (ДУЗ) — ураўненне для функцыі адной зменнай (т.зв. ''часу''), у якім вытворная функцыі ў пэўны час выражаецца праз значэнні функцыі ў больш раннія часы.
* {{нп4|Стахастычнае дыферэнцыяльнае ўраўненне||en|Stochastic differential equation}} (СДУ) — ураўненне, у якім невядомая велічыня з’яўляецца [[выпадковы працэс|выпадковым працэсам]]. Такое ўраўненне можа ўключаць зададзеныя стахастычныя працэсы, напрыклад, {{нп4|Вінераўскі працэс||en|Wiener process}} у выпадку {{нп4|ураўненне дыфузіі|ўраўненняў дыфузіі|ru|Уравнение диффузии}}.
* {{нп4|Дыферэнцыяльна-алгебраічнае ўраўненне||en|Differential algebraic equation}} (ДАУ) — дыферэнцыяльнае ўраўненне, якое ўключае дыферэнцыяльныя і алгебраічныя залежныя пераменныя, зададзеныя няяўным чынам.

== Праграмнае забеспячэнне ==
* [[ExpressionsinBar]]
* [[Maple]]:<ref>https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=dsolve</ref> dsolve
* [[SageMath]]<ref>http://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/tour_algebra.html</ref>
* [[Xcas]]:<ref>http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf</ref> desolve(y'=k*y,y)

== Гл. таксама ==
* [[Правіла Рунге — Ромберга]]

== Зноскі ==
{{reflist}}

== Літаратура ==
* {{крыніцы/БелЭн|6к|Дыферэнцыяльныя ўраўненні}} С. 301.

=== Падручнікі ===
* В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
* Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
* Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
* А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4-е изд., Физматлит, 2005.
* А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
* А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
* {{кніга
|загаловак = Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB
|арыгінал = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling
|аўтар = Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни.
|спасылка = 
|isbn = 978-5-8459-1166-7
|старонкі = 
|год = 2007
|выданне = 3-е изд
|месца =  М.
|выдавецтва = «Вильямс»
}}
* {{кніга|аўтар = А. Ф. Филиппов. |загаловак =Введение в теорию дифференциальных уравнений |спасылка = |выданне = Изд. 2-е|месца = |выдавецтва = |год = 2007 |старонак = 240 |серыя = |isbn =5354004160 }}

=== Даведнікі ===
* ''Э. Камке.'' Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
* ''В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин.'' Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
* ''Э. Камке.'' Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
* ''В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин.'' Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. — М.: Физматлит, 2003.
* ''А. Д. Полянин.'' Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
* ''А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев.'' Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002.

== Спасылкі ==
* Сайт пад рэдакцыяй А. Д. Паляніна [http://eqworld.ipmnet.ru/ru «Мир математических уравнений» — EqWorld] {{ref-ru}}
* [http://dmoz.org/World/Russian/%d0%9d%d0%b0%d1%83%d0%ba%d0%b0/%d0%9c%d0%b0%d1%82%d0%b5%d0%bc%d0%b0%d1%82%d0%b8%d0%ba%d0%b0/%d0%94%d0%b8%d1%84%d1%84%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%bd%d1%86%d0%b8%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d0%bd%d1%8b%d0%b5_%d1%83%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f/ Рускамоўныя рэсурсы па дыферэнцыяльных ураўненнях] у [[Open Directory Project|Адкрытым Каталозе]]. {{ref-ru}}
* [http://bsuir-helper.ru/predmet/vysshaya-matematika/other/primery-resheniya-differentsialnykh-uravnenii Прыклады рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20120626192029/http://bsuir-helper.ru/predmet/vysshaya-matematika/other/primery-resheniya-differentsialnykh-uravnenii |date=26 чэрвеня 2012 }} {{ref-ru}}

{{Дыферэнцыяльнае злічэнне}}
{{Раздзелы матэматыкі}}
{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы]]
[[Катэгорыя:Дыферэнцыяльныя ўраўненні|*]]