Прагляд зыходнага тэксту старонкі Дыферэнцыял функцыі

{{значэнні|Дыферэнцыял (значэнні)}}
'''Дыферэнцыя́л'''{{sfn|БелЭн|1998}}{{sfn|МатЭС|1988}}{{sfn|Слоўнік|1993}} ({{lang-la|''Differentia''}} — рознасць, адрозненне) — галоўная лінейная частка поўнага прырашчэння [[Функцыя (матэматыка)|функцыі]].

== Гісторыя ==
Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены [[Готфрыд Лейбніц|Лейбніцам]].
Першапачаткова <math>dx</math> ўжывалася для абазначэння «[[бясконца малая велічыня|бясконца малой]]» — велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.

== Абазначэнні ==
Звычайна дыферэнцыял функцыі <math>f</math> пазначаецца <math>df</math>.
Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню <math>{\rm d}f</math> шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з’яўляецца [[аператар (матэматыка)|аператарам]].

Дыферэнцыял ў кропцы <math>x_0</math> пазначаецца <math>d_{x_0}f</math>, а часам <math>df[x_0]</math>,
а таксама <math>df</math>, калі значэнне <math>x_0</math> ясна з кантэксту.

Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы <math>x_0</math> ад <math>h</math>
можа пазначацца як <math>d_{x_0}f(h)</math>, а часам <math>df[x_0](h)</math>, а таксама <math>df(h)</math>, калі значэнне <math>x_0</math> ясна з кантэксту.

== Выкарыстанне знака дыферэнцыяла ==
* Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для [[інтэграл]]а <math>\int f(x)\, dx</math>. Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял <math>dx</math> уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
* Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні [[Готфрыд Лейбніц|Лейбніца]] для [[Вытворная функцыі|вытворнай]] <math>f'(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)</math>. Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі <math>f</math> і аналагічнай функцыі <math>x</math> верныя суадносіны
* :<math>d_{x_0}f=f'(x_0){\cdot} d_{x_0}x.</math>

== Вызначэнне ==

=== Для функцый ===
Дыферэнцыял функцыі <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> у кропцы <math>x_0 \in \mathbb{R}</math> можа быць вызначаны як лінейная функцыя
: <math>d_{x_0}f(h) = f'(x_0) h,</math>
дзе <math>f'(x_0)</math> абазначае вытворную <math>f</math> у кропцы <math>x_0</math>.

Такім чынам <math>df</math> ёсць функцыя двух аргументаў <math>df\colon (x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h)</math>.

Дыферэнцыял можа быць вызначаны наўпрост, г.зн., без прыцягнення вызначэння вытворнай, як функцыя <math>d_{x_0}f(h)</math>, якая лінейна залежыць ад <math>h</math>, і для якой верныя наступныя суадносіны
: <math> d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(|h|).</math>

=== Для адлюстраванняў ===
Дыферэнцыялам адлюстравання <math>f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> у кропцы <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math> называюць [[лінейны аператар]] <math>d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> такі, што выконваецца ўмова
: <math> d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0)  + o(|h|).</math>

== Звязаныя вызначэння ==
* Адлюстраванне <math>f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> называецца ''дыферэнцуемым'' у кропцы <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math> калі вызначаны дыферэнцыял<math>d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math>.

== Уласцівасці ==
* Матрыца лінейнага аператара <math>d_{x_0}f</math> роўная [[Матрыца Якобі|матрыцы Якобі]]; яе элементамі з’яўляюцца [[Частковая вытворная|частковыя вытворныя]].
: *Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.
* Дыферэнцыял функцыі <math>f</math> звязаны з яе [[градыент]]ам <math>\nabla f</math> наступнымі вызначальнымі суадносінамі
: <math>d_{x_0}f(h)=\langle(\nabla f)(x_0),h\rangle</math>
* Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з’яўляюцца узаемазваротнымі.

== Варыяцыі і абагульненні ==
* [[Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў]]
* [[Знешні дыферэнцыял]]
* [[Дыферэнцыял (дыферэнцыяльная геаметрыя)]]
* [[Вытворная Пеано]]
* [[Вытворная Фрэшэ]]

== Крыніцы ==
{{крыніцы}}

== Літаратура ==
* {{Крыніцы/БелЭн|6|Дыферэнцыя́л у матэматыцы|[[Аляксей Адамавіч Гусак|Гусак А. А.]]|299—300}}
* {{Кніга|загаловак=Матэматычная энцыклапедыя|адказны=Гал. рэд. [[Васіль Іванавіч Бернік|В. Бернік]]|месца=Мн.|выдавецтва=Тэхналогія|год=2001|старонак=496|тыраж=1000|isbn=985-458-059-8|ref=МатЭн|частка=Дыферэнцыя́л|старонкі=119—120}}
* {{Кніга|загаловак=Руска-беларускі матэматычны слоўнік: [больш за 630 слоў і словазлучэнняў]|адказны=Лабачэня, Г. Я., Шчыракоў, А. М.; [[Мінскі дзяржаўны педагагічны інстытут імя А. М. Горкага]]|месца=Мн.|выдавецтва=МДПІ|год=1993|старонак=21|тыраж=100|ref=Слоўнік|старонкі=6}}
* {{крыніцы/МатЭС|Дифференциа́л|188—189|[[Андрэй Мікалаевіч Калмагораў|Колмогоров А. Н.]]}}
* Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — М.: ACT: Астрель, 2006. — 991, [1] с: ил. — ISBN 5-17-012238-1 (ООО «Издательство ACT»), ISBN 5-271-03651-0 (ООО «Издательство Астрель»).{{ref-ru}}
* ''Г. М. Фихтенгольц'' «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

{{Дыферэнцыяльнае злічэнне}}
{{Бібліяінфармацыя}}
[[Катэгорыя:Дыферэнцыяльнае злічэнне]]
[[Катэгорыя:Матэматычны аналіз]]