Прагляд зыходнага тэксту старонкі Корань (матэматыка)

{{гэты артыкул|пра здабыванне каранёў|Ураўненне{{!}}Корань ураўнення{{ъъ}} і {{хх}}Корань мнагачлена|пра іншыя значэнні}}
[[Файл:Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg|справа|frameless|170x170пкс]]
{{Арыфметычныя аперацыі}}
'''Ко́рань <math>n</math>-й ступе́ні<ref name="МЭ2">{{кніга|аўтар=|загаловак=[[Матэматычная энцыклапедыя]]|адказны=Гал. рэд. В.Бернік|спасылка=|месца=Мінск|выдавецтва=Тэхналогія|год=2001|том=|старонак=|старонкі=171|isbn=|частка=Корань|спасылка частка=https://knihi.com/none/Matematycnaja_encyklapiedyja.html#171}}</ref>''', з [[лік]]у <math>a</math> вызначаецца як такі лік <math>b</math>, што
:<math>~b^n=a.</math>
Тут <math>n \geq 2, n \in N</math> — так званы '''паказчык кораня''' (або '''ступень кораня'''); як правіла, ён большы або роўны 2, таму што выпадак <math>n=1</math> трывіяльны.

Абазначэнне:
:<math>b=\sqrt[n]{a},</math>
знак ([[знак кораня]]) у правай частцы называецца '''радыка́лам'''.

Аперацыя знаходжання кораня называецца '''каранява́ннем'''.

Лік <math>a</math> ('''падкаранёвы выраз''') часцей за ўсё [[Рэчаісны лік|рэчаісны]] або [[Камплексны лік|камплексны]].

Прыклады для рэчаісных лікаў:

* <math>\sqrt[2]{9}=\pm 3,</math> бо <math>{(\pm 3)}^2=9.</math>
* <math>\sqrt[3]{\ 64}=4,</math> бо <math>4^3=64.</math>
* <math>\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3},</math> бо <math>\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}.</math>

Як відаць з першага прыкладу, у рэчаіснага кораня можа быць два значэнні (дадатнае і адмоўнае), і гэта ўскладняе працу з каранямі. Каб забяспечыць адназначнасць, уводзіцца паняцце '''арыфметычнага кораня''', значэнне якога заўсёды неадмоўнае, у першым прыкладзе гэта лік 3.

== Азначэнне і звязаныя паняцці ==

Акрамя прыведзенага вышэй, можна даць два раўнасільныя азначэнні кораня<ref>М.&nbsp;И.&nbsp;Сканави. Элементарная математика. п.1.11, стр.49.</ref>:

* '''Корань <math>n</math>-й ступені''' з ліку <math>a</math> ёсць рашэнне <math>x</math> ураўнення <math>~x^n=a</math> (адзначым, што рашэнняў можа быць некалькі або ні аднаго).
* '''Корань <math>n</math>-й ступені''' з ліку <math>a</math> ёсць корань [[мнагачлен]]а <math>x^n-a,</math> гэта значыць значэнне <math>x</math>, пры якім гэты мнагачлен роўны нулю.

[[Файл:Function with two values 1.svg|міні|Графік значэння [[Квадратны корань|квадратнага кораня]]]]

Аперацыя вылічэння <math>\sqrt[n]{a}</math> называецца «'''здабываннем кораня''' <math>n</math>-й ступені» з ліку <math>a</math>. Гэта адна з двух аперацый, адваротных да ўзвядзення ў ступень{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=64.|name=VYG64 }}, а іменна — знаходжанне асновы ступені <math>b</math> па вядомым паказчыку <math>n</math> і выніку ўзвядзення ў ступень <math>a=b^n</math>. Другая адваротная аперацыя, лагарыфмаванне, знаходзіць паказчык ступені па вядомых аснове і выніку.

Карані другой і трэцяй ступені ўжываюцца асабліва часта і таму маюць спецыяльныя назвы<ref name=VYG64/>.

* [[Квадратны корань]]: <math>\sqrt{a}.</math> У гэтым выпадку паказчык ступені 2 звычайна апускаецца, а тэрмін «корань» без ўказання ступені часцей за ўсё абазначае квадратны корань.
* [[Кубічны корань]]: <math>\sqrt[3]{a}.</math>

== Карані з рэчаісных лікаў ==

Корань <math>n</math>-й ступені з рэчаіснага ліку <math>a</math>, у залежнасці ад [[цотныя і няцотныя лікі|цотнасці]] <math>n</math> і знака <math>a</math>, можа мець ад 0 да 2 рэчаісных значэнняў.

=== Агульныя ўласцівасці ===

* Корань '''няцотнай''' ступені з '''дадатнага''' ліку — '''дадатны''' лік, адназначна вызначаны.

<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a} = b</math>, дзе <math>a, b > 0, \ n \in \mathbb{N},</math> <math>n</math> — няцотны
|}</center>
: Напрыклад, <math>\sqrt[3]{125} = 5, \ \sqrt[5]{32} = 2, \ \sqrt[15]{1} = 1, \ 36-\sqrt[3]{1336-5}= 36-\sqrt[3]{1331}= 36-11=25</math>

* Корань '''няцотнай''' ступені з '''адмоўнага''' ліку — '''адмоўны''' лік, адназначна вызначаны.

<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a} = b</math>, дзе <math>a, b < 0,\ n \in \mathbb{N},</math> <math>n</math> — няцотны
|}</center>
: Напрыклад, <math>\sqrt[3]{-8} = -2, \ \sqrt[5]{-243} = -3, \ \sqrt[7]{-1} = -1</math>

* Корань '''цотнай''' ступені з '''дадатнага''' ліку мае '''два значэнні''', роўныя па модулю, але з процілеглымі знакамі.

<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a} = \pm b</math>, дзе <math>a, b > 0,\ n \in \mathbb{N},</math> <math>n</math> — цотны
|}</center>
: Напрыклад, <math>\sqrt{36-11} = \sqrt{25} = \pm 5, \ \ \sqrt[4]{81} = \pm 3, \ \ \sqrt[10]{1024} = \pm 2</math>

* Корань '''цотнай''' ступені з адмоўнага ліку не існуе ў вобласці рэчаісных лікаў, бо пры ўзвядзенні любога рэчаіснага ліку ў ступень з цотным паказчыкам вынікам будзе неадмоўны лік. [[#Карані з камплексных лікаў|Ніжэй будзе паказана]], як здабываць такія карані ў шырэйшай сістэме — [[Камплексны лік|мностве камплексных лікаў]] (тады значэннямі кораня будуць <math>n</math> камплексных лікаў).

<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a}</math> не існуе, калі <math>a < 0,\ n \in \mathbb{N},</math> <math>n</math> — цотны
|}</center>

* Корань любой натуральнай ступені з нуля — нуль.

<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{0} = 0,</math> дзе <math>n \in \mathbb{N}</math>
|}</center>

[[Файл:Função raiz quadrada.png|міні|280px|Графік функцыі арыфметычнага квадратнага кораня]]

=== Арыфметычны корань ===

Карані цотнай ступені вызначаны, наогул кажучы, неадназначна, гэта стварае нязручнасці пры іх выкарыстанні. Таму з практычных меркаванняў было ўведзена абмежаванне гэтага паняцця<ref>{{кніга |частка=Арифметический корень |загаловак=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |месца=М. |год=1982 |том=1 |спасылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu |выдавецтва=Советская Энциклопедия}}</ref>.

'''Арыфметычны корань <math>n</math>-й ступені''' з неадмоўнага рэчаіснага ліку <math>a</math> — гэта такі неадмоўны лік <math>b</math>, што
:<math>~b^n=a.</math>
Абазначаецца арыфметычны корань тым жа знакам радыкала.

Такім чынам, арыфметычны корань, у адрозненне ад раней вызначанага ('''алгебраічнага'''<ref>Алгебраічны (шматзначны) корань у крыніцах часта называюць проста коранем.</ref>), вызначаецца толькі для неадмоўных рэчаісных лікаў, а яго значэнне заўсёды існуе, неадмоўнае і адназначна вызначана{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Т. I, С. 35—36.}}. Напрыклад, квадратны корань з ліку 4 мае два значэнні: 2 і -2, з іх арыфметычным з'яўляецца першае.

: ''Арыфметычны корань і алгебраічны абазначаюцца адным і тым жа сімвалам, але з'яўляюцца рознымі аб'ектамі, таму ў рамках дадзенага артыкула арыфметычны корань абазначаецца сінім колерам, а алгебраічны — чорным.''

=== Алгебраічныя ўласцівасці ===

Прыведзеныя ніжэй формулы верныя, перш за ўсё, для арыфметычных каранёў любой ступені, што падкрэсліваецца вылучэннем знака радыкала сінім колерам (акрамя асобна абумоўленых выпадкаў). Яны справядлівыя таксама для каранёў няцотнай ступені, у якіх дапускаюцца і адмоўныя падкаранёвыя выразы{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=141—143.|name=VYG141 }}.

* Узаемапагашэнне кораня і ступені<ref>Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов, под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2002, С. 209.</ref>
*: для няцотнага <math>n</math>:
*: <math>~\sqrt[n]{a^n} = a,</math>
*: для цотнага <math>n</math>:
*: <math>~{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^n}}} = |a|.</math>

* Калі <math>a<b</math>, то і <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} < {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}</math>

* Корань са здабытку роўны здабытку каранёў з сумножнікаў:
*: <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{ab}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}</math>

* Корань з дзелі роўны дзелі каранёў:
*: <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{\frac {a} {b}}}} = \frac{{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black} {a}}}} {{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}},\; b\ne 0 </math>

* Наступная роўнасць вызначае ўзвядзенне ў дробную (рацыянальную) ступень{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=183.|name=VYG183 }}:
*: <math>a^{m/n} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}} = \left({\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m</math>

* Велічыня кораня не зменіцца, калі яго паказчык і ступень падкаранёвага выразу падзяліць на іх агульны множнік:
*: <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a^{mk}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}}, \; n,k \in \mathbb N.</math>
*: Прыклад:
*: <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}6}] {\color{black}{64}}}={\color{blue}\sqrt[{\color{black}{2\cdot 3}}] {\color{black}{4^3}}} = {\color{blue}\sqrt {\color{black}{4}}} = 2</math>

* Пры здабыванні кораня з кораня іх паказчыкі перамнажаюцца (г. зн. выніковы корань мае паказчык, роўны здабытку паказчыкаў каранёў):
*: <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{blue}\sqrt[{\color{black}k}] {\color{black} {a}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a}}}, \quad n,k \in \mathbb N.</math>

* Для каранёў няцотнай ступені знак мінуса можна выносіць з-пад кораня:
*: <math>\sqrt[n]{-a} = - \sqrt[n]{a}.</math>

== Здабыванне кораня і ўзвядзенне ў дробную ступень ==

{{Асноўны артыкул|Ступеняванне}}

Аперацыя ўзвядзення ў ступень першапачаткова была ўведзена як скарочаны запіс аперацыі множання [[Натуральны лік|натуральных лікаў]]:
:<math>~m^n=\underbrace{m\cdot m\cdot\dots\cdot m}_n</math>&emsp;({{math|''n''}} разоў).
Наступным крокам было вызначэнне ўзвядзення ў адвольную цэлую, у тым ліку адмоўную, ступень:
:<math>~m^{-n}=\frac{1}{m^n}.</math>

Аперацыя здабывання арыфметычнага кораня дазваляе вызначыць узвядзенне дадатнага ліку ў любую [[рацыянальны лік|рацыянальную]] (дробную) ступень<ref name=VYG183/>:
: <math>a^{\frac{m}{n}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}}, \quad a>0.</math>

Пры гэтым лічнік <math>m</math> дробу <math>\frac{m}{n}</math> можа мець знак. Уласцівасці пашыранай аперацыі ў асноўным такія ж, як і ва ўзвядзення ў цэлую ступень.

Такое вызначэнне азначае, што здабыванне кораня і адваротнае да яго узвядзенне ў ступень па сутнасці аб'ядноўваюцца ў адну алгебраічную аперацыю. У прыватнасці:
: <math>~{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} = a^{\frac{1}{n}}.</math>

Спробы ўзвядзення ў рацыянальную ступень адмоўных лікаў могуць прывесці да памылак, бо значэнне алгебраічнага кораня вызначана неадназначна, а вобласць значэнняў арыфметычнага кораня абмежавана неадмоўными лікамі. Прыклад магчымай памылкі:
: <math>-1 = (-1)^{2\ \cdot\ \frac{1}{2}} = \left({(-1)^2}\right)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}={\color{blue}\sqrt{\color{black}1}}= 1.</math>

=== Функцыя кораня ===

<gallery caption="Графікі функцый кораня" widths="300" heights="290">
Файл:Función raíz 1.png|Функцыі кораня і адваротныя да іх [[Ступенная функцыя|ступенныя функцыі]] на прамежку <math>[0; \ 1]</math>
Файл:Función raíz 2.png|Функцыі кораня:<br />— арыфметычны, цотныя ступені 2,&nbsp;4,&nbsp;6<br />— агульны, няцотныя ступені 3,&nbsp;5,&nbsp;7
</gallery>

Калі разглядаць падкаранёвы выраз як зменную, мы атрымаем функцыю кораня <math>n</math>-й ступені:
:<math>y=\sqrt[n] x.</math>
Функцыя кораня адносіцца да катэгорыі [[алгебраічная функцыя|алгебраічных функцый]]. Графік любой функцыі кораня праходзіць праз пачатак каардынат і кропку <math>(1; \ 1)</math>.

Як сказана вышэй, для кораня цотнай ступені, каб забяспечыць адназначнасць функцыі, корань павінен быць арыфметычным, так што аргумент <math>x</math> неадмоўны. Функцыя кораня няцотнай ступені адназначная і існуе для любога рэчаіснага значэння аргумента.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Тып функцыі кораня !! Вобласць вызначэння !! Вобласць значэнняў !! Іншыя ўласцівасці
|-
| Цотнай ступені || <math>[0; \ +\infty )</math> || <math>[0; \ +\infty )</math> || Функцыя [[Выпуклая функцыя|выпуклая ўверх]] на ўсей вобласці вызначэння
|-
| Няцотнай ступені || <math>(-\infty; +\infty)</math> || <math>(-\infty; +\infty)</math> || Функцыя [[Няцотная функцыя|няцотная]]
|}

Для любой ступені функцыя кораня строга ўзрастае, непарыўная ўсюды ўнутры сваёй вобласці вызначэння. Неабмежавана дыферэнцавальная ўсюды, акрамя пачатку каардынат, дзе [[Вытворная функцыі|вытворная]] становіцца бесканечнаю{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Т. I, С. 194, 198. }}{{sfn |Мордкович А. Г.|2003|с=236—238.|name=MO236 }}. Вытворная вызначаецца па формуле{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Т. I, С. 215. }}:
: <math>\frac {d}{dx} \sqrt[n]{x} = \frac {1} {n\sqrt[n]{x^{n-1}}}.</math>
У прыватнасці,
:<math>\frac {d}{dx} \sqrt{x} = \frac {1} {2\sqrt{x}}.</math>

Функцыя неабмежавана інтэгравальная ва ўсёй вобласці вызначэння. [[Нявызначаны інтэграл]] атрымліваецца па формуле:
: <math>\int \sqrt[n]{x} \;dx =  \frac{\sqrt[n]{x^{n+1}}}{1+\frac{1}{n}} + C.</math>
У прыватнасці,
:<math>\int \sqrt{x} \;dx = \frac{2 \sqrt{x^3}}{3} + C,</math>
дзе <math>C</math> — адвольная пастаянная.

{{пачатак схаванага блока|Загаловак = Неабмежаваная дыферэнцавальнасць і інтэгравальнасць функцыі|Рамка = |Фон_загалоўка=}}

* Формула знаходжання вытворнай <math>k</math>-га парадку{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Т. I, С. 233, асобны выпадак для <math>\mu=\frac{1}{n}.</math>}} функцыі <math>\sqrt[n]{x}</math>:

{| class="wikitable"
|-
| <math>\frac{d^k}{dx^k} \sqrt[n]{x} = (-1)^{k} \frac{\prod^{k-1}_{m=0}(mn-1)}{{n^k}{\sqrt[n]{x^{kn-1}}}}</math>
|-
| дзе <math>k, n \in \mathbb {N}, \ x \ne 0.</math>
|}

* Формула знаходжання <math>k</math>-га нявызначанага інтэграла<ref>Не блытаць з [[Кратны інтэграл|кратнымі інтэграламі]]. Іх запісы вельмі падобныя, але <math>k</math>-ы інтэграл з'яўляецца [[Нявызначаны інтэграл|нявызначаным]], у той час як <math>k</math>-кратны інтэграл — [[Вызначаны інтэграл|вызначаны]].</ref> функцыі <math>\sqrt[n]{x}</math>:

{| class="wikitable"
|-
| <math>\underbrace{\int\cdots\int}_{k} \sqrt[n]{x} \, \underbrace{dx\cdots dx}_{k} = \frac{{n^k}{\sqrt[n]{x^{kn+1}}}}{\prod^{k}_{m=1}(1+mn)} + C,</math>
|-
| дзе <math>k, n \in \mathbb {N}, \ C=\mathrm{const}.</math>
|}

: Правыя часткі формул з'яўляюцца алгебраічнымі выразамі і маюць сэнс пры любом натуральным <math>k</math>. А значыць, і левыя таксама.
{{канец схаванага блока}}

== Гранічныя суадносіны ==

Прывядзём некалькі карысных граніц, якія змяшчаюць карані{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том I, стр. 67, 131—132, 164, 166—167. }}:

: <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\ln n} = 1</math>
: <math>\lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right) = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)= \ln x</math>
: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{(x+1)^m}-1}{x} = \frac{m}{n}</math>
: <math>\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\sqrt[n]a+\sqrt[n]b}{2}\right)^n = \sqrt{ab}</math>

=== Практычнае вылічэнне каранёў ===
{{Галоўны артыкул|Алгарытм вылічэння кораня n-най ступені}}

Квадратныя і кубічныя карані звычайна прадугледжаны ва ўсіх [[калькулятар]]ах. Для ступеней, вышэйшых за трэцюю, можна выкарыстоўваць [[лагарыфм]]ічную тоеснасць:
: <math>\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{\log_a (x)}{n}.</math>
З яе вынікае, што для здабывання кораня трэба знайсці лагарыфм падкарэннага выразу, падзяліць на ступень кораня і знайсці [[антылагарыфм]] выніку.

== Карані з камплексных лікаў ==

Гістарычна паняцце [[Камплексны лік|камплекснага ліку]] ўзнікла ў сувязі з жаданнем "узаконіць" квадратныя карані з [[Адмоўны лік|адмоўных лікаў]]. Як паступова высветлілася, камплексныя лікі маюць багатыя алгебраічныя і [[Камплексны аналіз|аналітычнымі]] ўласцівасці; у прыватнасці, здабыванне каранёў з іх заўсёды магчыма, хоць і неадназначна.

=== Спосабы знаходжання ===

Запішам камплексны лік <math>z</math> ў трыганаметрычнай форме:
:<math>z = r \left(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}\right).</math>

Тады карані <math>n</math>-й ступені з <math>z</math> вызначаюцца [[формула Муаўра|формулай Муаўра]] (трыганаметрычная форма){{sfn |Корн Г., Корн Т. Справочник по математике|1973|с=36—37. }}:

:<math>\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}\left(\cos{\frac{\varphi+2\pi k}{n}} + i\sin{\frac{\varphi+2\pi k}{n}}\right),\;k = 0, 1, \dots, n-1,</math>

[[Файл:Kreis3 6Teilung.svg|thumb|[[Карані з адзінкі|Карані трэцяй і шостай ступені з адзінкі]] (вяршыні трохвугольніка і шасцівугольніка адпаведна)]]

або ў паказчыкавай форме:

:<math>z = r e^{i\varphi},</math>
:<math>\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}e^{\left(i\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)},\;k = 0, 1, \dots, n-1.</math>

{|
|-
|{{пачатак схаванага блока
|Загаловак={{прабелы|20}}Абазначэнні{{прабелы|20}}
|Рамка =
|Фон_загалоўка = #DCDCDC}}
<math>z = x + iy, \ z \in \mathbb{C}</math> (камплексны лік),<br />
<math>x = \operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}</math> (рэчаісная частка камплекснага ліку),<br />
<math>y = \operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R}</math> (уяўная частка камплекснага ліку),<br />
<math>i</math> — [[уяўная адзінка]],<br />
<math>r=|z|={\color{blue}\sqrt{\color{black}{x^2+y^2}}}</math> (модуль камплекснага ліку),<br />
<math>\varphi=\operatorname{arg}z= \operatorname{arctg}\frac{y}{x}</math> (аргумент камплекснага ліку),<br />
<math>e</math> — [[Лік e|аснова натуральнага лагарыфма]].
{{канец схаванага блока}}
|}

Корань ступені <math>n</math> з ненулявога камплекснага ліку мае <math>n</math> значэнняў (гэта вынік [[асноўная тэарэма алгебры|асноўнай тэарэмы алгебры]]), і ўсе яны розныя. Значэнне кораня, якое атрымліваецца пры <math>k=0</math>, часта называецца '''галоўным'''.

Для ўсіх значэнняў кораня велічыня модуля аднолькавая (ён вызначаецца як арыфметычны корань з модуля першапачатковага камплекснага ліку), а змяняецца толькі яго аргумент, таму ўсе <math>n</math> значэнняў кораня размяшчаюцца на [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]] на [[Акружнасць|акружнасці]] радыуса <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}</math> з цэнтрам у пачатку каардынат. Карані дзеляць гэтую акружнасць на <math>n</math> роўных частак.

=== Прыклады ===

Знойдзем <math>\sqrt{-4}</math>. Маем
:<math>-4 = 4 (\cos{\pi} + i\sin{\pi}).</math>
Адкуль па формуле атрымліваем:
:<math>\sqrt{-4} = 2 \left( \cos{\frac{\pi+2\pi k}{2}} + i\sin{\frac{\pi+2\pi k}{2}}\right),\;k = 0, 1.</math>
Пры <math>k=0</math> атрымаем першы корань <math>2 i</math>, пры <math>k=1</math> атрымаем другі корань <math>(-2 i).</math>

Далей знойдзем <math>\sqrt{2 i}</math>. З тоеснасці
:<math>2 i = 2 \left(\cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2}\right)</math>
па формуле атрымліваем два карані: <math>\pm(1+i).</math>

=== Камплексная функцыя кораня і рыманава паверхня ===

Разгледзім камплексную функцыю кораня {{math|''n''}}-й ступені:
:<math>w=\sqrt[n]{z}.</math>
Паводле сказанага вышэй, гэтая функцыя з'яўляецца шматзначнай (дакладней, {{math|''n''}}-значнай) функцыяй, і гэта стварае нязручнасці пры яе даследаванні і ўжыванні. У камплексным аналізе замест разгляду [[мнагазначная функцыя|мнагазначных функцый]] на камплекснай плоскасці прынята іншае рашэнне: разглядаць функцыю як адназначную, але вызначаную не на плоскасці, а на больш складанай мнагастайнасці, якая называецца [[рыманава паверхня|рыманавай паверхняй]]{{sfn |Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной|1967|с=96-99, 28—29.|name=ST }}. 
<gallery widths="290" heights="290">
Файл:Riemann sqrt.jpg|Рыманава паверхня для камплекснага квадратнага кораня
Файл:Riemann surface 4th root.jpg|Рыманава паверхня для камплекснага кораня 4-й ступені
</gallery>

Для камплекснай функцыі кораня {{math|''n''}}-й ступені яе рыманава паверхня (гл. малюнкі) складаецца з {{math|''n''}} абласцей (''лістоў''), звязаных шрубападобна, прычым апошні ліст звязаны з першым. Гэта паверхня непарыўная і [[адназвязная прастора|адназвязная]]. Адзін з лістоў утрымлівае галоўныя значэнні кораня, якія атрымліваюцца як аналітычны працяг рэчаіснага кораня з дадатнага прамяня рэчаіснай восі.

Апішам дзеля прастаты камплексную функцыю квадратнага кораня. Яе рыманава паверхня складаецца з двух лістоў. Першы ліст можна прадставіць як комплексную плоскасць, у якой выразаны дадатны прамень рэчаіснай восі. Значэнні функцыі кораня <math>w</math> на гэтым лісце маюць удвая меншы аргумент, чым <math>z</math>, і таму яны запаўняюць верхнюю частку камплекснай плоскасці значэнняў. На разрэзе першы ліст злеплены з другім, і функцыя непарыўна працягваецца праз разрэз на другі ліст, дзе яе значэнні запаўняюць ніжнюю частку камплекснай плоскасці значэнняў. Пачатак першага ліста і канец другога, што засталіся свабоднымі, таксама склеім, пасля чаго атрыманая функцыя на рыманавай паверхні становіцца адназначнай і ўсюды непарыўнай<ref name=ST/>.

Функцыя мае адзін нуль пры <math>z=0</math>. Асаблівыя кропкі: <math>z=0</math> і <math>z=\infty</math> (кропкі разгалінавання бясконцага парадку)<ref name=ST/>. Наяўнасць пункта разгалінавання ў нулі азначае, што любы замкнёны контур, які ахоплівае нуль, непазбежна пераходзіць з ліста на ліст.

Дзякуючы [[адназвязнасць|адназвязнасці]] рыманава паверхня кораня з'яўляецца [[універсальная накрываючая|ўніверсальнай накрываючай]]<ref>{{кніга|аўтар=Болтянский В. Г., Ефремович В. А.|загаловак=Наглядная топология|спасылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.htm|месца=М.|выдавецтва=Наука|год=1982|серыя=Библиотечка Квант, выпуск 21|старонкі=112}}</ref> для камплекснай плоскасці без пункта <math>0</math>.

== Варыяцыі і абагульненні ==

Корань <math>n</math>-й ступені з <math>a</math> ёсць рашэнне ўраўнення
:<math>~x^n=a,</math>
і яго ў прынцыпе можна вызначыць ўсюды, дзе такое ўраўненне мае сэнс. Часцей за ўсё разглядаюць такія абагульненні ў [[Кальцо (алгебра)|алгебраічных колцах]]. Лепш за ўсё даследаваны абагульненыя квадратныя карані.

Калі колца ёсць [[вобласць цэласнасці]], то квадратных каранёў можа быць альбо два, альбо ні аднаго. На самай справе, калі маюцца два кораня <math>a, b,</math> то
:<math>~a^2=b^2,</math>
адкуль:
:<math>~(a-b)(a+b)=0,</math>
а раз [[дзельнік нуля|дзельнікаў нуля]] няма, то
:<math>~a=\pm b.</math>
У больш агульным выпадку, калі ў колцы ёсць дзельнікі нуля ці яно некамутатыўнае (мае неперастаўляльную аперацыю множання), лік каранёў можа быць любым.

Карані для кватэрніёнаў маюць шмат агульнага з камплекснымі, але ёсць і істотныя асаблівасці. Квадратны кватэрніённы корань звычайна мае 2 значэнні, але калі падкаранёвы выраз — адмоўны рэчаісны лік, то значэнняў бясконца шмат. Напрыклад, квадратныя карані з <math>-1</math> ўтвараюць трохмерную сферу, якая вызначаецца формулай<ref>''Porteous, Ian R.'' Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.</ref>:
: <math>\{ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\} \,.</math>

Для колца квадратных [[Матрыца (матэматыка)|матрыц]] даказана, што калі матрыца дадатна вызначана, то дадатна вызначаны {{нп3|Квадратны корань з матрыцы|квадратны корань з яе|en|Square root of a matrix}} існуе і адзіны<ref>Гл., напрыклад: ''Гантмахер Ф. Р.''. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219, або: ''Воеводин В., Воеводин В.'' Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.</ref>. Для матрыц іншых тыпаў каранёў можа колькі заўгодна (у тым ліку ні аднаго).

Квадратныя карані ўводзяцца таксама для [[Функцыя (матэматыка)|функцый]]<ref>Гл., напрыклад: ''Ершов Л. В., Райхмист Р. Б.'' Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, або ''Каплан И. А.'' Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.</ref>, [[аператар, матэматыка|аператараў]]<ref>Гл., напрыклад: ''Хатсон В., Пим Дж.'' Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, або: [[Халмош, Пол Ричард|''Халмош П.'']] Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.</ref> і іншых матэматычных аб'ектаў.

== Гісторыя ==

=== Развіццё паняцця ===

[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|300px|<center>Вавілонская таблічка (каля 1800—1600 г. да н. э.) з вылічэннем <math>\sqrt{2} \approx 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3</math><br /> <math>= 1{,}41421296\dots</math></center>]]

Першыя задачы, звязаныя са здабываннем квадратнага кораня, знойдзены ў працах вавілонскіх матэматыкаў (пра дасягненні [[Старажытны Егіпет|старажытнага Егіпта]] ў гэтых задачах нічога не вядома). Сярод такіх задач{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 42—46. }}:
* Прымяненне [[Тэарэма Піфагора|тэарэмы Піфагора]] для знаходжання стараны прамавугольнага трохвугольніка па вядомых двух іншых старанах.
* Знаходжанне стараны [[квадрат]]а, плошча якога зададзена.
* Рашэнне [[Квадратнае ўраўненне|квадратных ураўненняў]].

Вавілонскія матэматыкі (II тысячагоддзе да н. э.) распрацавалі для здабывання квадратнага кораня асаблівы лікавы метад. Пачатковае прыбліжэнне для <math>\sqrt{a}</math> разлічваліся зыходзячы з найбліжэйшага да кораня (у меншы бок) натуральнага ліку <math>n</math>. Прадставіўшы падкаранёвы выраз у выглядзе:
:<math>a = n^2 + r,</math>
атрымліваем:
:<math>x_0 = n + \frac{r}{2n},</math>
затым прымяняўся ітэратыўны працэс ўдакладнення, адпаведны метаду Ньютана{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 47. }}:
: <math>x_{n+1} = \frac{1}{2}\,\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right).</math>

Ітэрацыі ў гэтым метадзе вельмі хутка сыходзяцца. Для <math>\sqrt{5}</math>, напрыклад, <math>~a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_0=\frac{9}{4} = 2{,}25,</math> і мы атрымліваем паслядоўнасць прыбліжэнняў:
: <math> x_1=\frac{161}{72} = 2{,}23611;\; x_2=\frac{51841}{23184} = 2{,}2360679779</math>

У апошнім значэнні верныя ўсе лічбы, акрамя апошняй.

Аналагічныя задачы і метады сустракаюцца ў старажытнакітайскай «''Матэматыцы ў дзевяці кнігах''»{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 169—171. }}. Старажытныя грэкі зрабілі важнае адкрыццё: <math>\sqrt{2}</math> — [[ірацыянальны лік]]. Дэталёвае даследаванне, выкананае Тээтэтам Афінскім ([[IV стагоддзе да н. э.]]), паказала, што калі корань з натуральнага ліку не здабываецца цалкам, то яго значэнне ірацыянальнае<ref>{{кніга|аўтар=Башмакова И. Г.|загаловак=Становление алгебры (из истории математических идей)|месца=М.|выдавецтва=Знание|год=1979|серыя=Новое в жизни, науке, технике. Математика, кибернетика, № 9|старонкі=23.}}</ref>.

Грэкі сфармулявалі праблему [[падваенне куба|падваення куба]], якая зводзілася да пабудовы кубічнага кораня з дапамогай [[Цыркуль|цыркуля]] і [[Лінейка|лінейкі]]. Праблема аказалася невырашальнай. Лікавыя алгарытмы здабывання кубічнага кораня апублікавалі [[Герон]] (у трактаце "Метрыка", I стагоддзе н. э.) і індыйскі матэматык [[Арыябхата|Арыябхата I]] (V стагоддзе)<ref>{{артыкул|аўтар=Abhishek Parakh.|загаловак=Ariabhata's root extraction methods|спасылка=http://cs.okstate.edu/~parakh/okstate_page/Aryabhatas_Root_Extraction_Methods_IJHS.pdf|выданне=Indian Journal of History of Science|год=2007|выпуск=42.2|старонкі=149—161|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100609142233/http://cs.okstate.edu/%7Eparakh/okstate_page/Aryabhatas_Root_Extraction_Methods_IJHS.pdf|archivedate=9 чэрвеня 2010}}</ref>.
Алгарытмы здабывання каранёў любой ступені з [[Цэлы лік|цэлага ліку]], распрацаваныя індыйскімі і ісламскімі матэматыкамі, былі ўдасканалены ў сярэднявечнай Еўропе. [[Мікалай Арэм]] (XIV стагоддзе) упершыню растлумачыў{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 275—276. }} корань <math>n</math>-й ступені як узвядзенне ў ступень <math>\frac{1}{n}.</math>

Пасля з'яўлення [[формула Кардана|формулы Кардана]] (XVI стагоддзе) пачалося прымяненне ў матэматыцы [[Уяўны лік|ўяўных лікаў]], якія разумеюцца як квадратныя карані з адмоўных лікаў{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 296—298. }}. Асноўныя прыёмы вылічэнняў з камплекснымі лікамі распрацаваў у XVI стагоддзі [[Рафаэль Бамбелі]], які таксама прапанаваў арыгінальны метад вылічэння каранёў (з дапамогай ланцуговых дробаў). Адкрыццё формулы Муаўра (1707) паказала, што здабыванне кораня любой ступені з камплекснага ліку заўсёды магчыма і не прыводзіць да новага тыпу лікаў{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том III, С. 56—59. }}.

Камплексныя карані адвольнай ступені ў пачатку XIX стагоддзя глыбока даследаваў [[Карл Фрыдрых Гаус|Гаус]], хоць першыя вынікі належаць [[Леанард Эйлер|Эйлеру]]{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том III, С. 62. }}. Надзвычай важным адкрыццём ([[Эварыст Галуа|Галуа]]) стаў доказ таго факта, што не ўсе [[алгебраічны лік|алгебраічныя лікі]] (карані мнагачлена) можна атрымаць з натуральных з дапамогай чатырох дзеянняў арыфметыкі і здабывання кораня<ref>{{кніга |аўтар=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). |загаловак=Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей |месца=М. |выдавецтва=Наука |том=I |год=1978 |старонкі=58—66. }}</ref>.

=== Этымалогія тэрміна і паходжанне сімволікі ===

Тэрмін ''корань'' мае доўгую і складаную гісторыю. Здабыванне квадратнага кораня старажытныя грэкі разумелі строга геаметрычна: як знаходжанне стараны квадрата па вядомай яго плошчы. Пасля перакладу на [[санскрыт]] грэчаскае слова "старана" ператварылася ў «мула» (аснова). Слова «мула» мела таксама значэнне «корань», таму пры перакладзе індыйскіх [[сідханта|сідхант]] на арабскую мову выкарыстоўваўся тэрмін «''джызр''» ([[корань расліны]]). Пасля аналагічнае па сэнсе слова «''radix''» замацавалася ў лацінскіх перакладах з арабскай, а праз іх і ў славянскіх матэматычных тэрміналогіях («корань», «радыкал»){{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 185. }}.

Сярэднявечныя матэматыкі (напрыклад, [[Джэралама Кардана|Кардана]]) абазначалі квадратны корань<ref>{{кніга |аўтар=Никифоровский В. А. |загаловак=Из истории алгебры XVI-XVII вв |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1979 |старонак=208 |серыя=История науки и техники |старонкі=81 }}</ref> сімвалам R<sub>x</sub>, скарачэнне ад слова «''radix''». Сучаснае абазначэнне упершыню ўжыў нямецкі матэматык Крыстаф Рудольф, са школы касістаў (гэта значыць алгебраістаў), у 1525<ref>{{кніга |загаловак=Математическая энциклопедия |частка=Знаки математические |месца=М. |год=1982 |том=2 |спасылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |выдавецтва=Советская Энциклопедия}}</ref>. Паходзіць гэты знак ад стылізаванай першай літары таго ж слова «radix». Лінія над падкаранёвым выразам спачатку адсутнічала; яе пазней увёў [[Рэнэ Дэкарт|Дэкарт]] (1637) для іншай мэты (замест дужак), і гэтая рыса неўзабаве злілася са знакам кораня.

Паказчык ступені з'явіўся ў знаку кораня дзякуючы [[Джон Валіс|Валісу]] і «Універсальнай арыфметыцы» [[Ісаак Ньютан|Ньютан]] (XVIII стагоддзе)<ref>{{кніга |аўтар=Александрова Н. В. |загаловак=История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е   |выдавецтва=ЛКИ |месца=СПб. |год=2008 |старонкі=82 |старонак=248 |isbn=978-5-382-00839-4 }}</ref>.

== Гл. таксама ==

* [[Ступеняванне]]
* [[Квадратны корань]]
* [[Кубічны корань]]
* [[Карані з адзінкі]]
* [[Лагарыфм]]
* [[Асноўная тэарэма алгебры]]

{{зноскі}}

== Літаратура ==

* {{кніга |аўтар=Выгодский М. Я.
  |загаловак=Справочник по элементарной математике |выданне=изд. 25-е
  |спасылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu
  |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1978 |isbn=5-17-009554-6 
  |ref=Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике }}
* {{кніга |загаловак=История математики, в трёх томах |ref=История математики
  |адказны=Под редакцией А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича
  |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1970—1972 }}
* {{кніга |аўтар=Корн Г., Корн Т.
  |спасылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu
  |загаловак=Справочник по математике (для научных работников и инженеров) |старонак=720
  |выдавецтва=Наука |месца=М. |год=1973 |ref=Корн Г., Корн Т. Справочник по математике }}
* {{кніга |аўтар=Мордкович А. Г. |ref=Мордкович А. Г.
  |загаловак=Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов, часть 1
  |выданне=изд. 4-е |месца=М. |выдавецтва=Мнемозина |год=2003 |старонак=376 }}
* {{кніга |аўтар=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. |загаловак=Теория функций комплексной переменной
  |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1967 |старонак=304
  |ref=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной }}
* {{кніга |аўтар=Фихтенгольц Г. М.
  |загаловак=Курс дифференциального и интегрального исчисления
  |выданне=изд. 6-е |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1966 |старонак=680
  |ref=Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления }}
* {{кніга|частка=Корень|загаловак=Математическая энциклопедия (в 5 томах)|месца=М.|год=1982|том=3|спасылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu|выдавецтва=Советская Энциклопедия}}


{{Добры артыкул|Матэматыка}}
{{Бібліяінфармацыя}}
[[Катэгорыя:Алгебра]]
[[Катэгорыя:Элементарныя функцыі]]
[[Катэгорыя:Матэматычныя аперацыі]]