Прагляд зыходнага тэксту старонкі Лагарыфм

[[Файл:Binary_logarithm_plot with_ticks.svg|thumb|250px|<center>Графік [[Двайковы лагарыфм|двайковага лагарыфма]]</center>]]{{Арыфметычныя аперацыі}}
'''Лагары́фм''' ліку {{math|''x''}} па аснове {{math|''b''}} (ад {{lang-el|λόγος}} — «слова», «дачыненне» і {{lang-el2|ἀριθμός}} — «лік»<ref>
''Краткий словарь иностранных слов.'' М.: Русский язык, 1984.
</ref>) — такое значэнне [[ступеняванне|ступені]], у якую трэба ўзвесці лік {{math|''b''}}, т. зв. '''асно́ву''', каб атрымаць значэнне {{math|''x''}}.
Запіс <math>\log_b a</math> чытаецца як «''лагарыфм <math>a</math> па аснове <math>b</math>''».

З азначэння вынікае, што знаходжанне <math>x = \log_b a</math> раўназначнае рашэнню ўраўнення
: <math> b^x=a. </math>
Напрыклад, лагарыфм 1000 па аснове 10 роўны 3, бо 1000 ёсць 10 у ступені 3: 1000 = 10·10·10 = 10³.

Вылічэнне лагарыфма называецца '''лагарыфмава́ннем'''.

Лагарыфмы маюць цікавыя ўласцівасці, якія дазваляюць спрашчаць працаёмкія вылічэнні{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=184-186. }}. Пры пераходзе «ў свет лагарыфмаў» [[множанне]] замяняецца на значна прасцейшае [[складанне]], [[дзяленне]] — на [[адыманне]], а [[узвядзенне ў ступень|ўзвядзенне ў ступень]] і [[здабыванне кораня]] ператвараюцца адпаведна ў [[множанне]] і [[дзяленне]] на паказчык ступені. [[П'ер-Сімон Лаплас|Лаплас]] казаў, што вынаходніцтва лагарыфмаў, «скараціўшы працу астранома, падвоіла яго жыццё»<ref>
Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. § 40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.
</ref>.
У прыкладаннях аснова {{math|''b''}} лагарыфма і лагарыфмуемы лік (аргумент лагарыфма) звычайна [[Рэчаісны лік|рэчаісныя]]. Тым не менш, існуе шэраг праблем (у тым ліку і прыкладных), дзе карысным аказваецца так званы [[#Камплексны лагарыфм|камплексны лагарыфм]].

Азначэнне лагарыфмаў і табліцу іх значэнняў (для [[Трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычных функцый]]) упершыню надрукаваў у 1614 годзе шатландскі матэматык [[Джон Непер]]. Лагарыфмічныя табліцы, пашыраныя і ўдакладненыя іншымі матэматыкамі, паўсюдна выкарыстоўваліся ў навуковых і інжынерных разліках больш за тры стагоддзі, пакуль не з’явіліся электронныя вылічальныя машыны.

З цягам часу высветлілася, што лагарыфмічная функцыя <math>y=\log_b x</math> незаменная і ў шмат якіх іншых галінах чалавечай дзейнасці: развязанні [[Дыферэнцыяльнае ўраўненне|дыферэнцыяльных ураўненняў]], вымярэнні [[Фізічныя велічыні|фізічных велічынь]] (напрыклад, [[Частата|частаты]] і [[магутнасць гуку|магутнасці гуку]]), [[прыбліжэнне, матэматыка|прыбліжэнні]] розных залежнасцей, [[тэорыя інфармацыі|тэорыі інфармацыі]], [[тэорыя імавернасцей|тэорыі імавернасцей]] і г. д. Гэта функцыя ўваходзіць у лік [[Элементарныя функцыі|элементарных]], лагарыфм адваротны да [[Паказчыкавая функцыя|паказчыкавай функцыі]]. Часцей за ўсё выкарыстоўваюцца рэчаісныя лагарыфмы па аснове ''[[Лік Ойлера|e]]'' ([[натуральны лагарыфм|натуральны]]), 10 ([[Дзесятковы лагарыфм|дзесятковы]]) і 2 ([[Двайковы лагарыфм|двайковы]]).

== Рэчаісны лагарыфм ==
Лагарыфм <math> x=\log_b a</math> па азначэнню ёсць рашэнне ўраўнення
: <math>b^x=a.</math>
Выпадак <math>b=1</math> не вельмі цікавы, бо пры <math>a \ne 1</math> гэта ўраўненне не мае рашэння, а пры <math>a=1</math> любы лік з’яўляецца рашэннем; у абодвух выпадках лагарыфм не вызначаны. Гэтак жа прыходзім да высновы, што лагарыфм не існуе пры нулявым і адмоўным <math>b</math>; акрамя таго, значэнне [[Паказчыкавая функцыя|паказчыкавай функцыі]] <math>b^x</math> заўсёды дадатнае, таму варта выключыць і выпадак адмоўнага <math>a</math>. Канчаткова атрымліваем<ref name=KORN34/>:

{{Тэарэма|Рэчаісны лагарыфм <math>\log_b a</math> вызначаны пры <math>b>0, b \ne 1, a>0.</math>}}

Як вядома, паказчыкавая функцыя <math>y=b^x</math> (пры выкананні вышэйзгаданых умоў на <math>b</math>) вызначана, [[Манатонная функцыя|манатонная]] і кожнае значэнне прымае толькі адзін раз, прычым абсяг яе значэнняў утрымлівае ўсе дадатныя рэчаісныя лікі<ref>
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 229.
</ref>. Адсюль вынікае, што значэнне рэчаіснага лагарыфма дадатнага ліку заўсёды вызначана і адзінае.

Найбольш шырокі ўжытак і шматлікія дастасаванні маюць наступныя віды лагарыфмаў:
* [[Натуральны лагарыфм|Натуральны]]: <math>\ln x</math>, аснова: [[лік Ойлера]] {{math|''e''}}.
* [[Дзесятковы лагарыфм|Дзесятковы]]: <math>\lg x</math>, аснова: лік 10.
* [[Двайковы лагарыфм|Двайковы]]: <math>\log_2 x</math> або <math>\operatorname{lb} x</math>, аснова: 2. Яны ўжываюцца, напрыклад, у [[тэорыя інфармацыі|тэорыі інфармацыі]], [[інфарматыка|інфарматыцы]], у многіх раздзелах [[Дыскрэтная матэматыка|дыскрэтнай матэматыкі]].

=== Уласцівасці ===

==== Асноўная лагарыфмічная тоеснасць ====
З азначэння лагарыфма вынікае асноўная лагарыфмічная тоеснасць<ref>
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
</ref>:

* <math>a^{\log_a x} = x</math>
* <math>\log_a \left(a^x\right) = x</math>

''Вывад'': з роўнасці двух рэчаісных лагарыфмаў вынікае роўнасць лагарыфмаваных выразаў. Сапраўды, калі <math>\log_a b=\log_a c</math>, то <math>a^{\log_a b} = a^{\log_a c}</math>, адкуль, адпаведна асноўнай тоеснасці: <math>b=c.</math>

==== Лагарыфмы адзінкі і ліку, роўнага аснове ====

* <math>\log_a 1 = 0, </math>
* <math>\log_a a = 1. </math>

==== Арыфметычныя ўласцівасці лагарыфма ====

* Лагарыфм здабытку:
: <math> \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y) </math>

* Лагарыфм дзелі:
: <math>\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a (x) - \log_a (y)</math>

* Лагарыфм ступені:
: <math>\log_a(x^p) = p \log_a (x)</math>

* Лагарыфм кораня:
: <math>\log_a \sqrt[p]{x} = \frac{\log_a (x)}{p} </math>

* Калі аснова лагарыфма ёсць ступень некаторага выразу:
: <math>\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b.</math>
''Доказ'': Гэта тоеснасць атрымліваецца адразу, калі ад лагарыфма па аснове <math>a^k</math> перайсці да лагарыфма па аснове <math>a</math>.

Вынікі:
*: <math>\log_{\sqrt[n]{a}} b = n \log_a b;</math>
*: <math>\log_{a^k}{b^p} = \frac{p}{k}\log_a{b};</math>
*: <math>\log_{a^k} b^k = \log_a b.</math>
* Яшчэ адна карысная тоеснасць:
: <math>c^{\log_a b}=b^{\log_a c}</math>
''Доказ'': Каб даказаць яе, заўважым, што лагарыфмы ў левай і правай частках супадаюць па аснове <math>a</math>, а тады, згодна з вынікам з асноўнай лагарыфмічнай тоеснасці, левая і правая часткі тоесна роўныя.

Існуе відавочнае абагульненне прыведзеных формул:
: <math>\log_a |x y| = \log_a |x| + \log_a |y|</math>
: <math>\log_a \left|\frac x y \right| = \log_a |x| - \log_a |y|</math>
Формула для лагарыфма здабытку без цяжкасцей абагульняецца на адвольную колькасць сумножнікаў:
: <math> \log_a(x_1 x_2 \dots x_n) = \log_a (x_1) + \log_a (x_2) + \dots + \log_a (x_n)</math>

Апісанымі ўласцівасцямі і тлумачыцца, чаму выкарыстанне лагарыфмаў (да вынаходніцтва калькулятараў) істотна палягчала вылічэнні. Напрыклад, множанне шматзначных лікаў <math>x, y</math> з дапамогай [[#Табліцы лагарыфмаў|лагарыфмічных табліц]] адбывалася па наступнаму алгарытму:
# Знайсці ў табліцах лагарыфмы лікаў <math>x, y</math>.
# Скласці гэтыя лагарыфмы, атрымаўшы такім чынам (згодна з первай уласцівасцю) лагарыфм здабытку <math>x \cdot y</math>.
# Па лагарыфму здабытку знайсці ў табліцах сам здабытак.
Дзяленне, якое без дапамогі лагарыфмаў істотна больш працаёмкае чым множанне, выконвалася па таму ж алгарытму, толькі з заменай складання лагарыфмаў на адыманне. Гэтак жа спрашчаліся [[узвядзенне ў ступень|ўзвядзенне ў ступень]] і [[здабыванне кораня]].

==== Замена асновы лагарыфма ====
* Ад лагарыфма <math>\log_a b</math> па аснове <math>a</math> можна перайсці да лагарыфма па другой аснове <math>c</math>{{sfn |Корн Г., Корн Т. Справочник по математике|1973|с=34|name=KORN34 }}:
: <math>\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}</math>
* Вынік: перастаноўка асновы і лагарыфмуемага выразу:
: <math>\log_a b = \frac {1}{\log_b a}</math>

=== Лагарыфмічная функцыя ===
[[Файл:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|thumb|250px|<center>Лагарыфмічная функцыя адваротная да паказчыкавай</center>]]
[[Файл:Log.png|thumb|250px|Графікі лагарыфмічных функцый з асновамі: 2 (жоўты), ''[[Лік Ойлера|e]]'' (чырвоны), 0.5 (сіні)]]
[[Файл:Function-log-animation.gif|thumb|250px|Двайковы лагарыфм і паказчыкавая функцыя з асновай 2]]
[[Файл:Function-log-animation2.gif|thumb|250px|Лагарыфм і паказчыкавая функцыя з асновай 1/2]]

==== Асноўныя уласцівасці ====

Калі разглядаць лагарыфмаваны лік як зменную, мы атрымаем ''лагарыфмічную функцыю'' <math>y=\log_a x</math>. Яна вызначана пры <math>a>0;\ a \ne 1; x>0</math>.
* Абсяг вызначэння: <math>x>0</math>.
* Абсяг значэнняў: <math>E(y)=(-\infty; + \infty )</math>.
Гэта крывая часта называецца ''лагарыфмікай''<ref name=MATENC>
{{кніга
|частка=Логарифмическая функция.
|загаловак=Математическая энциклопедия (в 5 томах)
|месца=М.
|год=1982
|том=3
|спасылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu
|выдавецтва=[[Вялікая Расійская энцыклапедыя, выдавецтва|Советская Энциклопедия]] }}
</ref>.

* З формулы замены асновы лагарыфма відаць, што графікі лагарыфмічных функцый з рознымі асновамі, большымі за адзінку, адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі расцяжэннем уздоўж восі <math>y</math>:
: <math> \log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b} </math>
* Графікі для асноў <math>a</math> і <math>1/a</math> сіметрычныя адносна восі ''x''.
* З азначэння вынікае, што лагарыфмічная функцыя <math>y = \log_a x</math> [[адваротная функцыя|адваротная]] да [[паказнікавая функцыя|паказнікавай функцыі]] <math>y=a^x</math>, таму іх графікі сіметрычныя адносна [[Бісектрыса|бісектрысы]] першага і трэцяга квадрантаў (гл. рысунак). Як і паказнікавая, лагарыфмічная функцыя [[Трансцэндэнтная функцыя|трансцэндэнтная]].
* Лагарыфмічная функцыя [[манатонная функцыя|строга нарастае]] пры <math>a > 1</math> (гл. графікі) і [[манатонная функцыя|строга спадае]] пры <math>0 < a < 1</math>. Графік любой лагарыфмічнай функцыі праходзіць праз кропку <math>(1;0)</math>. Функцыя [[Непарыўнае адлюстраванне|непарыўная]] і бесканечна [[Дыферэнцавальная функцыя|дыферэнцавальная]] ўсюды на сваім абсягу вызначэння.
* Вось ардынат <math>(x=0)</math> з’яўляецца [[Асімптота|вертыкальнаю асімптотай]] для лагарыфмічнай функцыі, бо:
: <math>\lim_{x \to +0} \log_a x = - \infty</math> пры <math>a > 1;</math>
: <math>\lim_{x \to +0} \log_a x = + \infty</math> пры <math>0 < a < 1.</math>

* [[Вытворная функцыі|Вытворная]] лагарыфмічнай функцыі:
: <math>
(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}
</math>

* [[Першаісная функцыі|Першаісная]] лагарыфмічнай функцыі:
: <math>
\int \log_a x\,dx = x \log_a x - \frac{x}{\ln a} + C,
</math>
дзе {{math|''C''}} — адвольная сталая.

* З пункту гледжання алгебры, лагарыфмічная функцыя ажыццяўляе (адзіны магчымы) [[Ізамарфізм груп|ізамарфізм]] [[Група (алгебра)|групы адносна множання]] дадатных рэчаісных лікаў і [[Група (алгебра)|групы адносна складання]] ўсіх [[рэчаісны лік|рэчаісных лікаў]]. Іншымі словамі, лагарыфмічная функцыя з’яўляецца адзіным (вызначаным для ўсіх дадатных значэнняў аргумента) непарыўным рашэннем [[Функцыянальнае ўраўненне|функцыянальнага ўраўнення]]{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том I, стр. 159-160 }}:
: <math>f(xy)=f(x)+f(y).</math>

==== Натуральны лагарыфм ====
{{Асноўны артыкул|Натуральны лагарыфм}}
Прыведзеная вышэй агульная формула [[Вытворная функцыі|вытворнай]] выглядае найпрасцей у выпадку натуральнага лагарыфма:
: <math>\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}.</math>
З гэтай прычыны ў матэматычных даследаваннях пераважна выкарыстоўваюць іменна натуральныя лагарыфмы. Яны нярэдка з’яўляюцца пры развязанні [[дыферэнцыяльнае ўраўненне|дыферэнцыяльных ураўненняў]], даследаванні статыстычных залежнасцей (напрыклад, [[Тэарэма пра размеркаванне простых лікаў|размеркавання простых лікаў]]) і пад.

[[Файл:Log-pole-x.svg|thumb|250px|<center>Натуральны лагарыфм роўны плошчы пад [[Гіпербала (матэматыка)|гіпербалай]]</center>]]

Праінтэграваўшы формулу для вытворнай у прамежку ад <math>x=1</math> да <math>x=b</math>, атрымліваем:
: <math>\ln b = \int\limits_1^b {\frac {dx}{x}}.</math>
Інакш кажучы, натуральны лагарыфм роўны плошчы пад [[Гіпербала (матэматыка)|гіпербалай]] <math>y=\frac {1}{x}</math> на названым прамежку ''x''.

[[Нявызначаны інтэграл]] ад натуральнага лагарыфма лёгка знайсці [[Інтэграванне па частках|інтэграваннем па частках]]:
: <math>\int{\ln x\,\mathrm{d}x} = x\ln x-x+C.</math>

У [[Матэматычны аналіз|матэматычным аналізе]] і тэорыі [[Дыферэнцыяльнае ўраўненне|дыферэнцыяльных ураўненняў]] вялікую ролю адыгрывае паняцце [[Лагарыфмічная вытворная|лагарыфмічнай вытворнай]] функцыі <math>f(x)</math>:
: <math>\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>

===== Раскладанне ў рад і вылічэнне натуральнага лагарыфма =====
Раскладзём натуральны лагарыфм у [[рад Тэйлара]] каля адзінкі:
: <math>\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots.</math>
Гэты рад [[Збежнасць рада|збягаецца]] пры <math>-1 < x \le 1.</math>
У прыватнасці:
: <math>\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots.</math>
Формула непрыдатная для практычнага вылічэння лагарыфмаў з-за таго, што [[Рад (матэматыка)|рад]] збягаецца вельмі павольна і толькі на вузкім прамежку. Аднак нескладана атрымаць з яе зручнейшую формулу:
: <math>\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right).</math>
Гэты рад збягаецца хутчэй, і акрамя таго, цяпер левая частка формулы можа прадставіць лагарыфм любога дадатнага ліку.

Карыстацца апошняй формулай трэба так.
Няхай <math>Z</math> — лік, лагарыфм якога трэба вылічыць.

1) З ураўнення
: <math>
Z = \frac{1+x}{1-x}
</math>
знаходзім <math>x</math>:
: <math>
x = \frac{Z-1}{Z+1}.
</math>
2) Вылічанае значэнне <math>x</math> падстаўляем у рад і атрымліваем значэнне <math>\ln Z</math>.

Дадзены [[алгарытм]] ужо прыдатны да выкарыстання на практыцы пры вылічэнні значэнняў лагарыфмаў, аднак ён не найлепшы з пункту гледжання працаёмкасці. Існуюць больш дзейсныя алгарытмы<ref>
{{артыкул
|аўтар=Sasaki T., Kanada Y.
|загаловак=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)
|спасылка=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332
|мова=en
|выданне=Journal of Information Processing
|год=1982
|том=5
|выпуск=4
|старонкі=247–250}}
</ref>.

==== Лімітавыя суадносіны ====
Прывядзём некалькі карысных [[Ліміт функцыі|лімітаў]], якія ўтрымліваюць лагарыфмы{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том I, стр. 164 }}.
: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\log_a (1+x)} {x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}</math>
: <math>\lim_{x \to +0} x^b \log_a x = 0 \quad (b > 0) </math>
: <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{\log_a x}{x^b} = 0 \quad (b > 0) </math>
: <math>\ln x = \lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right) 
              = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)</math>
: <math>\ln x = \lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}h</math>

==== Іншыя ўласцівасці ====
* З [[Тэарэма Гельфонда|тэарэмы Гельфонда]] вынікае, што калі <math>a, b</math> — [[алгебраічныя лікі]] (<math>a \ne 1</math>), то <math>\log_a b</math> або [[Рацыянальны лік|рацыянальны]], або [[Трансцэндэнтны лік|трансцэндэнтны]]. Пры гэтым лагарыфм рацыянальны і роўны <math>\frac{p}{q}</math> толькі ў тым выпадку<ref>
{{кніга
|аўтар=Alan Baker
|загаловак=Transcendental number theory
|выдавецтва=Cambridge University Press
|isbn=978-0-521-20461-3
|год=1975
|старонкі=10}}
</ref>, калі лікі <math>a, b</math> суадносяцца як <math>a^p=b^q</math>.

* Сума <math>\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}</math> (частковая сума [[Гарманічны рад|гарманічнага рада]]) пры вялікіх <math>n</math> паводзіць сябе як <math>\ln n + C</math>, дзе <math>C \approx 0{,}577215664\dots </math> — [[сталая Ойлера — Маскероні]].

== Камплексны лагарыфм ==

{{Асноўны артыкул|Камплексны лагарыфм}}

Вызначэнне і ўласцівасці

Для камплексных лікаў лагарыфм вызначаецца гэтак жа, як рэчаісны. На практыцы выкарыстоўваецца амаль выключна натуральны камплексны лагарыфм, які пазначаецца <math>\mathrm{Ln}\, z</math> і вызначаецца як рашэнне <math>w</math> ураўнення <math>e^w=z</math> (іншыя, эквівалентныя дадзеным, варыянты вызначэння прыведзены ніжэй).

У полі камплексных лікаў рашэнне гэтага ўраўнення, у адрозненне ад рэчаіснага выпадку, не вызначана адназначна. Напрыклад, згодна з тоеснасцю Эйлера, <math>~e^{\pi i}=-1</math>; аднак таксама <math>~e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i} \dots =-1</math>. Гэта звязана з тым, што паказальная функцыя ўздоўж ўяўнай восі з’яўляецца перыядычнай (з перыядам <math>~2 \pi</math>){{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том II, стр. 520-522|name=FICHT2-520 }}, і адно і тое ж значэнне функцыя прымае бясконца шмат разоў. Такім чынам, комплексная лагарыфмічная функцыя <math>~w=\mathrm{Ln}\,z</math> з’яўляецца шматзначнай.

Камплексны нуль не мае лагарыфма, паколькі камплексная экспанента не прыймае нулявога значэння. Ненулявое <math>z</math> можна прадставіць у паказальнай форме:

: <math>z=r \cdot e^{i \varphi}</math>

Тады <math>\mathrm{Ln}\,z</math> знаходзіцца па формуле:
: <math>\mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left( \varphi + 2 \pi k \right)</math>

Тут <math>\ln\,r= \ln\,|z|</math> — рэчаісны лагарыфм, <math>k</math> — адвольны [[цэлы лік]]. Адсюль выцякае:

{{рамка}}Камплексны лагарыфм <math>\mathrm{Ln}\, z</math> існуе для любога <math>z \ne 0</math>, і яго рэчаісная частка вызначаецца адназначна, у той час як уяўная частка мае бясконцае мноства значэнняў, якія адрозніваюцца на цэлае кратнае <math>2\pi.</math>.
{{/рамка}}

[[Файл:NaturalLogarithmRe.png|thumb|280px|<center>Рэчаісная частка камплекснага лагарыфма</center>]]

З формулы відаць, што ў аднаго і толькі аднаго са значэнняў уяўная частка знаходзіцца ў інтэрвале <math>~(-\pi, \pi]</math>. Гэта значэнне называецца галоўным значэннем комплекснага натуральнага лагарыфма. Адпаведная (ужо адназначная) функцыя называецца галоўнай галіной лагарыфма і пазначаецца <math>\ln\,z</math>. Часам праз <math>\ln\, z</math> таксама пазначаюць значэнне лагарыфма, якое ляжыць не на галоўнай галіне. Калі <math>z</math> — рэчаісны лік, то галоўнае значэнне яго лагарыфма супадае з звычайным рэчаісным лагарыфмам.

З прыведзенай формулы таксама вынікае, што рэчаісная частка лагарыфма вызначаецца наступным чынам праз кампаненты аргумента:

: <math>\operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)</math>

На малюнку паказана, што рэчаісная частка як функцыя кампанентаў цэнтральна-сіметрычна і залежыць толькі ад адлегласці да пачатку каардынатаў. Яна атрымліваецца кручэннем графіка рэчаіснага лагарыфма вакол вертыкальнай восі. З набліжэннем да нуля функцыя імкнецца да <math>-\infty.</math>

=== Прыклады значэнняў комплекснага лагарыфма ===

Прывядзем галоўнае значэнне лагарыфма (<math>\ln</math>) і агульны яго выраз (<math>\mathrm{Ln}</math>) для некаторых аргументаў:

: <math>\ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i</math>
: <math>\ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi</math>
: <math>\ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi</math>

Варта быць асцярожным пры пераўтварэннях комплексных лагарыфмаў, прымаючы пад увагу, што яны шматзначныя, і таму з роўнасці лагарыфмаў якіх-небудзь выразаў не варта роўнасць гэтых выразаў. Прыклад памылковай развагі:

: <math> i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi</math> — відавочная памылка.

Адзначым, што злева варта галоўнае значэнне лагарыфма, а справа — значэнне з ніжэйшай галіны (<math>k=-1</math>). Прычына памылкі — неасцярожнае выкарыстанне ўласцівасці <math>\log_a{(b^p)} = p~\log_a b</math>, якая, наогул кажучы, мае на ўвазе ў комплексным выпадку ўвесь бясконцы набор значэнняў лагарыфма, а не толькі галоўнае значэнне.

=== Камплексная лагарыфмічная функцыя і рыманавая паверхня ===

[[Файл:Riemann surface log.jpg|thumb|<center>Камплексны лагарыфм (уяўная частка)</center>]]

У камплексным аналізе замест разгляду мнагазначных функцый на камплекснай плоскасці прынята іншае рашэнне: разглядаць функцыю як адназначную, але вызначаную не на плоскасці, а на больш складанай разнастайнасці, якоая называецца рыманавай паверхняй{{sfn |Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной|1967|с=92-94 }}. Камплексная лагарыфмічная функцыя таксама адносіцца да гэтай катэгорыі: яе вобраз складаецца з бясконцага ліку галін, закручаных ў выглядзе спіралі. Гэтая паверхню бесперапынная і аднасувязная. Адзіны нуль у функцыі (першага парадку) атрымліваецца пры <math>z=1</math>. Асаблівыя пункты: <math>z=0</math> і <math>z=\infty</math> (пункты разгалінавання бясконцага парадку).

У сілу аднасувязнасці рыманавая паверхня лагарыфма з’яўляецца універсальнай накрываючай<ref>{{кніга|аўтар=Болтянский В. Г., Ефремович В. А.|загаловак=Наглядная топология|спасылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.htm|месца=М.|выдавецтва=Наука|год=1982|серыя=Библиотечка Квант, выпуск 21|старонкі=112}}</ref> для камплекснай плоскасці без пункту <math>0</math>.

=== Аналітычны працяг ===

Лагарыфм камплекснага ліку таксама можа быць вызначаны як аналітычны працяг рэчаіснага лагарыфма на ўсю [[Камплексная плоскасць|камплексную плоскасць]]. Хай крывая <math>\Gamma</math> пачынаецца ў адзінцы, не праходзіць праз нуль і не перасякае адмоўную частку рэчаіснай восі. Тады галоўнае значэнне лагарыфма ў канчатковым пункце <math>w</math> крывой <math>\Gamma</math> можна вызначыць па формуле{{sfn |Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной|1967|с=45-46, 99-100.|name=ST }}:

: <math>\ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u}</math>

Калі <math>\Gamma</math> — простая крывая (без самаперасячэнняў), то для лікаў, якія ляжаць на ёй, лагарыфмічныя тоеснасці можна ўжываць без боязі, напрыклад:

: <math>\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma</math>

Галоўная галіна лагарыфмічнай функцыі бесперапынная і дыферэнцыруема на ўсёй камплекснай плоскасці, акрамя адмоўнай часткі рэчаіснай восі, на якой уяўная частка скокам мяняецца на <math>2\pi</math>. Але гэты факт ёсць следства штучнага абмежавання ўяўнай часткі галоўнага значэння інтэрвалам <math>~(-\pi, \pi]</math>. Калі разгледзець усе галіны функцыі, то бесперапыннасць мае месца ва ўсіх пунктах, акрамя нуля, дзе функцыя не вызначана. Калі дазволіць крывой <math>\Gamma</math> перасякаць адмоўную частка рэчаіснай восі, то першае такое скрыжаванне пераносіць вынік з галіны галоўнага значэння на суседнюю галіну, а кожнае наступнае скрыжаванне выклікае аналагічнае зрушэнне па галінах лагарыфмічнай функцыі.

З формулы аналітычнага працягу вынікае, што на любой галіне лагарыфма:

<math>\frac{d}{dz} \ln z = {1\over z}</math>

Для любой акружнасці <math>S</math>, якая ахоплівае пункт <math>0</math>:
: <math>\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i</math>

Інтэграл бярэцца ў станоўчым напрамку (супраць гадзіннікавай стрэлкі). Гэта тоеснасць ляжыць у аснове тэорыі вылікаў.

Можна таксама вызначыць аналітычнае працяг комплекснага лагарыфма з дапамогай вышэйпрыведзеных радоў: раду 1 або раду 2, — абагульненых на выпадак камплекснага аргументу. Аднак з выгляду гэтых радоў вынікае, што ў адзінцы сума раду роўная нулю, шэта значыць рад адносіцца толькі да галоўнай галіны шматзначнай функцыі камплекснага лагарыфма. [[Радыус]] збежнасці абодвух радоў роўны 1.

=== Сувязь са зваротнымі трыганаметрычнымі і гіпербалічнымі функцыямі ===

Паколькі камплексныя трыганаметрычныя функцыі звязаныя з экспанентай (формула Эйлера), то камплексны лагарыфм як зваротная да экспаненты функцыя звязаны са зваротнымі трыганаметрычнымі функцыямі{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том II, стр. 522-526|name=FICHT2-522 }}:
: <math>\operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2})</math>
: <math>\operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + i\sqrt{1-z^2})</math>
: <math>\operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i)</math>
: <math>\operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i)</math>

Гіпербалічныя функцыі на камплекснай плоскасці можна разглядаць як трыганаметрычныя функцыі ўяўнага аргументу, таму і тут мае месца сувязь з лагарыфмам{{sfn |Корн Г., Корн Т. Справочник по математике|1973|с=624.|name=KK624 }}:
: <math>\operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1})</math> — зваротны гіпербалічны сінус
: <math>\operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left( z+\sqrt{z^{2}-1} \right)</math> — зваротны гіпербалічны косінус
: <math>\operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)</math> — зваротны гіпербалічны тангенс
: <math>\operatorname{Arcth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)</math> — зваротны гіпербалічны катангенс

== Ужыванне на практыцы ==

=== Табліцы лагарыфмаў ===

[[Файл:Abramowitz&Stegun.page97.agr.jpg|thumb|Лагарыфмічныя табліцы]]
З уласцівасцей лагарыфма вынікае, што замест працаёмкага множання шматзначных лікаў дастаткова адшукаць (па табліцах) і скласці іхнія лагарыфмы, а потым па тых жа табліцах («[[Антылагарыфм]]ы») выканаць [[ступеняванне]], г.зн. знайсці значэнне па яго лагарыфму. Выкананне дзялення адрозніваецца толькі тым, што лагарыфмы адымаюцца.

Першыя табліцы лагарыфмаў выдаў [[Джон Непер]] (1614), і яны ўтрымівалі толькі лагарыфмы [[Трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычных функцый]], прычым з памылкамі. Незалежна ад яго свае табліцы надрукаваў [[Ёст Бюргі]], друг [[Іаган Кеплер|Кеплера]] (1620). У 1617 годзе [[оксфард]]скі прафесар матэматыкі [[Генры Брыгс]] выдаў табліцы, якія ўжо ўключалі дзесятковыя лагарыфмы лікаў ад 1 да 1000, з 8 (пазней — з 14) знакамі. Але і ў табліцах Брыгса выявіліся памылкі. Першае безпамылковае выданне на аснове табліц [[Георг Вега|Георга Вегі]] (1783) з’явілася толькі ў 1857 годзе ў Берліне (табліцы Брэмікера, ''Carl Bremiker''){{sfn |История математики, том II|1970|с=62. }}.

У Расіі першыя табліцы лагарыфмаў былі выдадзены ў 1703 годзе пры ўдзеле [[Лявонцій Піліпавіч Магніцкі|Л. П. Магніцкага]]<ref>
{{кніга
|аўтар=Гнеденко Б. В.
|загаловак=Очерки по истории математики в России, издание 2-е
|месца=М.
|выдавецтва=КомКнига
|год=2005
|старонак=296
|isbn=5-484-00123-4
|старонкі=66 }}
</ref>. У СССР было выдадзена некалькі зборнікаў табліц лагарыфмаў<ref>
{{кніга
|загаловак=Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия
|спасылка=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/104256/Логарифмические
}}
</ref>:
# ''[[Уладзімір Мадэставіч Брадзіс|Брадис В. М.]]'' Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Табліцы Брадзіса, выдаваныя з 1921 года, выкарыстоўваліся ў навучальных установах і ў інжынерных разліках, якія не патрабавалі вялікай дакладнасці. Яны ўтрымлівалі [[Экспаненцыяльны запіс|мантысы]] дзесятковых лагарыфмаў і трыганаметрычных функцый, натуральныя лагарыфмы і некаторыя іншыя карысныя разліковыя прылады.
# ''Вега Г.'' Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Адмысловы зборнік для дакладных вылічэнняў.
# ''Бремикер К.'' Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Класічныя шасцізначныя табліцы, зручныя для разлікаў з [[Трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычнымі функцыямі]].
# Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
# Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
# Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

=== Лагарыфмічная лінейка ===
{{асноўны артыкул|Лагарыфмічная лінейка}}
У 1620-я гады Эдмунд Уінгейт і [[Уільям Оўтрэд]] вынайшлі першую [[Лагарыфмічная лінейка|лагарыфмічную лінейку]], якая да з’яўлення кішэнных калькулятараў была незаменнай вылічальнай прыладай інжынера{{sfn |История математики, том II|1970|с=65-66. }}. З дапамогай гэтай невялічкай прылады можна было хутка выконваць усе алгебраічныя аперацыі, у тым ліку з [[Трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычнымі функцыямі]]<ref>
{{кніга
|аўтар=Березин С. И.
|загаловак=Счётная логарифмическая линейка
|месца=М.
|выдавецтва=Машиностроение
|год=1968
}}
</ref>. Дакладнасць разлікаў — каля 3 значных лічб.
[[Файл:Sliderule 2005.jpg|thumb|600px|center|Лагарыфмічная лінейка]]

== Гл. таксама ==
* [[Камплексны лік]]
* [[Паказнікавая функцыя]]
* [[Камплексны лагарыфм]]
* [[Ступеняванне]]
* [[Лагарыфмічная лінейка]]
* [[Сістэмы злічэння]]
* [[Спіс інтэгралаў ад лагарыфмічных функцый]]

== Крыніцы ==
{{Крыніцы}}

== Літаратура ==
* {{кніга |аўтар=Выгодский М. Я.
  |спасылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu
  |загаловак=Справочник по элементарной математике |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1978 |мова= ru
  |ref=Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике }}
* {{кніга |аўтар=Корн Г., Корн Т. |спасылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu
  |загаловак=Справочник по математике (для научных работников и инженеров) |старонак=720 |мова= ru
  |выдавецтва=Наука |месца=М. |год=1973 |ref=Корн Г., Корн Т. Справочник по математике }}
* {{кніга|аўтар=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. |загаловак=Теория функций комплексной переменной
  |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1967 |старонак=304 |мова= ru
  |ref=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной }}
* {{кніга |аўтар=Фихтенгольц Г. М.
  |загаловак=Курс дифференциального и интегрального исчисления
  |выданне=изд. 6-е |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1966 |старонак=680 |мова= ru
  |ref=Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления }}
* {{кніга |частка=Математика XVII столетия |загаловак=История математики |спасылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm |адказны=Под редакцией А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича, в трёх томах |мова=ru |месца=М. |выдавецтва=Наука |год=1970 |том=II |ref=История математики, том II |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110918072945/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm |archivedate=18 верасня 2011 }}

== Спасылкі ==
{{Commons|Category:Logarithm}}
* Colin Byfleet, [http://mediasite.oddl.fsu.edu/mediasite/Viewer/?peid=003298f9a02f468c8351c50488d6c479 Educational video on logarithms].
* Edward Wright, [http://johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm Translation of Napier’s work on logarithms] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20070627125949/http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm |date=27 чэрвеня 2007 }}.

[[Катэгорыя:Элементарныя функцыі]]
[[Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы]]
[[Катэгорыя:Лагарыфмы| ]]