Прагляд зыходнага тэксту старонкі Нармальнае размеркаванне

{{Пра|аднавымернае нармальнае размеркаванне|многавымернае нармальнае размеркаванне|многавымернае нармальнае размеркаванне}}
{{Размеркаванне імавернасцей
  | name       = Нармальнае размеркаванне
  | type       = density
  | pdf_image  = Normal Distribution PDF.svg
  | pdf_caption = Чырвоная лінія адпавядае стандартнаму нармальнаму размеркаванню
  | cdf_image  = Normal Distribution CDF.svg
  | cdf_caption = 
  | notation   = <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>
  | parameters = <math>\mu\in\R</math> — [[каэфіцыент зруху]]<br /><math>\sigma^2\in\R_{>0}</math> — {{нп5|Каэфіцыент маштабу|каэфіцыент маштабу|en|Scale parameter}}<br />
  | support    = <math>x\in\R</math>
  | pdf        = <math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}</math>
  | cdf        = <math>\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma}) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] </math>
  | quantile   = <math>\mu+\sigma\sqrt{2} \operatorname{erf}^{-1}(2p-1)</math>
  | mean       = <math>\mu</math>
  | median     = <math>\mu</math>
  | mode       = <math>\mu</math>
  | variance   = <math>\sigma^2</math>
  | mad      = <math>\sigma\sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(1/2) </math>
  | skewness   = <math>0</math>
  | kurtosis   = <math>0</math> <!-- DO NOT REPLACE THIS WITH THE OLD-STYLE KURTOSIS WHICH IS 3. -->
  | entropy    = <math>\frac{1}{2} \ln(2\pi \sigma^2) + \frac{1}{2}</math>
  | mgf        = <math>\exp(\mu t + \sigma^2t^2/2)</math>
  | char       = <math>\exp(i\mu t - \sigma^2 t^2/2)</math>
  | fisher     = <math>\mathcal{I}(\mu,\sigma) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 2/\sigma^2\end{pmatrix}</math> 
<math>\mathcal{I}(\mu,\sigma^2) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}</math>
  | KLDiv      = <math>{ 1 \over 2 } \left\{ \left( \frac{\sigma_0}{\sigma_1} \right)^2 + \frac{(\mu_1 - \mu_0)^2}{\sigma_1^2} - 1 + \ln {\sigma_1^2 \over \sigma_0^2} \right\}</math>
  | ES         = <math>\mu - \sigma \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-\left(q_p\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)\right)^2}{2}}}{1-p}</math><ref name="norton">{{cite journal |last1=Norton |first1=Matthew |last2=Khokhlov |first2=Valentyn |last3=Uryasev |first3=Stan |year=2019 |title=Calculating CVaR and bPOE for common probability distributions with application to portfolio optimization and density estimation |journal=Annals of Operations Research |volume=299 |issue=1–2 |pages=1281–1315 |publisher=Springer |doi=10.1007/s10479-019-03373-1 |arxiv=1811.11301 |s2cid=254231768 |url=http://uryasev.ams.stonybrook.edu/wp-content/uploads/2019/10/Norton2019_CVaR_bPOE.pdf |access-date=2023-02-27 |archive-date=31 сакавіка 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230331230821/http://uryasev.ams.stonybrook.edu/wp-content/uploads/2019/10/Norton2019_CVaR_bPOE.pdf |url-status=dead  |issn=0254-5330}}</ref>
}}
{{Тэорыя імавернасцей}}
'''Нарма́льнае размеркава́нне''' (або '''размеркаванне Га́уса''') — [[размеркаванне імавернасцей]], графік [[Шчыльнасць імавернасці|шчыльнасці]] якога нагадвае [[звон]] з пікам пасярэдзіне і сіметрычнымі бакамі. З дапамогай нармальнага размеркавання часта мадэлююць велічыні, сканцэнтраваныя вакол аднаго значэння, хаця гэта не адзінае размеркаванне падобнага тыпу.

Нармальнае размеркаванне выконвае важную функцыю ў [[статыстыка|статыстыцы]] і іншых [[навука]]х, бо часта паўстае ва ўсялякіх прыродных працэсах. Напрыклад, у [[фізіка|фізіцы]] з дапамогай нармальнага размеркавання мадэлюецца [[хібнасць мерання]]. У статыстыцы звычайна робіцца дапушчэнне, што памылкі {{нп5|Метад найменшых квадратаў|метаду найменшых квадратаў|en|Least squares}} нармальна размеркаваныя.

[[Цэнтральная лімітавая тэарэма]] сцвярджае, што пры выкананні некаторых умоў размеркаванне {{нп5|Выбаркавае сярэдняе|выбаркавага сярэдняга|en|Sample mean}} збягаецца да нармальнага размеркавання пры павелічэнні выбаркі. Таму [[фізічныя велічыні]], якія атрымліваюцца як сярэдняе ці сума шэрагу незалежных працэсаў, часта маюць размеркаванні, блізкія да нармальнага.

Часам размеркаванне Гауса называюць звонападобнай крывой ({{lang-en|bell curve, bellshaped curve}}) праз выгляд графіка яго [[шчыльнасць імавернасці|шчыльнасці]], хаця шмат іншых размеркаванняў маюць графік шчыльнасці ў выглядзе звана (напрыклад, размеркаванні [[Размеркаванне Кашы|Кашы]], [[размеркаванне Ст’юдэнта|Ст’юдэнта]], {{нп5|Размеркаванне лагістычнае|лагістычнае|ru|Логистическое распределение}}).

== Азначэнне ==
Кажучы строга, '''нармальнае размеркаванне''' — размеркаванне імавернасцей, чыя функцыя шчыльнасці імавернасцей супадае з [[Функцыя Гауса|функцыяй Гауса]]<ref name=elemienty>''Звяровіч Э. І.'', ''Радына А. Я.'' Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.</ref>{{rp|86}}:

: <math>
    f(x) = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },
  </math>

дзе параметр {{math|μ}} — [[матэматычнае спадзяванне]], [[Медыяна (статыстыка)|медыяна]] і мода размеркавання, а параметр {{math|σ}} — [[стандартнае адхіленне]] ({{math|σ²}} — [[Дысперсія выпадковай велічыні|дысперсія]]) размеркавання. Пры павелічэнні <math>\sigma</math>, графік шчыльнасці нармальнага размеркавання расцягваецца ў гарызантальным кірунку<ref name=elemienty/>{{rp|87}}.

Такім чынам, аднамернае нармальнае размеркаванне з’яўляецца двухпараметрычным сямействам размеркаванняў.

=== Стандартнае нармальнае размеркаванне ===
У выпадку, калі матэматычнае спадзяванне роўнае 0, а дысперсія — 1, нармальнае размеркаванне называецца '''стандартным нармальным размеркаваннем'''. Ягоная шчыльнасць апісваецца формулай
: <math>\varphi(z) = \frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}},</math>
прымае найбольшае значэнне <math>1/\sqrt{2\pi}</math> у пункце <math>z=0</math> і мае {{нп5|Пункт перагіну|пункты перагіну|en|Inflection point}} ў <math>z=+1</math> і <math>z=-1</math>.

Хаця такое азначэнне стандартнага нармальнага размеркавання найбольш распаўсюджана, некаторыя аўтары ўжываюць гэты тэрмін для апісання іншых асобных выпадкаў размеркавання Гауса. Напрыклад, [[Карл Фрыдрых Гаус|Гаус]] стандартным нармальным называў размеркаванне са шчыльнасцю
: <math>\varphi(z) = \frac{e^{-z^2}}{\sqrt\pi},</math>
дысперсія якога роўная 1/2. {{нп5|Стывен Стыглер|Стывен Стыглер|en|Stephen Stigler}}<ref>{{cite journal|last=Stigler|first=Stephen M.|year=1982|title=A Modest Proposal: A New Standard for the Normal|url=https://archive.org/details/sim_american-statistician_1982-05_36_2/page/137|journal=The American Statistician|volume=36|issue=2|pages=137–138|doi=10.2307/2684031|jstor=2684031}}</ref> увёў азначэнне
: <math> \varphi(z) = e^{-\pi z^2},</math>
што мае простую форму запісу і дысперсію <math>\sigma^2 = 1/(2\pi).</math>

[[Функцыя размеркавання]] стандартнага нармальнага размеркавання звычайна абазначаецца грэчаскай літарай <math>\Phi</math> ([[фі]]) і мае выгляд інтэграла
: <math>\Phi(x) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt.</math>

== Характарыстыкі ==

=== Матэматычнае спадзяванне ===
Каб даказаць, што матэматычнае спадзяванне нармальнага размеркавання роўнае <math>\mu</math>, скарыстаемся<ref name=elemienty/>{{rp|121}} {{нп5|Інтэграванне падстаноўкай|заменай|en|Integration by substitution}} <math>t = (x-\mu)/\sigma</math> і {{нп5|Інтэграл Гауса|інтэгралам Гауса|en|Gaussian integral}} <math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\lambda t^2} dt = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}:</math>
: <math>\mathbb{E}[x] = \int_{-\infty}^{\infty} x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx =  \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (\mu + t\sigma) e^\frac{-t^2}{2} dt = </math>
: <math>= \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^\frac{-t^2}{2} dt + \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} t e^\frac{-t^2}{2} dt =</math>
: <math>= \frac{\mu \sqrt{2\pi}}{\sqrt{2\pi}} + \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \left(-e^\frac{-t^2}{2}\right)\Bigg\vert_{-\infty}^{\infty} = \mu.</math>

=== Дысперсія ===
[[Дысперсія выпадковай велічыні|Дысперсію]] нармальнага размеркавання можна знайсці наступным чынам<ref>{{Cite web|url=https://proofwiki.org/wiki/Integration_by_Parts|title=Integration by Parts}}</ref>:
: <math>Var(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 </math>
: <math>= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx - \mu^2</math>
: <math>= \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (\sqrt{2} \sigma t + \mu)^2 e^{-t^2} dt - \mu^2 \quad</math> — падстаноўка <math>t = \frac{x - \mu}{\sqrt{2}\sigma}</math>
: <math>= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left( 2\sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} t^2 e^{-t^2} dt +  2\sqrt{2}\sigma\mu \int_{-\infty}^{\infty} t e^{-t^2} dt + \mu^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt \right) - \mu^2</math>
: <math>= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left(2\sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} t^2 e^{-t^2} dt + 2\sqrt{2}\sigma\mu \left[ -\frac{1}{2} e^{-t^2} \right]_{-\infty}^{\infty} + \mu^2 \sqrt{\pi} \right) - \mu^2</math>
: <math>= \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} t^2 e^{-t^2} dt</math>
: <math>= \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}t\right) \cdot (-2 t e^{-t^2}) dt</math>
: <math>= \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \left( \left[ -\frac{t}{2}e^{-t^2} \right]_{-\infty}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt \right)\quad</math> — {{нп5|Інтэграванне часткамі|інтэграванне часткамі|en|Integration by parts}}
: <math>= \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math>
: <math>= \sigma^2.</math>

{{зноскі}}

{{Размеркаванні імавернасцей}}
{{Статыстыка}}

[[Катэгорыя:Статыстыка]]
[[Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей]]