Прагляд зыходнага тэксту старонкі Паверхня

{{іншыя значэнні}}
[[Выява:Saddle pt.jpg|thumb|300px|right|Прыклад простай паверхні]]
'''Паверхня''' — традыцыйная назва для двухмернай [[мнагастайнасць|мнагастайнасці]] ў [[Прастора, матэматыка|прасторы]].

== Спосабы задання ==

Паверхні вызначаецца як мноства [[пункт]]аў, [[каардынаты]] якіх задавальняюць вызначанаму віду ўраўненняў:
: <math>F(x, y, z)=0 \qquad (1)</math>

Калі функцыя <math>F(x, y, z)</math> [[непарыўная функцыя|непарыўная]] ў некаторым пункце і мае ў ёй непарыўныя [[частковая вытворная|частковыя вытворныя]], з якіх хоць адна не абарачаецца ў нуль, то ў наваколлі гэтага пункта паверхня, зададзеная ўраўненнем (1), будзе ''правільнай паверхняй''.

Апроч азначанага вышэй ''няяўнага спосабу задання'' паверхня можа быць вызначана ''яўна'', калі адну з пераменных, напрыклад z, можна выразіць праз астатнія:
: <math>z=f(x,y)\qquad (1')</math>

Таксама існуе ''параметрычны'' спосаб задання. У гэтым выпадку паверхня вызначаецца сістэмай ураўненняў:
: <math>\left\{ \begin{array}{ccc} 
x &=& x(u,v) \\
y &=& y(u,v) \\
z &=& z(u,v)
\end{array}\right.\qquad (1'')</math>

== Паняцце простай паверхні ==
{{main|Простая паверхня}}
Інтуітыўна простую паверхню можна прадставіць як кавалак [[Плоскасць, геаметрыя|плоскасці]], падвергнуты [[непарыўнасць|непарыўным]] [[дэфармацыя]]м ([[Афінныя пераўтварэнні|расцяжэнням, сцісканням]] і [[выгінанне|выгінанням]]).

Стражэй, '''''простай паверхняй''''' называецца вобраз [[Гомеамарфізм|гамеаморфнага]] адлюстравання (гэта значыць узаемна адназначнага і ўзаемна непарыўнага адлюстравання) унутранасці адзінкавага квадрата. Гэтае азначэнне можна запісаць у [[Аналіз|аналітычным]] выглядзе.

Хай на плоскасці з прамавугольнай сістэмай каардынат u і v зададзены [[квадрат]], каардынаты ўнутраных пунктаў якога задавальняюць няроўнасцям 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гамеаморфная выява квадрата ў прасторы з [[прамавугольная сістэма каардынат|прамавугольнай сістэмай каардынат]] х, у, z задаецца пры дапамозе формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) ([[параметрычныя паверхні|параметрычнае заданне паверхні]]). Пры гэтым ад функцый x(u, v), y(u, v) і z(u, v) патрабуецца, каб яны былі [[непарыўная функцыя|непарыўнымі]] і каб для розных пунктаў (u, v) і (u', v') былі рознымі адпаведныя пункты (x, у, z) і (x', у', z').

Прыкладам ''простай паверхні'' з'яўляецца паўсфера. Уся ж [[сфера]] не з'яўляецца ''простай паверхняй''. Гэта выклікае неабходнасць далейшага абагульнення паняцця паверхні.

Падмноства прасторы, у кожнага пункта якога ёсць наваколле, якое з'яўляецца ''простай паверхняй'', называецца '''''правільнай паверхняй'''''.

== Абагульненне ==

Пра мнагамерныя аналагі тэорыі гл.:
* [[Гіперпаверхня]]
* [[Мнагастайнасць]]
* [[Падмнагастайнасць]]
* [[Тэнзарны аналіз]]
{{Бібліяінфармацыя}}
[[Катэгорыя:Дыферэнцыяльная геаметрыя паверхняў]]
[[Катэгорыя:Аналітычная геаметрыя]]
[[Катэгорыя:Тапалогія]]
[[Катэгорыя:Паверхні|*]]
[[Катэгорыя:Маламерная тапалогія]]