Прагляд зыходнага тэксту старонкі Падгрупа

{{Тэорыя груп}}

'''Падгрупа''' ― падмноства <math>H</math> [[Група (алгебра)|групы]] <math>G</math>, якое само з'яўляецца групай адносна аперацыі, якая вызначаецца <math>G</math>.

Падмноства <math>H</math> групы <math>G</math> з'яўляецца яе падгрупай тады і толькі тады, калі:

* <math>H</math> змяшчае адзінкавы элемент з <math>G</math>
* змяшчае здабытак любых двух элементаў з <math>H</math>,
* змяшчае разам з усякім сваім элементам <math>h</math> адваротны да яго элемент <math>h^{-1}</math>.

У выпадку канечных і, наогул, [[перыядычная група|перыядычных груп]] праверка другой ўмовы з'яўляецца залішняй.

== Прыклады ==

* Падмноства групы <math>G</math>, якое складаецца з аднаго элемента 1, будзе, відавочна, падгрупай, і гэтая падгрупа называецца адзінкавай падгрупай групы <math>G</math>.
* Сама <math>G</math> таксама з'яўляецца сваёй падгрупай.

== Звязаныя азначэнні ==

* Усякая падгрупа, якая адрозніваецца ад усёй групы, называецца ''сапраўднай падгрупай'' гэтай групы. Сапраўдная падгрупа некаторай бясконцай групы можа быць ізаморфнай самой групе.
* Сама група <math>G</math> і адзінкавая падгрупа называюцца ''няўласнымі падгрупамі'' групы <math>G</math>, усе астатнія ― ''уласнымі''.
* Перасячэнне ўсіх падгруп групы <math>G</math>, якія змяшчаюць усе элементы некаторага непустога мноства <math>M</math>, называецца ''падгрупай, спароджанай мноствам <math>M</math>'', і абазначаецца <math><M></math>.
* Калі <math>M</math> складаецца з аднаго элемента <math>a</math>, то <math><a></math> называецца ''цыклічнай падгрупай элемента <math>a</math>''.
** Група, якая супадае з адной з сваіх цыклічных падгруп, называецца [[цыклічная група|цыклічнай групай]].
* Калі група <math>G_1</math> ізаморфная некаторай падгрупе <math>H</math> групы <math>G</math>, то кажуць, што група <math>G_1</math> можа быць ўкладзена ў групу <math>G</math>.

== Уласцівасці ==

* Непустое мноства <math>H\subset G</math> з'яўляецца падгрупай групы <math>G</math> тады і толькі тады, калі для любых <math> a, b \in H</math> выконваецца <math>ab^{-1} \in H.</math>
* Тэарэтыка-множнае перасячэнне любых двух (і любога мноства) падгруп групы <math>G_1</math> з'яўляецца падгрупай групы <math>G</math>.
* Тэарэтыка-множнае аб'яднанне падгруп, наогул кажучы, не абавязана з'яўляцца падгрупай. Аб'яднаннем падгруп <math>H</math> і <math>K</math> называецца падгрупа, спароджаная аб'яднаннем мностваў <math>H\cup K</math>.
* [[Гомамарфізм груп|Гамаморфны]] вобраз падгруп ― падгрупа.
* Калі дадзеныя дзве групы і кожная з іх ізаморфная некаторай сапраўднай падгрупе іншай, то адсюль яшчэ не вынікае [[ізамарфізм]] саміх гэтых груп.

== Гл. таксама ==

* [[Нармальная падгрупа]]
* [[Фактаргрупа]]

== Літаратура ==
* {{кніга
 |аўтар         = Курош А. Г.
 |загаловак      = Теория групп
 |спасылка        = http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kurosh1967ru.djvu
 |выданне       = 3-е изд
 |месца         = {{М.}}
 |выдавецтва  = Наука
 |год           = 1967
 |старонак       = 648
 |isbn          = 
}}
* {{кніга
 |аўтар = Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. 
 |загаловак = Дискретный анализ. Основы высшей алгебры
 |спасылка = http://vyalyy.narod.ru/da2-090419.pdf
 |выданне = 2-е изд
 |месца = {{М.}}
 |выдавецтва = МЗ Пресс
 |год = 2007
 |старонкі = 24-25
 |старонак = 224
}}

[[Катэгорыя:Тэорыя груп]]