Прагляд зыходнага тэксту старонкі Падмноства

'''Падмно́ства''' — [[мноства]], якое з’яўляецца часткай іншага, большага мноства. Больш фармальна, мноства B з’яўляецца падмноствам мноства A, калі любы [[Элемент (тэорыя мностваў)|элемент]] B з’яўляецца адначасова элементам A:

<math>~ B \subseteq A \quad \Leftrightarrow \quad \forall b \ (b \in B \to b \in A)</math>

==Уласцівасці падмностваў==

Падмноства мае наступныя ўласцівасці, якія вынікаюць непасрэдна з яго вызначэння:

* любое мноства з’яўляецца падмноствам сябе самога: <math>\forall A, A \subseteq A</math>
* [[пустое мноства]] з’яўляецца падмноствам любога мноства: <math>\forall A, \varnothing \subseteq A</math>
* любое мноства з’яўляецца падмноствам [[універсальнае мноства|універсальнага мноства]]: <math>\forall A, A \subseteq U</math>
* [[аб'яднанне мностваў|аб’яднанне]] любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае мноства: <math>B \subseteq A \ \Leftrightarrow \ A \cup B = A</math>
* [[перасячэнне мностваў|перасячэнне]] любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае падмноства: <math>B \subseteq A \ \Leftrightarrow \ A \cap B = B</math>.

==Уласнае падмноства==

Мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам мноства A, калі:

* любы [[Элемент (тэорыя мностваў)|элемент]] B з’яўляецца адначасова элементам A
* у A існуе прынамсі адзін элемент, які не ўваходзіць у B.

Калі мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам A, гэта абазначаецца так: <math>B \subset A</math>

<math>~ B \subset A \quad \Leftrightarrow \quad \forall b \ (b \in B \to b \in A) \ \land \ \exists a \ (a \in A \ \land \ a \notin B)</math>

Відавочна, што

* калі B з’яўляецца ўласным падмноствам A, то яно з’яўляецца адначасова і яго звычайным падмноствам: <math>B \subset A \Rightarrow B \subseteq A</math>
* ніводнае мноства не з’яўляецца ўласным падмноствам сябе самога (гэта галоўная асаблівасць уласнага падмноства, якая адрознівае яго ад звычайнага падмноства)

Усе астатнія ўласцівасці ўласных падмностваў аналагічныя да адпаведных уласцівасцяў падмностваў.

[[Катэгорыя:Тэорыя мностваў]]

[[ro:Mulțime#Submulțimi]]