Прагляд зыходнага тэксту старонкі Пераўтварэнне Фур’е

'''Пераўтварэнне Фур'е''' — аперацыя, якая ставіць у апаведнасць пэўнай функцыі рэчаіснай зменнай другую функцыю рэчаіснай зменнай, а таксама вынік гэтай аперацыі. Функцыя, што атрымліваецца ў выніку, называецца '''фур'е-вобразам''' ці '''частотным спектрам'''. Па сутнасці, фур'е-вобраз апісвае набор частот сінусаідальных сігналаў (гармонік) разам з іх амплітудамі, у выніку складання якіх атрымліваецца першапачатковая функцыя.

Пераўтварэнне было названа ў гонар французскага матэматыка [[Жан Батыст Жазеф Фур’е|Жана Фур'е]].

Фур'е-пераўтварэнне функцыі <math>f</math> рэчаіснай зменнай уяўляе сабой інтэгральная пераўтварэнне, вызначанае формулай:
: <math>\hat{f}(\omega) = F[f](\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx.</math>

Часам сустракаюцца іншыя азначэнні, якія адрозніваюцца ад прыведзенага выбарам каэффіцыента перад інтэгралам, а таксама знакам "+" ці "-" у паказчыку экспаненты. Пры гэтым амаль усе ўласцівасці застаюцца ранейшымі, хаця выгляд некаторых формул (у першую чаргу формул для адваротнага фур'е-пераўтварэння) можа змяніцца.

Існуюць таксама разнастайныя абагульненні фур'е-пераўтварэння.

== Адваротнае пераўтварэнне ==
Адваротнае Фур'е-пераўтварэнне функцыі <math>\hat{f}</math> вызначаюць як:
: <math>f(x) = F^{-1}[\hat{f}](x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{ix\omega}\,dx.</math>

== Уласцівасці ==
* Лінейнасць:
*:<math>F[f+g] = F[f] + F[g]</math>
* Зрух аргумента: калі {{math|''h''(''x'') {{=}} ''f''(''x'' - ''x''<sub>0</sub>)}}, то
*:<math>F[h] = e^{-i\omega x_0} F[f]</math>

== Гл. таксама ==
* [[Пераўтварэнне Гільберта]]
* [[Рад Фур’е]]

== Спасылкі ==

* [http://zero2hero.org/article/math/48-preobrazovaniye-furie-kulinariya-v-pomoshch «Преобразование Фурье»] {{ref-ru}} — пераклад артыкула [http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/ An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained] {{ref-en}}

{{Інтэгральныя пераўтварэнні}}

[[Катэгорыя:Гарманічныя функцыі]]
[[Катэгорыя:Апрацоўка сігналаў]]
[[Катэгорыя:Інтэгральныя пераўтварэнні]]