Прагляд зыходнага тэксту старонкі Праблема Варынга

'''Прабле́ма Ва́рынга''' — сцвярджэнне ў [[Тэорыя лікаў|тэорыі лікаў]], згодна з якім пры кожным цэлым <math>n>1</math> існуе такі лік <math>k=k(n)</math>, што ўсякі натуральны лік <math>N</math> можна прадставіць у выглядзе:
: <math>x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N\quad</math>
з цэлымі неадмоўнымі <math>x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k</math>.

Як гіпотэза прапанована ў 1770 годзе {{нп3|Эдвард Уорынг|Эдвардам Уорынгам|ru|Уоринг, Эдуард}} (Варынгам)<ref>''Waring E.'' Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.</ref>, даказана Гільбертам у 1909 годзе. Ужо пасля доказу вакол пытанняў, як звязаных з доказам асноўнай праблемы, так і з рознымі варыянтамі і абагульненнямі, праведзена значная колькасць даследаванняў, у рамках якіх атрыманы цікавыя вынікі і развіты важныя метады. У {{нп3|Матэматычная прадметная класіфікацыя|Матэматычнай прадметнай класіфікацыі|en|Mathematics Subject Classification}} (MSC) праблеме Варынга і звязаным з ёю даследаванням прысвечаны асобны раздзел трэцяга ўзроўню: 11P05, «Праблема Варынга і яе варыянты»<ref>[http://msc2010.org/mscwiki/index.php?title=11Pxx 11P05 Waring's problem and variants] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20140606221403/http://msc2010.org/mscwiki/index.php?title=11Pxx |date=6 чэрвеня 2014 }} // Mathematical Subject Classification, 2010</ref>.

== Асноўныя вынікі ==
Да ХХ стагоддзя праблему ўдавалася рашыць толькі ў асобных выпадках. Напрыклад, {{нп3|Тэарэма Лагранжа аб суме чатырох квадратаў||ru|Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов}} устанаўлівае {{math|''k'' {{=}} 4}} для праблемы ў выпадку {{math|''n'' {{=}} 2}}.

Першы доказ справядлівасці гіпотэзы Варынга быў даны ў 1909 годзе [[Давід Гільберт|Гільбертам]]<ref>{{cite journal |first=D. |last=Hilbert |authorlink=Давід Гільберт |title=Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) |journal=Mathematische Annalen |volume=67 |pages=281–300 |year=1909 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0067&DMDID=DMDLOG_0029&L=1 |doi=10.1007/bf01450405 |accessdate=6 чэрвеня 2014 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131227205644/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0067&DMDID=DMDLOG_0029&L=1 |archivedate=27 снежня 2013 |url-status=dead  |issn = 0025-5831}}</ref>. Доказ быў вельмі аб'ёмным і будаваўся на складаных аналітычных канструкцыях, уключаючы пяцікратныя інтэгралы.

У 1920 годзе новы доказ гэтай жа тэарэмы далі {{нп3|Годфры Харальд Хардзі|Хардзі|en|Харди, Годфри Харолд}} і {{нп3|Джон Ідэнсар Літлвуд|Літлвуд|ru|Литлвуд, Джон Идензор}}, распрацаваўшы дзеля гэтага адмысловы кругавы метад<ref>''Hardy G. H., Littlwood J. E.'' // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.</ref>. Яны ўвялі дзве функцыі <math>g(n)</math> і <math>G(n)</math>:
* <math>g(n)</math> — найменшае <math>k</math> такое, што праблема Варынга вырашальная пры <math>N\geqslant 1</math>;
* <math>G(n)</math> — найменшае <math>k</math> такое, што праблема Варынга мае рашэнне пры <math>N\geqslant N_0(n)</math>.
Ясна, што <math>G(n)\leqslant g(n)</math>. Хардзі і Літлвуд далі для <math>G(n)</math> ацэнку знізу <math>n<G(n)</math>, якая па парадку і па канстанце ў агульным выпадку не палепшана (па стане на 2010-я гг.), і ацэнку зверху, якая пасля была карэнным чынам палепшана. Гэта функцыя з тае пары называецца функцыяй Хардзі. Яны таксама атрымалі асімптатычную формулу для ліку рашэнняў праблемы Варынга.

Такім чынам, у выніку даследавання праблемы Варынга былі распрацаваны магутныя аналітычныя метады. Аднак [[Юрый Уладзіміравіч Ліннік (матэматык)|Ю. У. Ліннік]] у 1942 годзе знайшоў доказ асноўнай тэарэмы на аснове элементарных метадаў<ref name=autogenerated1>''Линник Ю. В.'' Элементарное решение проблемы Waring'a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.</ref>.

Функцыя <math>g(n)</math> сёння вядома.
Для больш фундаментальнай функцыі <math>G(n)</math> атрыман шэраг ацэнак зверху і знізу, але яе канкрэтныя значэнні невядомыя нават для малых <math>n</math>.

=== Функцыя ''g''(''n'') ===
{{нп3|Іаган Альбрэхт Эйлер|Іаган Эйлер|ru|Эйлер, Иоганн Альбрехт}}, сын [[Леанард Эйлер|Леанарда Эйлера]], выказаў здагадку каля 1772 года<ref>''[[Леанард Эйлер|Л. Эйлер]]'' Opera postuma (1), 203—204 (1862)</ref>, што
: <math>g(n)=2^n+[(3/2)^n]-2,</math>
дзе <math>[x]</math> абазначае {{нп3|цэлая частка|цэлую частку|ru|Целая часть}} рэчаіснага ліку <math>x</math>.

У 1940-я гады {{нп3|Леанард Юджын Дзіксан|Дзіксан|en|Leonard Eugene Dickson}}, {{нп3|Субая Сівасанкаранараяна Пілаі|Пілаі|en|Subbayya Sivasankaranarayana Pillai}}, {{нп3|Рагунат Крышна Рубугундай|Рубугундай|en|R. K. Rubugunday}}, {{нп3|Айван Мортан Нівэн|Нівэн|en|Ivan M. Niven}}<ref>{{cite journal|author = Niven, Ivan M.|title = An unsolved case of the Waring problem|url = https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1944-01_66_1/page/137|journal = American Journal of Mathematics|volume = 66|pages = 137–143|year = 1944|issue = 1|doi = 10.2307/2371901|publisher = The Johns Hopkins University Press|jstor = 2371901}}</ref> з улікам выніку {{нп3|Курт Малер|Малера|en|Kurt Mahler}}<ref>{{cite journal | last1 = Mahler | first1 = K. | year =1957 | title = On the fractional parts of the powers of a rational number II | url = | journal =  Mathematika | volume = 4 | issue = | pages = 122—124 }}</ref> даказалі, што гэта верна за выключэннем канечнага ліку значэнняў <math>n</math>, большых за {{num|471600000}}. Ёсць гіпотэза, што гэта формула верная для ўсіх [[Натуральны лік|натуральных лікаў]].

Прывядзём некалькі першых значэнняў <math>g(n)</math>:
: 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, {{num|1079}}, {{num|2132}}, {{num|4223}}, {{num|8384}}, {{num|16673}}, {{num|33203}}, {{num|66190}}, {{num|132055}}, … <ref>{{OEIS|A002804}}</ref>

Цікава, што, напрыклад, для {{math|''n'' {{=}} 3}} толькі лікі 23 і 239 нельга прадставіць сумаю васьмі кубоў.

=== Функцыя ''G''(''n'') ===
У 1924 годзе [[Іван Мацвеевіч Вінаградаў|І. М. Вінаградаў]] прымяніў да праблемы Варынга свой метад трыганаметрычных сум<ref>''Виноградов И. М.'' К вопросу о верхней границе для ''G''(''n'') // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.</ref>. Гэта не толькі моцна спрасціла доказ, але і адкрыла шлях да прынцыповага паляпшэння ацэнкі для <math>G(n)</math>. Пасля цэлага рада ўдакладненняў ён у 1959 годзе даказаў, што
: <math>G(n)<2n\log n+4n\log\log n+2n\log\log\log n+13n.</math>
Прымяняючы сканструяваную ім {{math|''p''}}-адычную форму кругавога метаду Хардзі — Літлвуда — Рамануджана — Вінаградава да ацэнак трыганаметрычных сум, у якіх сума бярэцца па ліках з малымі простымі дзельнікамі, {{нп3|Анатоль Аляксеевіч Карацуба|А. А. Карацуба|ru|Карацуба, Анатолий Алексеевич}} палепшыў<ref>{{cite journal| last=Карацуба| first=А. А.| title= О функции ''G''(''n'') в проблеме Варинга | pages=935—947| journal= Изв. РАН. Сер. матем.| issue=49:5| year=1985|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=1372&option_lang=rus}}</ref> гэту ацэнку. Пры <math>n\geqslant 400</math>:
: <math>G(n)<2n\log n+2n\log\log n+12n.</math>

Пазней ацэнку палепшыў {{нп3|Трэвар Вулі|Т. Вулі|ru|Вули, Тревор}}. Спачатку ў працы 1992 года<ref>''Wooley T. D.'' Large improvements in Waring's problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.</ref>, а потым — у 1995 годзе<ref>''Wooley T. D.'' New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.</ref>:
: <math>G(n)\leqslant n\log n+n\log\log n+2+O(\log\log n/\log n).</math>

{{нп3|Роберт Чарлз Воан|Воан|en|R. C. Vaughan}} і [[Трэвар Вулі|Вулі]] напісалі аб праблеме Варынга аб'ёмны аглядны артыкул<ref name=Vaughan-Wooley>{{cite book |author=Vaughan R. C., Wooley T. D. |url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.145.8949&rep=rep1&type=pdf Waring's Problem: A Survey |title=Number Theory for the Millennium |volume=III |publisher=A. K. Peters |pages=301–340 |year=2002 |isbn=978-1-56881-152-9}}</ref>, у якім вынік Карацубы адносяць да публікацыі Воана 1989 года<ref>''Vaughan R. C.'' A new iterative method in Waring's problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.</ref>.

{| class="wikitable" style="float:right; text-align: center"
! Межы
|-
| 4 ≤ ''G''(2) ≤ 4
|-
| 4 ≤ ''G''(3) ≤ 7
|-
| 16 ≤ ''G''(4) ≤ 16
|-
| 6 ≤ ''G''(5) ≤ 17
|-
| 9 ≤ ''G''(6) ≤ 24
|-
| 8 ≤ ''G''(7) ≤ 33
|-
| 32 ≤ ''G''(8) ≤ 42
|-
| 13 ≤ ''G''(9) ≤ 50
|-
| 12 ≤ ''G''(10) ≤ 59
|-
| 12 ≤ ''G''(11) ≤ 67
|-
| 16 ≤ ''G''(12) ≤ 76
|-
| 14 ≤ ''G''(13) ≤ 84
|-
| 15 ≤ ''G''(14) ≤ 92
|-
| 16 ≤ ''G''(15) ≤ 100
|-
| 64 ≤ ''G''(16) ≤ 109
|-
| 18 ≤ ''G''(17) ≤ 117
|-
| 27 ≤ ''G''(18) ≤ 125
|-
| 20 ≤ ''G''(19) ≤ 134
|-
| 25 ≤ ''G''(20) ≤ 142
|}
Фактычна велічыня <math>G(n)</math> вядома толькі для 2 значэнняў аргумента, а іменна <math>G(2)=4</math> і <math>G(4)=16</math>.
Апошні вынік даказаў {{нп3|Харальд Дэвенпорт|Х. Дэвенпорт|en|Harold Davenport}} <ref>''Davenport H.'' On Waring's problem for fourth powers // Annals of Math., 1939, № 40, p. 731—747.</ref>.

Верхнія межы ў табліцы справа для <math>n=5,\;\ldots,\;20</math> прыведзены ў працы {{нп3|Роберт Чарлз Воан|Р. Ч. Воана|en|R. C. Vaughan}} і {{нп3|Трэвар Вулі|Т. Вулі|ru|Вули, Тревор}}<ref name=Vaughan-Wooley />.

Верхнюю ацэнку <math>G(3)\leqslant 7</math> даказаў<ref name=autogenerated1 /> [[Юрый Уладзіміравіч Ліннік (матэматык)|Ю. У. Ліннік]]. Камп'ютарныя эксперыменты дазваляюць меркаваць, што гэту ацэнку можна палепшыць да 4<ref>Nathanson (1996), p. 71</ref>. Найбольшы вядомы лік, які нельга прадставіць сумаю 4 кубоў, гэта {{num|7373170279850}}<ref name="x7373170279850">{{cite journal|last1=Deshouillers|first1=Jean-Marc|last2=Hennecart|first2= François |last3=Landreau|first3= Bernard|last4=I. Gusti Putu Purnaba|first4=Appendix by |title=7373170279850|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_2000-01_69_229/page/n422|journal=Mathematics of Computation|volume=69|issue=229|year=2000|pages=421–439|doi=10.1090/S0025-5718-99-01116-3}}</ref>.
Таксама камп'ютарныя эксперыменты паказваюць, што магчыма <math>G(5)<G(4)</math>.
 
Акрамя дакладных значэнняў <math>G(n)</math> адкрытым застаецца пытанне і пра лік рашэнняў праблемы Варынга пры заданых параметрах і абмежаваннях.

== Абагульненні ==

=== Праблема Варынга — Гольдбаха ===
Праблема Варынга — Гольдбаха ставіць пытанне<ref>{{cite journal|last=Buttcane|first=Jack |date=January 2010|title=A note on the Waring–Goldbach problem|journal=Journal of Number Theory|publisher=Elsevier|volume=130|issue=1|pages=116–127|doi=10.1016/j.jnt.2009.07.006}}</ref>: ці можна прадставіць любы [[цэлы лік]] сумаю {{math|''n''}}-ых ступеней простых лікаў, дзе колькасць складнікаў абмежавана некаторай сталай велічынёю (па аналогіі з праблемаю Варынга і {{нп3|Праблема Гольдбаха|праблемаю Гольдбаха|en|Goldbach's conjecture}}).

{{нп3|Хуа Ло-кен||en|Hua Luogeng}}, з дапамогаю палепшаных метадаў Хардзі — Літлвуда і Вінаградава, атрымаў<ref>''Hua Lo Keng''. Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, '''13''', American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.</ref> для ліку простых складнікаў ацэнку зверху {{math|O(''n''<sup>2</sup> log ''n'')}}.

=== Дакладнасць прадстаўлення цэлага ліку сумаю ступеней ===
Абагульненнем праблемы Варынга можна лічыць пытанне аб дакладнасці прадстаўлення цэлага ліку сумаю ступеней цэлых, не развязанае нават для другой ступені.

Усе натуральныя лікі, за выключэннем лікаў віду {{math|4<sup>''m''</sup>(8''n''+7)}}, дзе {{math|''m'', ''n'' {{=}} 0, 1, 2, ...}}, можна прадставіць у выглядзе <math>x^2+y^2+z^2</math>. Натуральна ўзнікае пытанне: як блізка да заданага ліку <math>N</math> можна падысці сумаю двух квадратаў цэлых лікаў? Паколькі <math>(n+1)^2-n^2=2n+1</math> і правая частка гэтай роўнасці мае парадак кораня квадратнага з <math>n^2</math>, то адным квадратам можна падысці да <math>N</math> на адлегласць парадку <math>N^{1/2}</math>. Такім чынам, сумаю двух квадратаў можна падысці да <math>N</math> на адлегласць парадку <math>N^{1/4}</math>. А ці можна падысці бліжэй? З часоў Эйлера стаіць гэта задача «без руху», хоць ёсць гіпотэза, што
: <math>\min_{x,\;y\in Z}|N-x^2-y^2|\leqslant N^\varepsilon,</math>
дзе <math>\varepsilon>0,\;\varepsilon</math> — любое, <math>N\geqslant N_1(\varepsilon)</math>.
Замяніць <math>1/4</math> у папярэднім разважанні на <math>1/4-c</math> з адвольна малым фіксаваным <math>c>0</math> не ўдаецца, і гэта, на першы погляд, простая задача «стаіць на месцы» з сярэдзіны XVIII стагоддзя<ref>[http://dx.doi.org/10.4213/book231 Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11]</ref>.

=== Мнагамерны аналаг праблемы Варынга ===
У сваіх далейшых даследаваннях па праблеме Варынга А. А. Карацуба атрымаў<ref>{{cite journal| author=Архипов Г. И., Карацуба А. А.|title= Многомерный аналог проблемы Варинга | pages=521—523| journal= Докл. АН СССР| issue=295:3| year=1987}}</ref><ref>{{cite journal| author=Karatsuba A. A.|title= Waring's problem in several dimension| pages=5–6| journal= Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht| issue=42| year=1988}}</ref>
наступнае двухмернае абагульненне праблемы:

Разгледзім сістэму ўраўненняў
: <math>x_1^{n-i}y_1^i+\ldots+x_k^{n-i}y_k^i=N_i,\quad i=0,\;1,\;\ldots,\;n,</math>
дзе <math>N_i</math> — зададзеныя натуральныя лікі з аднолькавым парадкам росту, <math>N_0\to+\infty</math>, а <math>x_{\varkappa},\;y_{\varkappa}</math> — невядомыя натуральныя лікі. Гэта сістэма вырашальная, калі <math>k>cn^2\log n</math>,
а калі <math>k<c_1n^2</math>, то ёсць такія <math>N_i</math>, што сістэма не мае рашэнняў.

== Гл. таксама ==
* {{нп3|Кругавы метад Хардзі — Літлвуда||en|Hardy–Littlewood circle method}}

== Зноскі ==
{{reflist|colwidth=30em}}

== Літаратура ==
* {{крыніцы/МатЭС|Ва́ринга пробле́ма|107}}
* {{cite book | first=H. | last=Davenport | title=Analytic Methods for Diophantine Equations and Diophantine Inequalities | url=https://archive.org/details/analyticmethodsf0000dave | publisher=Cambridge University Press | year=2005| isbn=9780521605830 }}
* {{cite book | first=Melvyn B. | last=Nathanson | title=Additive Number Theory: The Classical Bases | volume=164 | series=Graduate Texts in Mathematics | publisher=Springer-Verlag | year=1996| isbn=0-387-94656-X | zbl=0859.11002 }}
{{Вонкавыя спасылкі}}
[[Катэгорыя:Аналітычная тэорыя лікаў]]