Прагляд зыходнага тэксту старонкі Праблемы Гільберта

'''Праблемы Гільберта''' — спіс з 23 кардынальных праблем матэматыкі, прадстаўлены [[Давід Гільберт|Давідам Гільбертам]] на [[Міжнародны кангрэс матэматыкаў|II Міжнародным Кангрэсе матэматыкаў]] у [[Парыж]]ы ў [[1900]] годзе. Тады гэтыя праблемы (якія ахопліваюць асновы матэматыкі, [[алгебра|алгебру]], [[тэорыя лікаў|тэорыю лікаў]], [[геаметрыя|геаметрыю]], [[тапалогія|тапалогію]], [[алгебраічная геаметрыя|алгебраічную геаметрыю]], [[групы Лі]], [[рэчаісны аналіз|рэчаісны]] і [[камплексны аналіз]], [[дыферэнцыяльныя ўраўненні]], [[матэматычная фізіка|матэматычную фізіку]] і [[тэорыя імавернасцей|тэорыю імавернасцей]], а таксама [[варыяцыйнае злічэнне]]) не былі рэшаны. На сёння вырашана 16 праблем з 23. Яшчэ 2 не з'яўляюцца карэктнымі матэматычнымі праблемамі (адна сфармулявана занадта расплыўчата, каб зразумець, вырашана яна ці не; другая, далёкая ад рашэння, — фізічная, а не матэматычная). З астатніх 5 праблем дзве не вырашаныя ніяк, а тры вырашаныя толькі для некаторых выпадкаў.

== Спіс праблем ==
{| class="standard"
! width=3% | №
! width=40% | Кароткая фармулёўка
! width=20% | Статус
! width=17% | Вынік
! width=5% | Год рашэння
|-
|align="right"|[[Першая праблема Гільберта|1-я]]
|Праблема Кантара аб магутнасці кантынуума ([[Кантынуум-гіпотэза]])
|{{так|'''рэшана'''<ref>{{anchor|Зноска: 1-я праблема}}Вынікі Гёделя і Коэна (Cohen) паказваюць, што ні кантынуум-гіпотэза, ні яе адмаўленне не супярэчыць [[аксіяматычная тэорыя мностваў|сістэме аксіём Цэрмела — Фрэнкеля]] (стандартнай сістэме аксіём тэорыі мностваў). Такім чынам, кантынуум-гіпотэзу ў гэтай сістэме аксіём немагчыма ні даказаць, ні абвергнуць (пры ўмове, што гэтая сістэма аксіём несупярэчлівая).</ref>}}
|'''Невырашальная ў [[ZFC]]'''
|1963
|-
|align="right"|[[Другая праблема Гільберта|2-я]]
|Несупярэчлівасць аксіём [[арыфметыка|арыфметыкі]].
|{{часткова|'''няма кансэнсуса'''<ref>[[Курт Гёдэль]] [[Тэарэмы Гёдэля аб непаўнаце|даказаў]], што несупярэчлівасць аксіём арыфметыкі нельга даказаць, зыходзячы з саміх аксіём арыфметыкі. У [[1936]] годзе [[Герхард Генцэн]] даказаў несупярэчлівасць арыфметыкі, выкарыстоўваючы прымітыўна рэкурсіўную арыфметыку з дадатковай аксіёмай для [[трансфінітная індукцыя|трансфінітнай індукцыі]] да [[ардынал]]а ε<sub>0</sub>.</ref>}}
|'''Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі'''
|
|-
|align="right"|[[Трэцяя праблема Гільберта|3-я]]
|Роўнасастаўленасць роўнавялікіх [[мнагаграннік]]аў
|{{так|'''рэшана'''}}
|'''Абвергнута'''
|1900
|-
|align="right"|[[Чацвёртая праблема Гільберта|4-я]]
|Пералічыць [[метрычны тэнзар|метрыкі]], у якіх прамыя з'яўляюцца [[геадэзічная лінія|геадэзічнымі лініямі]]
|{{невядома|'''вельмі расплыўчатая'''<ref>Згодна з Ровам (Rowe) і Грэем (Gray) (гл. далей), большасць праблем была рэшана. Некаторыя з іх не былі дастаткова дакладна сфармуляваны, аднак дасягнутыя вынікі дазваляюць разглядаць іх як «рэшаныя». На думку Рова і Грэя, чацвёртая праблема вельмі невыразна пастаўлена, каб судзіць, рэшана яна ці не.</ref>}}
|'''Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі'''
|-
|align="right"|[[Пятая праблема Гільберта|5-я]]
|Ці ўсе непарыўныя [[Група (алгебра)|групы]] з'яўляюцца [[група Лі|групамі Лі]]?
|{{так|'''рэшана'''}}
|'''Так'''
|1953
|-
|align="right"|[[Шостая праблема Гільберта|6-я]]
|Матэматычная апрацоўка аксіём фізікі
|{{часткова|'''часткова рэшана (у залежнасці ад інтэрпрэтацыі зыходнай пастаноўкі праблемы)'''<ref>L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), [[Archive for History of Exact Sciences]] 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.</ref>}}
|
|-
|align="right"|[[Сёмая праблема Гільберта|7-я]]
|Ці з'яўляецца лік <math>2^{\sqrt{2}}</math> [[Трансцэндэнтны лік|трансцэндэнтным]] (ці хаця б [[Ірацыянальны лік|ірацыянальным]])?<ref>Вырашана [[Карл Людвіг Зігель|Зігелем]] і [[Аляксандр Осіпавіч Гельфанд|Гельфандам]] (і незалежна [[Тэадор Шнайдэр, матэматык|Шнайдэрам]]) у больш агульным выглядзе: калі ''a'' ≠ 0, 1 — [[алгебраічны лік]], і ''b'' — алгебраічны іррацыянальны, то ''a<sup>b</sup>'' — [[трансцэндэнтны лік]]</ref></td>
|{{так|'''рэшана'''}}
|'''Так'''
|1935
|-
|align="right"|[[Восьмая праблема Гільберта|8-я]]
|Праблема простых лікаў ([[гіпотэза Рымана]] і [[праблема Гольдбаха]])
|{{часткова|'''часткова рэшана'''<ref>8-я праблема ўключае дзве вядомыя праблемы, першая з якіх не рэшана, а другая рэшана часткова. Першая з іх, [[гіпотэза Рымана]], з'яўляецца адной з сямі [[Задачы тысячагоддзя|Праблем тысячагоддзя]].</ref>}}
|'''Даказана тэрнарная гіпотэза Гольдбаха'''<ref>[https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref><ref>[http://arxiv.org/abs/1305.2897 Major arcs for Goldbach's theorem], H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897</ref><ref>[http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/05/15/goldbach-variations/ Goldbach Variations] // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013</ref><ref>[http://www.sciencemag.org/content/340/6135/913.summary Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory] // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 [[doi:10.1126/science.340.6135.913]]</ref>.
|-
|align="right"|[[Дзявятая праблема Гільберта|9-я]]
|Доказ найбольш агульнага [[Закон узаемнасці Гауса|закона ўзаемнасці]] ў любым лікавым полі
|{{часткова|'''часткова рэшана'''<ref>Праблема № 9 была вырашана для абелевага выпадку; неабелеў выпадак застаецца нявырашаным.</ref>}}
|'''Даказана для абелевага выпадку'''
|-
|align="right"|[[Дзясятая праблема Гільберта|10-я]]
|Ці ёсць універсальны алгарытм рашэння [[дыяфантава ўраўненне|дыяфантавых ураўненняў]]?
|{{так|'''рэшана'''<ref>[[Юрый Уладзіміравіч Маціясевіч|Юрый Маціясевіч]] у 1970 годзе даказаў алгарытмічную невырашальнасць пытання аб тым, ці мае адвольнае дыяфантава ўраўненне хоць адно рашэнне. Першапачаткова праблема была сфармулявана Гільбертам не ў якасці дылемы, а ў якасці пошуку алгарытму: у той час, мабыць, нават не задумваліся пра тое, што можа існаваць адмоўнае рашэнне падобных праблем.</ref>}}
|'''Няма'''
|1970
|-
|align="right"|[[Адзінаццатая праблема Гільберта|11-я]]
|Даследаванне [[квадратычная форма|квадратычных форм]] з адвольнымі алгебраічнымі лікавымі каэфіцыентамі
|{{часткова|'''часткова рэшана'''}}
|
|-
|align="right"|[[Дванаццатая праблема Гільберта|12-я]]
|Распаўсюджанне [[Тэарэма Кронекера - Вебера|тэарэмы Кронекера аб абелевых палях]] на адвольную алгебраічную вобласць рацыянальнасці
|{{не|'''не рэшана'''}}
|
|-
|align="right"|[[Трынаццатая праблема Гільберта|13-я]]
|Ці можна рашыць агульнае ўраўненне сёмай ступені з дапамогай функцый, якія залежаць толькі ад дзвюх зменных?
|{{так|'''рэшана'''}}
|'''Так'''
|1957
|-
|align="right"|[[Чатырнаццатая праблема Гільберта|14-я]]
|Доказ канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў лінейнай алгебраічнай групы<ref>Сцвярджэнне аб канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў даказана для адвольных дзеянняў [[рэдуктыўная група|рэдуктыўных груп]] на афінных алгебраічных мнагастайнасцях. Нагата ў 1958 годзе пабудаваў прыклад лінейнага дзеяння уніпатэнтнай групы на 32-мернай вектарнай прасторы, для якой алгебра інварыянтаў не з'яўляецца канечна спароджанай. В. Л. Папоў даказаў, што калі алгебра інварыянтаў любога дзеяння алгебраічнай групы G на афіннай алгебраічнай мнагастайнасці канечна спароджаная, то група G рэдуктыўная.</ref>
|{{так|'''рэшана'''}}
|'''Абвергнута'''
|1959
|-
|align="right"|[[Пятнаццатая праблема Гільберта|15-я]]
|Строгае абгрунтаванне пералічальнай геаметрыі Шуберта
|{{часткова|'''часткова рэшана'''}}
|
|-
|align="right"|[[Шаснаццатая праблема Гільберта|16-я]]
|Тапалогія алгебраічных крывых і паверхняў<ref>Прыведзены пераклад зыходнай назвы праблемы, дадзенай Гільбертам: [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen»]{{ref-de}}. Аднак, больш дакладна яе змест (як ён разглядаецца сёння) можна было б перадаць наступнай назвай: «Колькасць і размяшчэнне авалаў рэчаіснай алгебраічнай крывой дадзенай ступені на плоскасці; лік і размяшчэнне гранічных цыклаў полінаміяльнага вектарнага поля дадзенай ступені на плоскасці». Верагодна (як можна ўбачыць з [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob16 англійскага перакладу тэксту анонса] {{ref-en}}), Гільберт лічыў, што дыферэнцыяльная частка (якая ў рэальнасці аказалася значна цяжэйшая за алгебраічную) будзе паддавацца рашэнню тымі ж метадамі, што і алгебраічная, і таму не ўключыў яе ў назву.</ref>
|{{часткова|'''часткова рэшана'''<ref>Першая (алгебраічная) частка праблемы № 16 больш дакладна фармулюецца так. Харнаком даказана, што максімальны лік авалаў ровен M=(n-1)(n-2)/2+1, і што такія крывыя існуюць — іх называюць M-крывымі. Як могуць быць размешчаны авалы M-крывой? Гэтая задача зроблена да ступені n = 6 уключна, а для ступені n = 8 даволі многа вядома (хоць яе яшчэ не дабілі). Акрамя таго, ёсць агульныя сцвярджэнні, якія абмяжоўваюць тое, як авалы M-крывых могуць быць размешчаны — гл. працы Гудкова, Арнольда, Роона, самога Гільберта (зрэшты, варта ўлічваць, што ў доказе Гільберта для n = 6 ёсць памылка: адзін з выпадкаў, лічымы ім немагчымым, аказаўся магчымым і быў пабудаваны Гудковым). Другая (дыферэнцыяльная) частка застаецца адкрытай нават для квадратычных вектарных палёў — невядома нават, колькі іх можа быць, і што ацэнка зверху існуе. Нават індывідуальная тэарэма канечнасці (тое, што ў кожнага полінаміяльнага вектарнага поля маецца канечны лік гранічных цыклаў) была даказаная толькі нядаўна. Яна лічылася даказанай [[Анры Дзюлак|Дзюлакам]], але ў яго доказе была выяўлена памылка, і канчаткова гэтая тэарэма была даказана [[Ільяшэнка, Юлій Сяргеевіч|Ільяшэнкам]] і Экалем, для чаго кожнаму з іх прыйшлося напісаць па кнізе.</ref>}}
|
|-
|align="right"|[[Сямнаццатая праблема Гільберта|17-я]]
|Ці можна прадставіць вызначаныя формы ў выглядзе сумы квадратаў
|{{так|'''рэшана'''}}
|'''Так'''
|1927
|-
|align="right"|[[Васямнаццатая праблема Гільберта|18-я]]
|
* Ці канечны лік [[крышталеграфічная група|крышталеграфічных груп]]?
* Ці існуюць нерэгулярныя запаўненні прасторы кангруэнтнымі мнагаграннікамі?
* Ці з'яўляюцца гексаганальная і кубічная гранецэнтраваная [[упакоўка шароў|ўпакоўкі шароў]] найбольш шчыльнымі?
|{{так|'''рэшана'''<ref>Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.</ref><ref>Роў і Грэй таксама называюць праблему № 18 «адкрытай» у сваёй кнізе за 2000, таму што задача ўпакоўкі шароў (вядомая таксама як задача Кеплера) не была вырашана к таму часу, аднак на сённяшні дзень ёсць звесткі пра тое, што яна ўжо вырашана (гл. далей). Прасоўванні ў рашэнні праблемы № 16 былі зробленыя ў нядаўні час, а таксама ў 1990-х.</ref>}}
|
* '''Так'''
* '''Так'''
* '''Так'''
|
* ?
* 1928
* 1998
|-
|align="right"|[[Дзевятнаццатая праблема Гільберта|19-я]]
|Ці заўсёды рашэнні рэгулярнай варыяцыйнай [[Лагранжыян|задачы Лагранжа]] з'яўляюцца аналітычнымі?
|{{так|'''рэшана'''}}
|'''Так'''
|1957
|-
|align="right"|[[Дваццатая праблема Гільберта|20-я]]
|Ці ўсе варыяцыйныя задачы з вызначанымі межавымі ўмовамі маюць рашэнні?
|{{так|'''рэшана'''}}
|'''Так'''
|?
|-
|align="right"|[[Дваццаць першая праблема Гільберта|21-я]]
|Доказ існавання [[Лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне|лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў]] з зададзенай групай монадраміі
|{{так|'''рэшана'''}}
|'''У залежнасці ад удакладнення фармулёўкі: ёсць / няма'''
|?
|-
|align="right"|[[Дваццаць другая праблема Гільберта|22-я]]
|Уніфармізацыя аналітычных залежнасцей з дапамогай [[Аўтаморфная функцыя|аўтаморфных функцый]]
|{{так|'''рэшана'''}}
|
|?
|-
|align="right"|[[Дваццаць трэцяя праблема Гільберта|23-я]]
|Развіццё метадаў [[варыяцыйнае злічэнне|варыяцыйнага злічэння]]
|{{не|'''не рэшана'''}}
|
|}

== 24-я праблема ==
: ''Асноўны артыкул:'' {{нп4|24-я праблема Гільберта|||Hilbert's 24th problem}}
Першапачаткова спіс утрымліваў 24 праблемы, але ў працэсе падрыхтоўкі к дакладу Гільберт адмовіўся ад адной з іх. Гэтая праблема была звязана з тэорыяй доказаў крытэрыя прастаты і агульных метадаў. Дадзеная праблема была знойдзена ў заметках Гільберта нямецкім гісторыкам навукі Рудыгерам Ціле ў [[2000]] годзе<ref>Rüdiger Thiele. [http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/hilberts-twenty-fourth-problem ''Hilbert's twenty-fourth problem''] // The American Mathematical Monthly, January 2003, pp. 1-24.</ref>.

== Гл. таксама ==
* [[Праблемы Смэйла]]
* [[Праблемы тысячагоддзя]]
* [[Адкрытыя матэматычныя праблемы]]

== Зноскі ==
{{reflist|2}}

== Літаратура ==
* {{кніга |загаловак= Проблемы Гильберта |спасылка= http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm |адказны= Сборник под общ. ред. П. С. Александрова |месца= М. |выдавецтва= Наука |год= 1969 |старонак= 240 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20180213100928/http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm |archivedate= 13 лютага 2018 }}
* {{кніга |аўтар=Болибрух А. А. |загаловак=Проблемы Гильберта (100 лет спустя) |серыя=Библиотека «Математическое просвещение» |год=1999 |выдавецтва=МЦНМО |том=2 |старонак=24 |спасылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20180823105528/http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2 |archivedate=23 жніўня 2018 }}
* {{артыкул |аўтар=Демидов С. С. |загаловак=К истории проблем Гильберта
  |выданне=Историко-математические исследования |нумар=17
  |выдавецтва=Наука |месца=М. |год=1966 |старонкі=91-122 }}
* {{артыкул |аўтар=Демидов С. С. |загаловак=«Математические проблемы» Гильберта и математика XX века
  |выданне=Историко-математические исследования |нумар=41 (6)
  |выдавецтва=Янус-К |месца=М. |год=2001 |старонкі=84-99 }}
* {{кніга |загаловак=Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений |аўтар=Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семенов В. В. |спасылка=http://shtonda.blogspot.com/2009/01/twentieth-problem-hilbert.html |isbn=978-5-8459-1524-5 |старонак=192 |год=2009 |месца=М. |выдавецтва=«Диалектика» |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160305002626/http://shtonda.blogspot.com/2009/01/twentieth-problem-hilbert.html |archivedate=5 сакавіка 2016 }}
* {{артыкул |аўтар= Rüdiger Thiele. |загаловак= Hilbert's twenty-fourth problem
  |спасылка = http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/hilberts-twenty-fourth-problem <!-- тэкст артыкула: http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Thiele1-24.pdf -->
  |выданне= The American Mathematical Monthly |нумар=110 (January)
  |выдавецтва= |месца= |год=2003 |старонкі=1-24 }}

== Спасылкі ==
* [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html Арыгінальны тэкст даклада Гільберта на нямецкай мове] {{ref-de}}
* [http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/NATURE/GILBERT_R.HTM Рускі пераклад даклада Гільберта] (уводная частка і заключэнне) {{ref-ru}}

{{Праблемы Гільберта}}
{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Матэматычныя гіпотэзы|Гільберта]]
[[Катэгорыя:Гісторыя матэматыкі]]
[[Катэгорыя:Адкрытыя матэматычныя праблемы]]