Прагляд зыходнага тэксту старонкі Просты лік

'''Просты лік''' — [[натуральны лік]], які мае роўна 2 [[дзельнік]]і: самога сябе і [[1]]. Лікі, што маюць больш за 2 дзельнікі, называюцца [[састаўны лік|састаўнымі]]. Паводле [[асноўная тэарэма арыфметыкі|асноўнай тэарэмы арыфметыкі]], кожны лік, большы за 1, можна прадставіць у выглядзе здабытку простых лікаў, прытым толькі адным спосабам (не ўлічваючы перастаноўкі множнікаў).

== Паслядоўнасць простых лікаў ==
* Пачатак паслядоўнасці простых лікаў: ''2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199''…

* Простых лікаў бесканечна многа (даказаў [[Эўклід]]: хай колькасць простых лікаў канечная, але тады ніводзін з іх не дзеліць іх здабытак, павялічаны на адзінку, а гэта супярэчнасць).

* [[Леанард Ойлер]] паказаў, што сума лікаў, [[адваротны лік|адваротных]] простым, [[разбежны шэраг|разбягаецца]].

* Для кожнага натуральнага {{math|''n''}} ёсць просты лік {{math|''p''}}, не меншы за {{math|''n''}} і не большы за {{math|2''n''}} ([[пастулат Бертрана]]).

* У [[арыфметычная прагрэсія|арыфметычнай прагрэсіі]] {{math|''a''}}, {{math|''a'' + ''q''}}, {{math|''a'' + 2''q''}}, {{math|''a'' + 3''q''}},…, дзе {{math|''a''}} і {{math|''q''}} [[узаемна простыя лікі|ўзаемна простыя]], існуе бесканечна многа простых лікаў ([[тэарэма Дзірыхле]]).

* [[Найбольшы вядомы просты лік|Найбольшым вядомым]] зараз простым лікам з’яўляецца [[лікі Мерсена|лік Мерсена]] {{nobr|2<sup>{{Num|136279841}}</sup> − 1}}, у яго дзесятковым запісе {{num|41024320}} [[лічбы|лічбаў]].

* З мноства простых лікаў можна выдзеліць адвольна доўгую канечную паслядоўнасць простых лікаў, якая будзе адрэзкам [[арыфметычная прагрэсія|арыфметычнай прагрэсіі]]. Гэта сцвярджэнне вядома пад назвай [[тэарэма Грына — Тао]].

=== Размеркаванне простых лікаў ===
{{Галоўны артыкул|Тэарэма аб размеркаванні простых лікаў}}

Для [[Функцыя размеркавання простых лікаў|функцыі размеркавання простых лікаў]] {{math|''π''(''x'')}} (якую вызначаюць як колькасць простых лікаў, не большых за {{math|''x''}}) справядліва асімптатычная роўнасць:
: <math>
\lim_{x\to +\infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln x} = 1.
</math>

Гэта азначае, што колькасць простых лікаў, меншых за {{math|''n''}}, мае парадак <math>n / \ln n</math>.

== Тэсты на простасць ==
Самы просты спосаб пабудовы спіса простых лікаў да пэўнага значэння — [[рэшата Эратасфена]]. Для праверкі, ці з’яўляецца пэўны лік простым, доўгі час на практыцы ўжываліся толькі [[імавернасныя алгарытмы]] (напрыклад, [[тэст Мілера-Рабіна]]). У [[2002]] годзе быў знойдзены [[дэтэрмінаваны алгарытм]] [[складанасць алгарытмаў|полінаміяльнай складанасці]]. Для больш вузкіх класаў лікаў існуюць адмысловыя тэсты на простасць (напрыклад, [[тэст Люка-Лемера]] для лікаў Мерсена).

== Простыя лікі ў тэорыі груп ==
* [[Колца рэштаў]] <math>\mathbb{Z}_p</math> з’яўляецца [[Поле (алгебра)|полем]] тады і толькі тады, калі {{math|''p''}} — просты лік.
* [[Характарыстыка поля|Характарыстыка]] [[канечнае поле|канечнага поля]] — альбо 0, альбо просты лік.
* Калі {{math|''G''}} — канечная [[Група (алгебра)|група]] з {{math|''p<sup>n</sup>''}} элементаў, то яна мае элемент [[парадак (тэорыя груп)|парадку]] {{math|''p''}}.
* Калі {{math|''p<sup>n</sup>''}} дзеліць парадак групы {{math|''G''}}, то {{math|''G''}} мае {{math|''pk'' + 1}} [[падгрупа, алгебра|падгруп]] парадку {{math|''p<sup>n</sup>''}}.

== Неразвязаныя пытанні пра простыя лікі ==
* [[Гіпотэза Гальдбаха]]: ці можна кожны лік, большы за 2, раскласці ў суму двух простых?
* [[Праблема простых лікаў-блізнят]]: колькі існуе пар простых лікаў, рознасць між якімі роўная 2?
* Ці бесканечна многа простых [[лікі Фібаначы|лікаў Фібаначы]]? Простых [[лікі Ферма|лікаў Ферма]]? Простых лікаў выгляду {{math|''n''<sup>2</sup> + 1}}?
* Ці заўсёды знойдзецца просты лік паміж {{math|''n''<sup>2</sup>}} і {{math|(''n'' + 1)<sup>2</sup>}}?

== Практычнае выкарыстанне ==
На практыцы простыя лікі ўжываюцца ў [[крыптасістэма з адкрытым ключом|крыптасістэмах з адкрытым ключом]], у [[генератар псеўдавыпадковых паслядоўнасцей|генератарах псеўдавыпадковых паслядоўнасцей]].

== Простыя лікі Сафі Жэрмен ==
{{Асноўны артыкул|Простыя лікі Сафі Жэрмен}}

Просты лік {{math|''p''}} называецца {{нп5|простыя лікі Сафі Жэрмен|'''простым лікам Сафі Жэрмен'''|en|Sophie Germain prime}}, калі лік {{math|2''p'' + 1}} таксама з’яўляецца простым. Гэтыя лікі прыцягнулі ўвагу, таму што [[Сафі Жэрмен]] (''Sophie Germain'', французская вучоная-матэматык, [[1 красавіка]] [[1776]] — [[27 чэрвеня]] [[1831]]) даказала, што [[апошняя тэарэма Ферма]] выконваецца для такіх лікаў.

Першыя простыя лікі Сафі Жэрмен:
: [[2, лік|2]], [[3, лік|3]], [[5, лік|5]], [[11, лік|11]], [[23, лік|23]], [[29, лік|29]], [[41, лік|41]], [[53, лік|53]], [[83, лік|83]], [[89, лік|89]], [[113, лік|113]], 131, 173, 179, 191, 233,…

Паслядоўнасць {{math|''p'', 2''p'' + 1, 2(2''p'' + 1) + 1, ...}} простых лікаў Сафі Жэрмен называецца [[ланцуг Канігана|ланцугом Канігана]] (''Cunningham chain'') першага парадку. Кожны элемент гэтай паслядоўнасці (акрамя першага і апошняга) з’яўляецца адначасова простым лікам Сафі Жэрмен і [[бяспечны просты лік|бяспечным простым]] ({{lang-en|safe prime}}), гэта просты лік выгляду {{math|2''p'' + 1}}, дзе {{math|''p''}} таксама просты).

== Спасылкі ==
* [http://primes.utm.edu/ The Prime Pages]{{ref-en}} — збор найбольшых вядомых простых лікаў
* [http://primegrid.com/orig/torrent.php PrimeGrid prime lists] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20100530071550/http://primegrid.com/orig/torrent.php |date=30 мая 2010 }} — усе простыя лікі, знойдзеныя ў рамках праекта [http://primegrid.com/orig/torrent.php PrimeGrid] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20100530071550/http://primegrid.com/orig/torrent.php |date=30 мая 2010 }}
* [http://www.polprimos.com Геаметрыя простых і дасканалых лікаў]{{ref-es}}
* [http://www.youtube.com/watch?v=sbjPwyPT1AI Geometrical connection between natural numbers and their factors]

{{Лікі}}
{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Тэорыя лікаў]]
[[Катэгорыя:Цэлалікавыя паслядоўнасці]]
[[Катэгорыя:Простыя лікі]]