Прагляд зыходнага тэксту старонкі Пі

[[Выява:Pi-unrolled-720.gif|thumb|300px|right|Разгортка акружнасці і лік {{math|π}}]]
'''Лік {{math|'''π'''}}''' (чытаецца як '''«пі»''') — [[матэматычная пастаянная]], [[адносіна]] даўжыні [[акружнасць|акружнасці]] да яе [[дыяметр]]а, прыблізна роўная 3,14159. Абазначаецца [[грэчаскі алфавіт|грэчаскай]] літарай «[[Пі (літара)|пі]]».

{{pi}} — [[ірацыянальны лік]], і таму яго нельга дакладна запісаць [[звычайны дроб|звычайным дробам]]. Аднак дробы, напрыклад, такія як 22/7, 3,14 і некаторыя іншыя рацыянальныя лікі, даволі часта выкарыстоўваюцца як прыбліжэнні ліку {{pi}}. [[Дзесятковы запіс]] ліку {{pi}} ніколі не заканчваецца і ніколі не становіцца [[перыядычны дзесятковы дроб|перыядычным]]. Лічбы выглядаюць выпадкова размеркаванымі, аднак доказаў, што гэта сапраўды так, дагэтуль няма.

{{pi}} — [[трансцэндэнтны лік]], г. зн. ён не можа быць [[корань мнагачлена|коранем]] ніякага ненулявога [[мнагачлен]]а з [[рацыянальны лік|рацыянальнымі]] каэфіцыентамі. Адсюль, сярод іншага, вынікае, што развязаць антычную праблему [[квадратура круга|квадратуры круга]] з дапамогай цыркуля і лінейкі немагчыма.

Упершыню лік <math>\pi</math> з'явіўся ў [[геаметрыя|геаметрыі]] пры вывучэнні адносін даўжыні і радыуса акружнасці. Тысячы гадоў матэматыкі даследавалі лік {{pi}}, у тым ліку вылічваючы яго значэнне з высокаю дакладнасцю. Да 15-га стагоддзя для ацэнкі значэння {{pi}} матэматыкі (напрыклад, [[Архімед]] і [[Лю Хуэй]]) карысталіся геаметрычнымі метадамі, заснаванымі на многавугольніках. Пачынаючы прыблізна з 15-га стагоддзя, новыя алгарытмы, заснаваныя на [[бесканечны рад|бесканечных радах]], карэнным чынам змянілі ўзровень вылічэнняў {{pi}}. У 20—21 стст. матэматыкі і [[інфарматыка|інфарматыкі]] вынайшлі новыя падыходы, што разам з нарастаннем вылічальных магутнасцей павялічыла колькасць вядомых дзесятковых лічб {{pi}} да больш чым 10 трыльёнаў (10<sup>13</sup>) (на канец 2011 г.)<ref name="NW">[http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html «Round 2… 10 Trillion Digits of Pi»], NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.</ref>. Навуковыя прыкладанні, як правіла, патрабуюць не больш за 40 лічб {{pi}}, так што галоўнаю прычынаю гэтых вылічэнняў з'яўляецца чалавечае жаданне пабіць рэкорды. Акрамя таго, гэтыя працаёмкія вылічэнні выкарыстоўваліся пры тэсціраванні [[суперкамп’ютар]]аў і [[алгарытм]]аў множання высокай дакладнасці.

Грэчаскай літарай <math>\pi</math> гэту пастаянную ўпершыню абазначыў брытанскі матэматык [[Уільям Джонс]] (1706), а агульнапрынятым такое абазначэнне стала пасля прац [[Леанард Эйлер|Леанарда Эйлера]].
Абазначэнне паходзіць ад пачатковай літары грэчаскіх слоў περιφέρεια — акружнасць, перыферыя і περίμετρος — перыметр.

З тае прычыны, што азначэнне ліку {{pi}} звязана з акружнасцю, ён уваходзіць у многія формулы ў трыганаметрыі і геаметрыі, асабліва ў тыя, што датычацца акружнасцей, эліпсаў і сфер. Ён таксама сустракаецца ў формулах з іншых галін навукі, такіх як [[касмалогія]], [[тэорыя лікаў]], [[статыстыка]], [[тэорыя фракталаў]], [[тэрмадынаміка]], [[механіка]] і [[электрамагнетызм]]. Паўсюднасць ліку {{pi}} робіць яго адною з самых знакамітых матэматычных сталых як сярод навуковай супольнасці, так і па-за ёю: ліку прысвечана некалькі кніг, у гонар ліку ўстаноўлены [[Дзень Пі]], рэкордныя вылічэнні лічбаў {{pi}} часта трапляюць у загалоўкі навін. Спробы запомніць лічбы {{pi}} з нарастаннем дакладнасці прывялі да рэкордаў у больш чым 67,000 лічб.

== Асноўныя звесткі ==

=== Абазначэнне ===
У матэматыцы адносіну даўжыні акружнасці да яе дыяметра абазначаюць [[грэчаскі алфавіт|грэчаскаю літараю]] {{pi}} (вымаўляецца «пі»), якая часам, асабліва калі недаступны адпаведныя шрыфты, запісваецца спалучэннем лацінскіх літар як «pi». У матэматычным ужытку, маленкая літара {{pi}} адрозніваецца ад вялікай літары &Pi;, якая абазначае [[здабытак]] элементаў паслядоўнасці.

=== Азначэнне ===
[[Выява:Pi eq C over d.svg|alt=Рысунак круга з пазначанымі дыяметрам і даўжынёй акружнасці|thumb|right|Акружнасць трохі больш чым у тры разы даўжэйшая за свой дыяметр. Дакладная адносіна называецца {{pi}}.]]
Лік {{pi}} звычайна вызначаюць як [[адносіна|адносіну]] [[даўжыня|даўжыні]] [[акружнасць|акружнасці]] {{math|''C''}} да яе [[дыяметр]]а {{math|''d''}} <ref name="Arndt">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=8}}</ref>:
: <math> \pi = \frac{C}{d}</math>
Адносіна {{math|''C''/''d''}} ёсць сталая велічыня, незалежная ад памераў круга. Напрыклад, калі адзін круг мае дыяметр, удвая большы чым у другога, то і даўжыня акружнасці першага будзе ўдвая большая чым у другога, пры гэтым значэнне адносіны {{math|''C''/''d''}} захоўваецца. Такое адзначэнне ліку {{pi}} няяўна выкарыстоўвае [[Еўклідава геаметрыя|плоскую (еўклідаву) геаметрыю]]; хаця паняцці круга і акружнасці можна пашырыць на любую [[нееўклідава геаметрыя|скрыўленую (нееўклідаву) геаметрыю]], для гэтых новых кругаў формулу {{math|{{pi}} {{=}} ''C''/''d''}} ўжо не будзе справядліваю<ref name="Arndt" />. Ёсць таксама іншыя азначэнні ліку {{pi}}, у якіх кругі не выкарыстоўваюцца ўвогуле. Напрыклад, {{pi}} — гэта падвоенае значэнне найменшага дадатнага ліку {{math|''x''}}, для якога {{math|[[косінус|cos]](''x'')}} раўняецца 0<ref name="Arndt" /><ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-054235-X}}, p 183.</ref>.

=== Уласцівасці ===
{{pi}} — [[ірацыянальны лік]], г. зн. яго нельга запісаць у выглядзе [[рацыянальны лік|адносіны двух цэлых лікаў]] (такія дробы, як 22/7, звычайна выкарыстоўваюцца ў якасці прыбліжэнняў {{pi}}; ніякі [[звычайны дроб]] (дзель цэлых лікаў) не можа быць дакладным значэннем {{pi}})<ref name="Arndt_i">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=5}}</ref>. Раз {{pi}} ірацыянальны, то ў яго [[дзесятковае прадстаўленне|дзесятковым прадстаўленні]] бесканечна многа ненулявых лічб, пры гэтым паслядоўнасць лічб не становіцца [[перыядычны дзесятковы дроб|перыядычнай]]. Ёсць некалькі [[доказ ірацыянальнасці ліку π|доказаў таго, што {{pi}} ірацыянальны]]; як правіла, у іх выкарыстоўваецца [[матэматычны аналіз]], і яны пабудаваны на метадзе [[доказ ад процілеглага|ад процілеглага]]. Ступень, з якою можна прыблізіць лік {{pi}} [[рацыянальны лік|рацыянальнымі лікамі]], (т. зв. [[мера ірацыянальнасці]]) дакладна невядомая; ацэнкі паказваюць, што мера ірацыянальнасці ліку {{pi}} большая чым у лікаў {{math|''e''}} і ln(2), але меншая чым у [[лікі Ліувіля|лікаў Ліувіля]]<ref>{{cite journal|last1=Salikhov|first1=V.|year=2008|title=On the Irrationality Measure of pi|journal=Russian Mathematical Survey|volume=53|issue=3|page=570|doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543|bibcode = 2008RuMaS..63..570S  | issn=0036-0279 }}</ref>.

[[Выява:Squaring the circle.svg|thumb|alt=Рысунак квадрата і круга з аднолькаваю плошчаю; даўжыня стараны квадрата раўняецца квадратнаму кораню з пі|З прычыны трансцэндэнтнасці ліку {{pi}}, [[квадратура круга|квадратуру круга]] немагчыма [[пабудова цыркулем і лінейкаю|пабудаваць з дапамогаю цыркуля і лінейкі]] за канечны лік крокаў.]]

{{pi}} — [[трансцэндэнтны лік]], г. зн. што ён не з'яўляецца [[корань мнагачлена|нулём]] ніякага непастаяннага [[мнагачлен]]а з [[рацыянальны лік|рацыянальнымі]] каэфіцыентамі, напрыклад, такога як <math>\scriptstyle \frac{x^5}{120}\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,x\,=\,0</math><ref name="ttop">{{cite web|first=Steve|last=Mayer|url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|title=The Transcendence of {{pi}}|access-date=4 November 2007|archive-url=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|archive-date=29 верасня 2000|url-status=dead}}</ref><ref>Упамянуты мнагачлен — гэта некалькі пачатковых членаў раскладання функцыі [[sin|сінуса]] ў [[рад Тэйлара]].</ref>.
Трансцэндэнтнасць ліку {{pi}} мае два важныя вынікі:
першы, лік {{pi}} нельга выразіць ніякаю канечнаю камбінацыяй рацыянальных лікаў і [[корань n-й ступені|арыфметычных каранёў]] з цэлымі паказчыкамі, напрыклад, такіх як <math>\scriptstyle \sqrt[3]{31}</math> ці <math>\scriptstyle \sqrt[2]{10}.</math>
Другі, паколькі ніякі трансцэндэнтны лік нельга [[збудавальны лік|пабудаваць]] [[пабудова цыркулем і лінейкаю|з дапамогай цыркуля і лінейкі]], развязаць задачу «[[квадратура круга|квадратуры круга]]» немагчыма. Іншымі словамі, немагчыма пабудаваць, карыстаючыся ''толькі'' цыркулем і лінейкаю, квадрат з плошчаю, роўнаю плошчы зададзенага круга<ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}}</ref>. Квадратура круга была адною з самых значных геаметрычных праблем [[класічная антычнасць|класічнай антычнасці]]<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=129}}</ref>. У наш час матэматыкі-любіцелі часам спрабавалі пабудаваць квадратуру круга і іншы раз заяўлялі аб поспеху, нягледзячы на тое, што гэта немагчыма<ref>{{harvnb|Beckmann|1989|p=37}}<br />{{cite book|last=Schlager|first=Neil|last2=Lauer|first2=Josh|title=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery|publisher=Gale Group|year=2001|isbn=0-7876-3933-8|url-access=registration|url=https://archive.org/details/scienceitstimesu0000unse}}, p 185.</ref>.

Лічбы ліку {{pi}} не маюць яўнай заканамернасці і праходзяць тэсты на [[статыстычная выпадковасць|выпадковасць]], у тым ліку і тэсты на [[нармальны лік|нармальнасць]] (лік, які запісваецца бесканечнай колькасцю лічб, называецца нармальным, калі ўсе магчымыя паслядоўнасці лічб (любой зададзенай даўжыні) трапляюцца аднолькава часта)<ref name="random" />. Гіпотэза, што лік {{pi}} нармальны, не даказана, але і не абвергнута<ref name="random">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}<br />{{cite news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|title=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|first=Paul|last=Preuss|author-link=Paul Preuss (author)|publisher=Lawrence Berkeley National Laboratory|date=23 July 2001|access-date=10 November 2007 |archive-url=https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html |archive-date=20 кастрычніка 2007 }}</ref>. З прыходам камп'ютараў для статыстычнага аналізу стала даступна вялікая колькасць лічб {{pi}}. [[Ясумаса Канада]] правёў падрабязны статыстычны аналіз дзесятковых лічб ліку {{pi}} і зрабіў вывад, што іх паводзіны не супярэчаць нармальнасці; напрыклад, частоты лічбаў ад 0 да 9 былі [[тэст на статыстычную значнасць|пратэсціраваны на статыстычную значнасць]], і ніякіх прыкмет заканамернасці знойдзена не было<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}}</ref>. Нягледзячы на тое, што лічбы {{pi}} праходзяць тэсты на выпадковасць, {{pi}} утрымлівае некаторыя паслядоўнасці лічбаў, якія для нематэматыкаў здаюцца невыпадковымі, напрыклад, [[пункт Фейнмана]] — група з шасці паслядоўных дзявятак, якая пачынаецца на 762-ым разрадзе ў дзесятковым запісе ліку {{pi}}<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=3}}</ref>.

=== Непарыўныя дробы ===
[[Выява:Matheon2.jpg|thumb|alt=Фотаздымак грэчаскай літары pi, выкладзенай вялікімі камянямі на зямлі ў выглядзе мазаікі.|Пастаянная {{pi}}. Мазаіка ў двары будынка матэматычнага факультэта ў [[Берлінскі тэхнічны ўніверсітэт|Берлінскім тэхнічным універсітэце]].]]
Як і ўсе ірацыянальныя лікі, {{pi}} нельга прадставіць у выглядзе [[звычайны дроб|звычайнага дробу]]. Але любы ірацыянальны лік, уключаючы {{pi}}, можна прадставіць бесканечным ланцугом укладзеных дробаў, т. зв. [[непарыўны дроб|непарыўным дробам]]:

: <math>
\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}</math>
{{OEIS2C|id=A001203}}

Абрыў непарыўнага дробу ў любой кропцы спараджае звычайны дроб — прыбліжэнне ліку {{pi}}; два такія (звычайныя) дробы (22/7 і 355/113) гістарычна выкарыстоўваліся ў якасці прыбліжэння пастаяннай. Кожнае прыбліжэнне, атрыманае такім шляхам, з'яўляецца найлепшым рацыянальным прыбліжэннем; г.зн. кожнае з іх бліжэйшае да {{pi}} чым любы іншы дроб з такім жа ці меншым [[назоўнік дробу|назоўнікам]]<ref name="Eymard 1999 78">{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=78}}</ref>. Хаця просты непарыўны дроб для {{pi}} (паказаны вышэй) не праяўляе заканамернасці<ref name="ReferenceA">
[[Ніл Слоўн|Sloane, N. J. A.]] (ed.). [[OEIS:A001203|"Sequence A001203 (Continued fraction for Pi)"]]. The [[Анлайн-энцыклапедыя цэлалікавых паслядоўнасцей|On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]. OEIS Foundation. Retrieved 12 April 2012.</ref>, матэматыкі знайшлі некалькі [[абагульнены непарыўны дроб|абагульненых непарыўных дробаў]], якія маюць празрыстую заканамернасць, напрыклад<ref>{{cite journal|title=An Elegant Continued Fraction for {{pi}}|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1999-05_106_5/page/456|first=L. J.|last=Lange|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=106|issue=5|month=May|year=1999|pages=456–458|jstor=2589152|doi=10.2307/2589152}}</ref>:
: <math>\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}</math>

=== Прыблізнае значэнне ===
π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Некаторыя [[прыбліжэнні ліку π|прыбліжэнні ліку {{pi}}]]:
* '''Звычайныя дробы''' (у парадку нарастання дакладнасці): {{sfrac|22|7}}, {{sfrac|333|106}}, {{sfrac|355|113}}, {{sfrac|52163|16604}}, {{sfrac|103993|33102}}, і {{sfrac|245850922|78256779}} <ref name="Eymard 1999 78" />. (Спіс складзены з выбраных членаў паслядоўнасцей {{OEIS2C|id=A063674}} і {{OEIS2C|id=A063673}}.)
* '''Дзесятковы дроб''': Першыя 100 дзесятковых лічбаў {{gaps|3,14159|26535|89793|23846|26433|83279|50288|41971|69399|37510|58209|74944|59230|78164|06286|20899|86280|34825|34211|70679...}}<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=240}}</ref> {{OEIS2C|id=A000796}}
* '''[[Двайковая сістэма злічэння|Двайковы дроб]]''': запіс па [[аснова сістэмы злічэння|аснове]] 2 да 48 лічбаў {{gaps||11,0010|0100|0011|1111|0110|1010|1000|1000|1000|0101|1010|0011...}}
* '''[[Шаснаццатковая сістэма злічэння|Шаснаццатковы дроб]]''': запіс па [[аснова сістэмы злічэння|аснове]] 16 да 20 лічбаў {{gaps||3,243F|6A88|85A3|08D3|1319...}}<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=242}}</ref>
* '''[[Шасцідзесятковая сістэма злічэння|Шасцідзесятковы дроб]]''': па аснове 60 прыбліжэнне да чатырох шасцідзесятковых лічбаў 3;8,29,44,1

Прыбліжэнні, якімі карысталіся старажытныя навукоўцы:
* <math>\frac{22}{7}</math>&emsp;([[Архімед]]),
* <math>\frac{377}{120}</math>&emsp;(прыведзена ў кнізе індыйскага мысліцеля і астранома [[Арыябхата|Арыябхаты]] у [[5 стагоддзе|5 стагоддзі н.э.]]),
* <math>\frac{355}{113}</math>&emsp;(прыбліжэнне прыпісваецца старажытнакітайскаму астраному [[Цзу Чунджы]], сучасніку Арыябхаты).

=== Суадносіны ===
Вядома шмат формул для ліку <math>\pi</math>:
* [[Франсуа Віет]], [[1593]]:
:: <math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots</math>
* Рад [[Лейбніц]]а:
:: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
* Тоеснасць [[Леанард Эйлер|Эйлера]]:
:: <math>e^{\pi i} + 1 = 0\;</math>

== Спосабы вылічэння ==

[[Выява:Archimedes pi.svg|thumb|300px|Прынцып Архімеда]]

[[Архімед]], магчыма, першым прапанаваў спосаб вылічэння ліку <math>\pi</math> як [[Ліміт (матэматыка)|граніцы]]. Для гэтага ён упісваў у [[акружнасць]] і апісваў каля яе правільныя [[многавугольнік]]і. Прымаючы [[дыяметр]] акружнасці за адзінку, Архімед разглядаў [[перыметр]] упісанага многавугольніка як ніжнюю ацэнку даўжыні акружнасці, а перыметр апісанага многавугольніка як верхнюю ацэнку. Так, для шасцівугольніка (гл. малюнак) атрымліваецца <math>3 < \pi < 2\sqrt{3}.</math>

Разглядаючы правільны 96-вугольнік, Архімед атрымаў ацэнку <math>3\frac{10}{71} < \pi <3\frac{1}{7}.</math>

У [[Новы час]] для вылічэння <math>\pi</math> выкарыстоўваюцца аналітычныя метады, заснаваныя на тоеснасцях. Прыведзеныя вышэй формулы малапрыдатныя для вылічальных мэт, бо ў іх або выкарыстоўваюцца павольна збежныя рады, або трэба выконваць складаную аперацыю здабывання квадратнага кораня.

Першую эфектыўную формулу знайшоў у [[1706]] [[Джон Мэчын]] (John Machin):
: <math>\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}</math>
Расклаўшы арктангенс у [[рад Тэйлара]], можна атрымаць хутка збежны рад, прыдатны для вылічэння ліку <math>\pi</math> з вялікай дакладнасцю.

Яшчэ хутчэй працуюць алгарытмы, заснаваныя на формулах [[Рамануджан]]а
: <math>\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 \, 396^{4k}} </math>
і Чудноўскага
: <math>\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 \, 640320^{3k + 3/2}}</math>

У [[1997]] Дэйвід Х. Бэйлі, Пітэр Боруэйн і Сайман Плуф адкрылі спосаб<ref>{{артыкул
 |аўтар         = David Bailey, Peter Borwein and Simon Plouffe.
 |загаловак         = On the rapid computation of various polylogarithmic constants
 |спасылка         = http://www.lacim.uqam.ca/%7Eplouffe/articles/BaileyBorweinPlouffe.pdf
 |мова         = англ.
 |выданне         = 
 |тып         = 
 |год         = 
 |том         = 
 |нумар         = 
 |старонкі         = 
 |doi         = 
 |issn         = 
 |archiveurl         = https://web.archive.org/web/20070417162339/http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/BaileyBorweinPlouffe.pdf
 |archivedate         = 17 красавіка 2007
 }}</ref> хуткага вылічэння адвольнай [[двайковая сістэма злічэння|двайковай]] лічбы ліку <math>\pi</math> без вылічэння папярэдніх лічб, заснаваны на формуле
: <math>\pi = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^i}\left(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6}\right)
</math>

== Нявырашаныя праблемы ==

* Невядома, ці з'яўляюцца лікі <math>\pi</math> і <math>e</math> [[алгебраічная незалежнасць|алгебраічна незалежнымі]].
* Невядомая дакладная [[мера ірацыянальнасці]] для лікаў <math>\pi</math> і <math>\pi^2</math> (але вядома, што для <math>\pi</math> яна не перавышае 7,6063)<ref>{{MathWorld|IrrationalityMeasure|Мера ірацыянальнасці}}</ref>.
* Невядомая мера ірацыянальнасці ні для аднаго з наступных лікаў: <math>\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, \pi ^{\sqrt 2}, \ln \pi, \pi ^ \pi, e^{\pi^2}.</math>. Ні для аднаго з іх невядома нават, ці з'яўляецца ён [[Рацыянальны лік|рацыянальным лікам]], [[Алгебраічны лік|алгебраічна]] [[Ірацыянальны лік|ірацыянальным]] або [[трансцэндэнтны лік|трансцэндэнтным лікам]]<ref>{{MathWorld|Pi|Pi}}</ref><ref>[[:en:Irrational number#Open questions]]</ref><ref>[http://www.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf Some unsolved problems in number theory]</ref><ref>{{MathWorld|TranscendentalNumber|Трансцендентное число}}</ref><ref>[http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf An introduction to irrationality and transcendence methods] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20130517183134/http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf |date=17 мая 2013 }}</ref>.
* Невядома, ці з'яўляецца <math>{^n\pi}</math> [[Цэлы лік|цэлым лікам]] пры якім-небудзь дадатным цэлым <math>n</math>. Невядома нават, ці з'яўляецца <math>{^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}</math> цэлым.
* Невядома, ці належыць <math>\frac{1}{\pi}</math> да {{нп3|кальцо перыядаў|кальца перыядаў|ru|Кольцо периодов}}.
* Дагэтуль нічога невядома аб {{нп3|Нармальны лік|нармальнасці|ru|Нормальное число}} ліку <math>\pi</math>; невядома нават, якія з лічбаў 0-9 сустракаюцца ў дзесятковым прадстаўленні ліку <math>\pi</math> бесканечную колькасць разоў.

== Метад іголкі Бюфона ==

На разлінееную роўнааддаленымі прамымі плоскасць адвольна кідаецца іголка, даўжыня якой роўная адлегласці паміж суседнімі прамымі, так што пры кожным кіданні іголка альбо не перасякае прамыя, альбо перасякае роўна адну. Можна даказаць, што адносіна колькасці перасячэнняў іголкі з якой-небудзь лініяй да агульнай колькасці кідкоў імкнецца да <math>\frac2\pi</math> пры павелічэнні колькасці кідкоў да бесканечнасці<ref>[http://kvant.mirror1.mccme.ru/1983/05/obman_ili_zabluzhdenie.htm Обман или заблуждение?] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20120130192306/http://kvant.mirror1.mccme.ru/1983/05/obman_ili_zabluzhdenie.htm |date=30 студзеня 2012 }} Квант № 5 1983 год</ref>. Дадзены метад іголкі грунтуецца на [[Тэорыя імавернасцей|тэорыі імавернасцей]] і ляжыць у аснове [[метад Монтэ-Карла|метаду Монтэ-Карла]]<ref>''Г. А. Гальперин.'' [http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=node2.html Биллиардная динамическая система для числа пи] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20140613060835/http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=node2.html |date=13 чэрвеня 2014 }}.</ref>.

== Цікава ведаць ==

Сусветны рэкорд па запамінанні знакаў ліку Пі належыць японцу Акіры Харагучы (Akira Haraguchi). Ён запомніў лік Пі да 100-тысячнага знака пасля коскі. Яму спатрэбілася амаль 16 гадзін, каб назваць увесь лік цалкам.

== Неафіцыйнае свята ==

Неафіцыйнае свята «Дзень ліку Пі» (Pi Day) адзначаецца [[14 сакавіка]], якое ў амерыканскім [[Дата|фармаце дат]] запісваецца як 3.14, што адпавядае набліжанаму значэнню Пі.

Яшчэ адной датай, звязанай з лікам Пі, з'яўляецца [[22 ліпеня]], якое называецца «Днём прыбліжанага ліку Пі» (Pi Approximation Day), бо ў еўрапейскім фармаце дат гэты дзень запісваецца як 22/7, а значэнне гэтага дробу з'яўляецца набліжаным значэннем ліку Пі.

== Зноскі ==
{{reflist|2}}

== Літаратура ==
{{refbegin|2}}
* А. В. Жуков, [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.18.pdf «О числе ''π''»]. М.: МЦМНО, 2002 г., 32 з. ISBN 5-94057-030-5
* {{cite book|last=Arndt|first=Jörg|last2=Haenel|first2=Christoph|title=Pi Unleashed|publisher=Springer-Verlag|year=2006|isbn=978-3-540-66572-4 <!--isbn only volume 1-->|url=http://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false|access-date=2013-06-05}} English translation by Catriona and David Lischka.
* {{cite book|last=Ayers|first=Frank|title=Calculus|publisher=McGraw-Hill|year=1964|isbn=978-0-070-02653-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00fran}}
* {{cite book|last=Berggren|first=Lennart|last2=Borwein|first2=Jonathan|last3=Borwein|first3=Peter|title=Pi: a Source Book|publisher=Springer-Verlag|year=1997|isbn=978-0-387-20571-7}}
* {{cite book|last=Beckmann|first=Peter|title=History of Pi|publisher=St. Martin's Press|year=1989|orig-year=1974|isbn=978-0-88029-418-8|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck}}
* {{cite book|last=Borwein|first=Jonathan|last2=Borwein|first2=Peter|title=Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity|publisher=Wiley|year=1987|isbn=978-0-471-31515-5}}
* {{cite book|last=Boyer|first=Carl B.|last2=Merzbach|first2=Uta C.|year=1991|title=A History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|edition=2|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-54397-8}}<!-- Year from ISBN. Original citatation was just to Boyer. Possible that edition is wrong and therefore page is wrong. Editions: Boyer 1968, Boyer/Merzbach 1989, Boyer/Merzbach 1991, Merzbach/Boyer 2010, Merzbach/Boyer 2011. Verify second: Hui and 3072-sided polygon is on cited page 202 of 1991 edition; page 228 of 1968 edition. Google snippet has a hit for 3.1456 on page 168 for 1991, but does not show the number. -->
* {{cite book|last=Bronshteĭn|first=Ilia|last2=Semendiaev|first2=K. A.|title=A Guide Book to Mathematics|publisher=H. Deutsch|year=1971|isbn= 978-3-871-44095-3}}
* {{cite book|last=Eymard|first=Pierre|last2=Lafon|first2=Jean Pierre|title=The Number Pi|publisher=American Mathematical Society|year=1999|isbn=978-0-8218-3246-2}}, English translation by Stephen Wilson.
* {{cite book|last=Joseph|first=George Gheverghese|title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics|publisher=Princeton University Press|year=1991|isbn=978-0-691-13526-7|url=http://books.google.com/?id=c-xT0KNJp0cC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false%7C|access-date=2013-06-05}}<!-- This ISBN is for the third edition from 2011! -->
* {{cite book|last=Posamentier|first=Alfred S.|last2=Lehmann|first2=Ingmar|title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number|publisher=Prometheus Books|year=2004|isbn=978-1-59102-200-8|url-access=registration|url=https://archive.org/details/pi00alfr_0}}
* {{cite journal|last=Reitwiesner|first=George|title=An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places|journal=Mathematical Tables and Other Aids to Computation|year=1950|volume=4|issue= 29|pages=11–15|doi=10.2307/2002695}}
* {{cite journal|last=Roy|first=Ranjan|title=The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1990-12_63_5/page/291|journal=Mathematics Magazine|volume=63|issue=5|year=1990|pages=291–306|doi=10.2307/2690896}}
* {{cite journal|last=Schepler|first=H. C.|title=The Chronology of Pi|journal=Mathematics Magazine|publisher=Mathematical Association of America|year=1950|volume=23|issue=3|pages=165–170 (Jan/Feb), 216–228 (Mar/Apr), and 279–283 (May/Jun)|doi=10.2307/3029284}}. [<!-- http://www.jstor.org/stable/3029284 -->http://www.jstor.org/discover/10.2307/3029284 issue 3 Jan/Feb], [http://www.jstor.org/stable/3029832 issue 4 Mar/Apr], [http://www.jstor.org/stable/3029000 issue 5 May/Jun]
{{refend}}

== Спасылкі ==
{{Commons|Category:Pi}}
* [http://zenwerx.com/pi.php Лік <math>\pi</math> з дакладнасцю да 4 мільёнаў знакаў пасля коскі] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20080309022923/http://zenwerx.com/pi.php |date=9 сакавіка 2008 }}
* [http://lik.bplaced.net/ Лік <math>\pi</math> з дакладнасцю да 5 мільёнаў знакаў пасля коскі]{{Недаступная спасылка}}
* [http://ja0hxv.calico.jp/pai/epivalue.html Трыльён знакаў ліку <math>\pi</math> (у zip-архівах)] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20111003034922/http://ja0hxv.calico.jp/pai/epivalue.html |date=3 кастрычніка 2011 }}
* [http://arbuz.uz/x_pi.html Зона ПІ на Кавуне]
* [http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html Pi-memory] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20080319051557/http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html |date=19 сакавіка 2008 }}
{{Вонкавыя спасылкі}}
{{Лікі з уласнымі імёнамі}}

[[Катэгорыя:Матэматычныя канстанты]]
[[Катэгорыя:Пі| ]]
[[Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы]]