Прагляд зыходнага тэксту старонкі Скалярны здабытак

'''Скалярны здабытак''' (часам '''унутраны здабытак''') — аперацыя над двума [[Вектар (матэматыка)|вектарамі]],
вынікам якой з’яўляецца [[лік]] ([[скаляр]]<ref>Калі разглядаюцца вектары, лікі часта называюць [[скаляр]]амі.</ref>), што не залежыць ад сістэмы каардынат і характарызуе даўжыні вектараў-сумножнікаў і [[вугал]] паміж імі. Дадзенай аперацыі адпавядае памнажэнне ''даўжыні'' вектара ''x'' на ''праекцыю'' вектара ''y'' на вектар ''x''. Гэта аперацыя звычайна разглядаецца як [[камутатыўная аперацыя|камутатыўная]] і [[Лінейнае адлюстраванне|лінейная]] па кожным сумножніку.

Звычайна выкарыстоўваецца адно з наступных абазначэнняў:
: <math>\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle</math>,
: <math> (\mathbf a, \mathbf b)  </math>,
: <math> \mathbf a \cdot \mathbf b </math>,
ці ([[бра і кет|абазначэнне]] [[Поль Дырак|Дырака]], якое часта ўжываецца ў [[Квантавая механіка|квантавай механіцы]] для вектараў стану):
: <math>\langle a|b\rangle</math>.

Звычайна лічыцца, што скалярны здабытак дадатна вызначаны, то бок
: <math> \langle \mathbf a, \mathbf a \rangle > 0</math> для ўсіх <math>a\not=0</math>.

Калі гэтага не прадугледжваецца, то здабытак завецца '''[[Індэфінітны здабытак|індэфінітным (няпэўным)]]'''.

== Вызначэнне ==
'''Скалярным здабыткам''' у [[Вектарная прастора|вектарнай прасторы]] <math>\mathbb L</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>\mathbb C</math> [[камплексны лік|кaмплексных]] (ці <math>\mathbb R</math> [[рэчаісны лік|рэчаісных]]) [[лік]]аў называецца функцыя <math>\langle x, y \rangle</math> для элементаў <math>x, y \in \mathbb L</math>, якая прымае значэнні ў <math> \mathbb C </math> (ці <math>\mathbb R</math>), якая вызначана для кожнай пары элементаў і задавальняе наступным умовам:
# для любых трох элементаў <math> ~x_1, x_2 </math> і <math> ~y </math> [[лінейная прастора|прасторы]] <math> \mathbb L</math> і любых лікаў <math> ~\alpha , \beta </math> з <math> \mathbb C </math> (ці <math>\mathbb R</math>) справядліва роўнасць <math> \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle</math> (лінейнасць скалярнага здабытка па першым аргуменце);
# для любых <math> ~x </math> і <math> ~y </math> справядліва роўнасць <math> \langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}</math>, дзе рыса азначае комплекснае спалучэнне (эрмітава сіметрычнасць);
# для любога <math> ~x </math> маем <math>\langle x,x \rangle \ge 0 </math>, прычым <math>\langle x,x \rangle =0 </math> толькі пры <math> ~x=0 </math> (дадатная вызначанасць скалярнага здабытка).

Заўважым, што з п.2 вызначэння вынікае, што <math> \langle x,x \rangle \in \mathbb R</math>. Таму п.3 мае сэнс, нягледзячы на комплексныя (у агульным выпадку) значэнні '''скалярнага здабытка'''.

== Алгебраічнае вызначэнне ==
Скалярны здабытак для двух вектараў {{nowrap|1='''a''' = [''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>]}} і {{nowrap|1='''b''' = [''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ..., ''b''<sub>''n''</sub>]}} у '''''n'''''-мернай [[Рэчаісныя лікі|рэчаіснай]] прасторы вызначаецца як:<ref name="Lipschutz2009">{{cite book |author= S. Lipschutz, M. Lipson |first1= |title= Linear Algebra (Schaum’s Outlines)|url= https://archive.org/details/linearalgebra0000lips_a2h3 |edition= 4th |year= 2009|publisher= McGraw Hill|isbn=978-0-07-154352-1}}</ref>
: <math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n</math>.
Напрыклад, у трохмернай прасторы здабытак вектараў {{nowrap|[1, 3, -5]}} і {{nowrap|[4, -2, -1]}} будзе вылічаны як:

: <math>
\begin{align}
\ [1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] &= 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) \\
&= 4 - 6 + 5 \\
&= 3.
\end{align}
</math>

Для комплексных вектараў {{nowrap|1='''a''' = [''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>]}} і {{nowrap|1='''b''' = [''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ..., ''b''<sub>''n''</sub>]}} скалярны здабытак вызначаецца як:
: <math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^n a_i\overline{b_i}=a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+\cdots+a_n\overline{b_n}</math>.
Напрыклад, <math> [1+i, 2] \cdot [2+i, i] = (1+i) \cdot (\overline{2+i}) + 2 \cdot \overline i = (1+i) \cdot (2-i) + 2 \cdot (-i) = 3-i</math>

== Геаметрычнае вызначэнне ==
[[Файл:Dot Product.svg|thumb|right|200 px|'''A''' • '''B''' = <nowiki>|</nowiki>'''A'''<nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>'''B'''<nowiki>|</nowiki> cos(θ)]]
Калі вызначэнні даўжыні вектара і вугла паміж вектарамі ўведзены незалежна ад паняцця скалярнага здабытку (звычайна, так і робяць пры выкладанні класічнай геаметрыі), то скалярны здабытак вызначаецца праз даўжыні сумножнікаў і вугал паміж імі:

: <math> \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 
|\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)} </math>

Сучасная аксіяматыка звычайна будуецца пачынаючы са скалярнага здабытку, і тады даўжыня вектара і вугал вызначаюцца ўжо праз скалярны здабытак (гл. ніжэй).

== Звязаныя вызначэнні ==

* Рэчаісная канечнамерная лінейная прастора са скалярным здабыткам завецца ''еўклідавай'', комплексная — ''унітарнай''.

У сучасным аксіяматычным падыходзе ўжо на аснове паняцця скалярнага здабытку вектараў уводзяцца наступныя вытворныя паняцці:

* '''Даўжыня''' вектара, пад якой звычайна разумеецца яго еўклідава [[Норма, матэматыка|норма]]: <math>\| \mathbf x\| = \sqrt{\langle \mathbf x,\mathbf x\rangle}</math> (тэрмін 'даўжыня' звычайна ўжываецца да канечнамерных вектараў, аднак у выпадку вылічэння даўжыні крывалінейнага шляху часта выкарыстоўваецца і ў выпадку бясконцамерных прастор).
* '''[[Вугал|Вуглом]]''' паміж двума ненулявымі вектарамі [[еўклідава прастора|еўклідавай прасторы]] (у прыватнасці, еўклідавай плоскасці) завецца лік, [[косінус]] якога роўны адносінам скалярнага здабытку гэтых вектараў да здабытку іх даўжынь (норм):<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = |\mathbf a| |\mathbf b| \cos \varphi.</math><br />У выпадку, калі прастора з’яўляецца [[псеўдаеўклідава прастора|псеўдаеўклідавай]], паняцце вугла вызначаецца толькі для вектараў, якія не ўтрымоўваюць ізатропных прамых унутры ўтворанага вектарамі сектара. Сам вугал пры гэтым уводзіцца як лік, [[гіпербалічны косінус]] якога роўны адносінам модуля скалярнага задабытку гэтых вектараў да задабытку іх даўжынь (норм):<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>
|\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle| = |\mathbf a| |\mathbf b| \operatorname{ch} \varphi.
</math>

* '''Артаганальнымі''' (перпендыкулярнымі) завуцца вектары, скалярны здабытак якіх роўны нулю. Гэта вызначэнне дастасоўна да любых прастор з дадатна вызначаным скалярным здабыткам. Напрыклад, [[артаганальныя мнагачлены]] насамрэч артаганальныя (у сэнсе гэтага вызначэння) адзін аднаму ў некаторай гільбертавай прасторы.
* Прастора (рэчаісная ці комплексная) з дадатна вызначаным скалярным здабыткам завецца [[Прадгільбертава прастора|прадгільбертавай прасторай]].
** Пры гэтым канечнамерная рэчаісная прастора з дадатна вызначаным скалярным здабыткам называецца таксама [[Еўклідава прастора|еўклідавай]], а комплексная — [[Эрмітава прастора|эрмітавай ці ўнітарнай]] прасторай.
* Выпадак, калі скалярны здабытак не з’яўляецца знакавызначаным, прыводзіць да т.зв. ''прастор з індэфінітнай метрыкай''. Скалярны здабытак у такіх прасторах ужо не спараджае нормы (і яна звычайна ўводзіцца дадаткова). Канечнамерная рэчаісная прастора з індэфінітнай метрыкай завецца [[Псеўдаеўклідава прастора|псеўдаеўклідавай]] (найважнейшым асобным выпадкам такой прасторы з’яўляецца [[прастора Мінкоўскага]]). Сярод бясконцамерных прастор з індэфінітнай метрыкай важную ролю іграюць [[Прастора Пантрагіна|прасторы Пантрагіна]] і [[Прастора Крэйна|прасторы Крэйна]].

== Прыклады ==
* У трохмернай рэчаіснай [[Вектарная прастора|вектарнай прасторы]] вектараў <math>\mathbf x = (x_1, x_2, x_3)</math> увядзенне скалярнага здабытку па формуле <math> \langle\mathbf x, \mathbf y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3</math> ператварае гэту прастору ў еўклідаву прастору. Аналагічнае сцвярджэнне справядліва для еўклідавай прасторы любой размернасці (у суму тады ўваходзіць колькасць членаў, роўная размернасці прасторы).
** У любой еўклідавай прасторы (размернасці ''n'') заўсёды можна абраць<ref>
Ортанарміраванасць базісу вызначаецца ўмовай
: <math>\langle \mathbf e_i, \mathbf e_j \rangle= \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \ne j, \end{cases}</math>
якая складаецца ў роўнасці нулю скалярных здабыткаў розных базісных вектараў, напрыклад, першага і другога, першага і трэцяга, і г.д. (артаганальнасць), і роўнасці адзінцы — скалярнага здабытку кожнага базіснага вектара з самім сабой (нарміраванасць). Згаданыя ў асноўным тэксце формулы атрымліваюцца прамым перамнажэннем вектараў, раскладзеных па такім базісе, улічваючы ўласцівасці скалярнага здабытку, асабліва яго білінейнасць, якая дазваляе раскрываць дужкі і інш. як пры вылічэннях са звычайнымі лікамі.
</ref> [[ортаўнармаваны базіс]] <math>{\mathbf e_1, \mathbf e_2,\dots,\mathbf e_n}</math> <br />
:: пры раскладанні вектараў па якім:
:: <math>\mathbf a = a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + \dots + a_n \mathbf e_n</math>,
:: <math>\mathbf b = b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + \dots + b_n \mathbf e_n</math> і г.д.,
:: скалярны здабытак будзе вызначацца формулай:
:: <math>\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle=\mathbf a^T \mathbf b = a_1 b_1+a_2 b_2+\dots+a_n b_n</math>.
<!-- :У больш агульным выпадку:

:: <math>\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle=a^T G b</math>
 Please, insert ? instead of G.

:: дзе G — [[матрыца Грама]], роўная адзінкавай тады і толькі тады, калі базіс ортанарміраваны. -->
* У такой жа, але комплекснай, прасторы, скалярны здабытак уводзіцца па трохі іншай формуле: <math> \langle\vec x, \vec y\rangle = x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+x_3\overline{y_3}</math>. Тут праз <math>\overline{a}</math> пазначаны лік, [[Камплексны лік|комплексна спалучаны]] да <math>\ a</math>. Пры такім вызначэнні скалярны здабытак становіцца дадатна вызначаным. Без комплекснага спалучэння аксіёма [[Эрмітава форма|эрмітавасці]] скалярнага здабытку была б парушана, а значыць, рэчаіснасці вызначанай праз яго [[Норма, матэматыка|нормы]] вектара дамагчыся б не атрымалася, гэта значыць норма ў звычайным сэнсе ім бы не спараджалася.
* У прасторы вымерных інтэграваных з квадратамі на некаторай вобласці Ω рэчаісных функцый можна ўвесці дадатна вызначаны скалярны здабытак:
:: <math> \langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega f(x) g(x) d\Omega</math>

* У аналагічным выпадку для комплексных функцый, калі патрабуецца эрмітавасць (і дадатная вызначанасць) скалярнага здабытку, трэба дадаць комплекснае спалучэнне да f ці g пад інтэгралам.
* Пры выкарыстанні неортанарміраваных базісаў скалярны здабытак выражаецца праз кампаненты вектараў з удзелам [[Метрычны тэнзар|метрычнага тэнзара]] <math>g_{ij}</math>:
:: <math> \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = \sum g_{ij}a^i b^j</math>
: пры гэтым сама метрыка (кажучы дакладней, яе прадстаўленне ў дадзеным базісе) так звязана са скалярнымі здабыткамі базісных вектараў <math> f_i\ </math>:
:: <math> g_{ij} = \langle\mathbf f_i, \mathbf f_j\rangle </math>

** (метрыка ў ортаўнармаваных базісах трывіяльная, гэта значыць прадстаўлена [[Дэльта Кронекера|адзінкавай матрыцай <math>g_{ij} = \delta_{ij}</math>]])
* Аналагічныя канструкцыі скалярнага здабытку можна ўводзіць і на бясконцамерных прасторах, напрыклад, на прасторах функцый:
:: <math> \langle f, g \rangle = \int\limits_{(\Omega_1 \times \Omega_2)} K(x_1,x_2) f(x_1) g(x_2) d(\Omega_1 \times \Omega_2) </math>
::: <math> \langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega K(x) f(x) g(x) d\Omega </math>
: дзе ''K'' — дадатна вызначаная, у першым выпадку сіметрычная адносна перастаноўкі аргументаў (пры комплексных x — эрмітава) функцыя (калі трэба мець звычайны сіметрычны дадатна вызначаны скалярны здабытак).

== Уласцівасці ==

* [[тэарэма косінусаў]] лёгка выводзіцца з выкарыстаннем скалярнага здабытку:
*: <math>|BC|^2 = \vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2 = \langle\vec{AC} - \vec{AB},\vec{AC} - \vec{AB}\rangle = \vec{AC}^2 + \vec{AB}^2 - 2 \langle\vec{AC},\vec{AB}\rangle = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 |AB| |AC| \cos\hat A</math>
* Вугал паміж вектарамі:
*: <math>\alpha = \arccos \frac{\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle}{\sqrt{\langle\mathbf a, \mathbf a\rangle\langle\mathbf b,\mathbf b\rangle}}</math>
* Ацэнка вугла паміж вектарамі:
*: у формуле <math> \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 
|\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)} </math> знак вызначаецца толькі косінусам вугла (нормы вектараў заўсёды дадатныя). Таму скалярны здабытак > 0, калі вугал паміж вектарамі востры, і < 0, калі вугал паміж вектарамі тупы.
* Праекцыя вектару <math>\mathbf a</math> на кірунак, вызначанае адзінкавым вектарам <math>\mathbf e</math>:
*: <math>a_e = \langle\mathbf a,\mathbf e\rangle = |\mathbf a| |\mathbf e| \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf e)} = |\mathbf a| \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf e)} </math>, бо <math>|\mathbf e| = 1</math>
* умова артаганальнасці<ref>
У абстрактнай фармулёўцы названая ўмова <math>\vec a\bot \vec b</math> — гэта ўсяго толькі вызначэнне артаганальнасці. Аналагічна, дзве формулы вышэй у абстрактнай фармулёўцы таксама з’яўляюцца проста вызначэннямі адпаведных паняццяў праз скалярны здабытак, але яны ўсе могуць з поспехам быць скарыстаны ў пэўных вылічэннях, напрыклад, у элементарнай геаметрыі, незалежна ад таго, якая сістэма вызначэнняў выкарыстоўваецца, сучасная абстрактная ці традыцыйная элементарная.
</ref> (перпендыкулярнасці) вектараў <math>\mathbf a</math> і <math>\mathbf b</math>:
:: <math>\mathbf a\bot \mathbf b \Leftrightarrow \langle\mathbf a,\mathbf b\rangle = 0</math>

* Плошча паралелаграма, нацягнутага на два вектары <math>\mathbf{a}\ </math> і <math>\mathbf{b}\ </math>, роўная
:: <math> \sqrt{\langle\mathbf{a}, \mathbf{a}\rangle\langle\mathbf{b},\mathbf{b}\rangle - \langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle^2}\ </math>

=== [[Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага]] ===
Для любых элементаў <math> \mathbf x</math> і <math> \mathbf y </math> лінейнай прасторы са скалярным здабыткам выконваецца няроўнасць [http://www.nsu.ru/education/funcan/node75.html] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20090227055701/http://nsu.ru/education/funcan/node75.html |date=27 лютага 2009 }}

<math>  \vert \langle x,y \rangle \vert ^2 \le \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle </math>

== Гісторыя ==

Скалярны здабытак быў уведзены [[Уільям Гамільтан|У. Гамільтанам]] у [[1846 год у навуцы|1846 годзе]]<ref>{{кніга|аўтар=Crowe M. J.|загаловак=A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System|год=1994|выдавецтва=Courier Dover Publications|старонак=270|старонкі=32|isbn=0486679101|спасылка=http://books.google.lt/books?id=y5-S5dmVqGIC&pg=PA32}}</ref> адначасова з [[вектарны здабытак|вектарным здабыткам]] у сувязі з [[кватэрніён]]амі — адпаведна, як скалярная і вектарная частка здабытку двух кватэрніёнаў, скалярная частка якіх роўная нулю<ref>{{артыкул|аўтар=Hamilton W. R.|загаловак=On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra|выданне=Philosophical Magazine. 3rd Series|год=1846|месца=London|том=29|старонкі=30|спасылка=http://archive.org/details/londonedinburghp29lond}}</ref>.

== Варыяцыі і абагульненні ==

Найпрасцейшым абагульненнем канечнамернага скалярнага здабытку ў [[Тэнзарная алгебра|тэнзарнай алгебры]] з’яўляецца [[Згортка тэнзара|згортка]] па паўтаральных індэксах. Аналагічнае абагульненне ў прынцыпе няцяжка зрабіць і ў бесканечнамерным выпадку (для бесканечнамерных прастор функцый — [[#Прыклады|гл. прыклады (вышэй)]]).

== Гл. таксама ==
* [[Псеўдаскалярны здабытак]]
* [[Вонкавы здабытак]]
* [[Вектарны здабытак]]
* [[Змяшаны здабытак]]
* [[Гільбертава прастора]]
* [[Метрычны тэнзар]]

{{зноскі}}

== Літаратура ==
* {{Крыніцы/БелЭн|14|Скалярны здабытак вектараў||434}}

== Спасылкі ==
{{commonscat-inline|Scalar product}}

{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Аналітычная геаметрыя]]
[[Катэгорыя:Лінейная алгебра]]
[[Катэгорыя:Функцыянальны аналіз]]
[[Катэгорыя:Вектарны аналіз]]