Прагляд зыходнага тэксту старонкі Ступенная функцыя

[[Выява:Puissance reelle.svg|thumb|350px|Ступенныя функцыі з рознымі паказчыкамі ступені]]
'''Ступе́нная'''{{sfn|БелЭн|2002}}, або '''ступе́невая<ref>Матэматычная энцыклапедыя. / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 330.</ref> фу{{націск}}нкцыя''' — [[функцыя]] выгляду <math>y=x^a</math>, дзе <math>a</math> (''паказчык'', або ''[[паказчык ступені]]'') — некаторы [[рэчаісны лік]]{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том I, §48: Важнейшие классы функций. }}. Да ступенных часта прылічваюць і функцыі выгляду <math>y=kx^a</math>, дзе ''k'' — нейкі множнік расцяжэння<ref>[[Марк Якаўлевіч Выгадскі|''Выгодский М. Я.'']] Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — С. 312.</ref>. Існуе таксама [[Камплексны лік|камплекснае]] абагульненне ступеневай функцыі. На практыцы паказчык ступені амаль заўсёды з’яўляецца [[Цэлы лік|цэлым]] ці [[Рацыянальны лік|рацыянальным лікам]].

== Рэчаісная ступенная функцыя ==

=== Абсяг вызначэння ===
* Калі паказчык ступені — [[цэлы лік]], то ступенную функцыю можна вызначыць на ўсёй [[Лікавая прамая|лікавай прамой]] (магчыма, акрамя нуля).
* Калі <math>a=\frac{p}{q}</math>, дзе <math>p, q</math> — узаемна простыя лікі, <math>q>0</math> — няцотны, то ступенная функцыя таксама вызначана пры любых рэчаісных ''x'' (магчыма, акрамя нуля).
* У агульным выпадку ступенная функцыя вызначана толькі пры <math>x>0</math> (у абсяг вызначэння можа ўваходзіць і нуль, гл. ніжэй).
* Калі <math>a>0</math>, то функцыя вызначана таксама і пры <math>x=0</math>.
* Пры <math>a<0</math> нуль ёсць асаблівым пунктам ступеннай функцыі.

=== Рацыянальны паказчык ступені ===
* Графікі ступеннай функцыі пры [[Натуральны лік|натуральным]] паказчыку ''n'' называюцца ''[[парабала]]мі парадку n''. Пры <math>a=1</math> атрымліваецца лінейная функцыя <math>y=kx</math>, называная [[Прамая прапарцыйнасць|''прамой прапарцыйнай залежнасцю'']].
* Графікі функцый выгляду <math>y=x^{-n}</math>, дзе ''n'' — натуральны лік, называюцца ''[[Гіпербала (матэматыка)|гіпербаламі]] парадку n''. Пры <math>a=-1</math> атрымліваецца функцыя <math>y=\frac {k}{x}</math>, называная [[Адваротная прапарцыйнасць|''адваротнай прапарцыйнай залежнасцю'']].
* Калі <math>a=\frac{1}{n}</math>, то функцыя ёсць [[Арыфметычны корань|арыфметычным коранем]] ступені ''n''.

Прыклад: з [[Законы Кеплера|трэцяга закону Кеплера]] вынікае, што перыяд ''T'' абарачэння [[планета|планеты]] вакол [[Сонца]] звязаны з [[вялікая паўвось|вялікай паўвоссю]] ''A'' яе [[арбіта|арбіты]] наступным чынам:
<math>T=kA^{3/2}</math> ([[паўкубічная парабала]]).

<gallery  widths="300px" heights="300px">
Выява:Puissance entière.svg|<center>Парабалы парадку ''n'':{{легенда|black|<math>n=0</math>}} {{легенда|blue|<math>n=1</math>}} {{легенда|red|<math>n=2</math>}} {{легенда|green|<math>n=3</math>}} {{легенда|orange|<math>n=4</math>}} {{легенда|magenta|<math>n=5</math>}} </center>
Выява:Puissance inverse.svg|<center>Гіпербалы парадку ''n'':{{легенда|blue|<math>n=-1</math>}} {{легенда|red|<math>n=-2</math>}} {{легенда|green|<math>n=-3</math>}}</center>
</gallery>

=== Уласцівасці ===
: {{Гл. таксама|Узвядзенне ў ступень}}

* Функцыя непарыўная і бясконца [[Дыферэнцавальная функцыя|дыферэнцавальная]] ва ўсіх кропках, у наваколлі якіх яна вызначана. Нуль, увогуле кажучы, ёсць асаблівым пунктам.
Напрыклад, функцыя <math>y=\sqrt{x}</math> вызначана ў нулі і яго правым наваколлі, але яе вытворная <math>y=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math> у нулі не вызначана.
* На прамежку <math>(0, \infty)</math> функцыя манатонна нарастае пры <math>a>0</math> і манатонна спадае пры <math>a<0</math>. Значэнні функцыі на гэтым прамежку дадатныя.
* [[Вытворная функцыі|Вытворная]]:
<math> \left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1}</math>.
* [[Першаісная]]:
** Калі <math>a \ne -1</math>, то <math> \int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C </math>
** Калі <math>a = -1</math>, маем <math> \int \frac {dx}{x} = \ln |x| + C </math>

== Камплексная ступенная функцыя ==
{{Асноўны артыкул|Камплексная ступенная функцыя}}

У агульным выпадку ступенная функцыя [[камплексны лік|камплекснай зменнай]] ''z'' азначаецца як{{sfn |Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления|1966|loc=Том II, стр. 526-527.|name=FICH2 }}:
: <math> y=z^c=e^{c \cdot \operatorname{Ln} (z)} </math>
Тут паказчык ступені ''c'' — некаторы камплексны лік. Значэнне функцыі, адпаведнае [[Камплексны лагарыфм|галоўнаму значэнню лагарыфму]], называецца галоўным значэннем ступені. Напрыклад, значэнне <math>i^i</math> роўнае <math>e^{-(4 k+1)\frac{\pi}{2}}</math>, дзе ''k'' — адвольны цэлы, а яго галоўнае значэнне роўнае <math>e^{i\ln(i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}</math>.

Камплексная ступенная функцыя істотна адрозніваецца ад свайго рэчаіснага адменніку. З-за мнагазначнасці [[Камплексны лагарыфм|камплекснага лагарыфму]] яна, увогуле кажучы, таксама мае бясконца многа значэнняў.
Аднак два выпадкі, важныя ў прыкладаннях, разглядаюцца асобна:
# Пры натуральным паказчыку ступені функцыя <math>y=z^n</math> адназначная і [[Рыманава паверхня|''n''-лістная]]<ref>
{{кніга
|аўтар=Свешников А. Г., Тихонов А. Н.
|загаловак=Теория функций комплексной переменной
|месца=М.
|выдавецтва=Наука
|год=1967
|старонак=304
|старонкі=88 }}
</ref>.
# Калі паказчык ступені — дадатны [[рацыянальны лік]], г.зн. (нескарачальны) дроб <math>\frac{p}{q}</math>, то функцыя будзе мець ''q'' розных значэнняў<ref name=FICH2/>.

== Гл. таксама ==
* [[Узвядзенне ў ступень]]
* [[Лагарыфм]]
* [[Мнагасклад]]

== Крыніцы ==
{{Крыніцы}}

== Літаратура ==
* {{крыніцы/БелЭн|15|Ступе́нная фу́нкцыя||223}}
* [https://adu.by/images/2021/06/Algebra-11kl-bel.pdf Алгебра: вучэб. дапам. для 11-га кл. устаноў агул. сярэд. адукацыі з беларус. мовай навучання] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20230627060400/https://adu.by/images/2021/06/Algebra-11kl-bel.pdf |date=27 чэрвеня 2023 }} / А. П. Кузняцова[і інш.]; пад рэд. праф. Л. Б. Шнэпермана; пер. з рус. мовы Н. М. Алганавай. — 2-е выд., выпр. і дап. — Мінск: [[Народная асвета (выдавецтва)|Нар. асвета]], 2013. — 287 с.: іл. — 16 100 экз. — ISBN 978-985-03-1983-8.
* {{кніга
  |загаловак=Математическая энциклопедия (в 5 томах)
  |месца=М.
  |год=1982
  |том=5
  |старонкі=208-209
  |спасылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu
  |выдавецтва=[[Большая Российская энциклопедия, издательство|Советская Энциклопедия]] }}
* {{кніга
  |аўтар=[[Грыгорый Міхайлавіч Фіхтэнгольц|Фихтенгольц Г. М.]]
  |загаловак=Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах
  |выданне=изд. 6-е
  |месца=М.
  |выдавецтва=Наука
  |год=1966
  |ref=Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления }}
* {{ВСЭ3|Степенная фунуция}}

== Спасылкі ==
* {{Commons|Category:Power and root functions}}

{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Элементарныя функцыі]]