Прагляд зыходнага тэксту старонкі Ступеняванне

{{Арыфметычныя аперацыі}}

'''Узвядзе́нне ў ступе́нь''' (ці '''падвышэ́нне да ступе́ні'''<ref name="МЭ" />), або '''ступеняванне'''<ref name="МЭ">
{{кніга
|аўтар         = 
|загаловак     = Матэматычная энцыклапедыя
|адказны       = Гал. рэд. В. Бернік
|спасылка      = 
|месца         = Мінск
|выдавецтва    = Тэхналогія
|год           = 2001
|том           = 
|старонак      = 
|старонкі      = 
|isbn          = 
}}
</ref> — [[арыфметычная аперацыя]] над двума лікамі:
'''[[Аснова, ступеняванне|асновай]]''' ''b'' і '''пака́зчыкам''' (або '''ступе́нню''') ''n''. На пісьме ступеняванне пазначаецца як
''b''<sup>''n''</sup>.
Калі ''n'' ёсць [[натуральны лік|натуральным лікам]], ступеняванне адпавядае кратнаму (паўтаральнаму) [[множанне|множанню]]; інакш кажучы, '''''b''''' ў ступені '''''n''''' — гэта здабытак '''''n''''' множнікаў, кожны з якіх роўны '''''b''''' (такі здабытак таксама называецца '''ступенню'''):
: <math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n.</math>

Тут відаць падабенства з аперацыяй [[множанне|множання]] на натуральны лік, якая адпавядае кратнаму [[складанне|складанню]]:
: <math>b \times n = \underbrace{b + \cdots + b}_n.</math>

Гістарычна, аперацыя ступенявання была спачатку вызначана для [[натуральны лік|натуральных лікаў]], і толькі потым, з цягам часу, яна была распаўсюджана на адмоўныя [[цэлы лік|цэлыя]] ступені (увабраўшы ў сябе аперацыю кратнага [[дзяленне|дзялення]]), на [[рацыянальны лік|рацыянальныя]] ступені (такім чынам, сюды была ўключана і аперацыя [[здабыванне кораня|здабывання кораня]]). Пазней ступеняванне для адвольных [[рэчаісны лік|рэчаісных]] ступеней было вызначана як [[непарыўны працяг]] з мноства [[рацыянальны лік|рацыянальных]] ступеней.

Паказчык ступені звычайна запісваюць як [[надрадковы знак]] справа ад асновы. Запіс ступенявання ''b''<sup>''n''</sup> можна чытаць наступным чынам:
: '' '''b''' ўзве{{націск}}дзенае ў '''n'''-ую ступе{{націск}}нь'',
: '' '''b''' ўзве{{націск}}дзенае ў ступе{{націск}}нь '''n''' '',
: '' '''b''' ў ступе{{націск}}ні '''n''' '',
: або коратка, '' '''b''' ў '''n'''-ай''.

Некаторыя ступені маюць свае ўласныя назвы:
: ''b''² звычайна называюць ''квадра́там'' ліку '''''b''''' і чытаюць як '' '''b''' ў квадраце'',
: ''b''³ называецца ''ку́бам'' ліку '''''b''''' і чытаюць як '' '''b''' ў кубе''.

Таксама варта падкрэсліць некаторую розніцу паміж тэрмінамі ''«ўзвядзенне ў ступень»'' і ''«ступеняванне»'':
# словазлучэнне «ўзвядзенне ў ступень» ужываецца, калі паказчык ступені — сталая велічыня, а аснова — зменная.
# слова «ступеняванне» выкарыстоўваюць, калі маюць на ўвазе, што паказчык з’яўляецца зменнай велічынёй, а аснова нязменная.
Аднак у якасці назвы аперацыі і ў выпадках, калі не трэба падкрэсліваць сталасць ці зменнасць аргументаў, аднолькава можна ўжываць і «ступеняванне», і «ўзвядзенне ў ступень».

Як адзначалася вышэй, ступень ''b''<sup>''n''</sup> можна вызначыць і для адмоўных цэлых ''n'', калі ''b'' не нуль. Не існуе натуральнага пашырэння ступенявання на ўсе рэчаісныя асновы ''b'' і паказчыкі ''n'', аднак калі аснова ''b'' з’яўляецца дадатным рэчаісным лікам, ступеняванне ''b''<sup>''n''</sup> можна вызначыць для ўсіх [[рэчаісны лік|рэчаісных]] і нават [[камплексны лік|камплексных]] паказчыкаў ''n'' з дапамогай [[паказнікавая функцыя|паказнікавай функцыі]] ''e''<sup>''z''</sup>. [[Трыганаметрычныя функцыі]] таксама можна выразіць праз камплекснае ступеняванне.

[[Матрычная паказнікавая функцыя|Ступеняванне матрыц]] выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм [[лінейныя дыферэнцыяльныя ўраўненні|лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў]].

Ступеняванне паўсюдна сустракаецца ў шматлікіх мадэлях і вылічэннях у самых разнастайных галінах навукі і прамысловасці, сюды можна ўключыць [[фізіка|фізіку]] ([[хвалі]], [[ядзерны распад]]), [[хімія|хімію]] ([[хімічная кінетыка]]), [[біялогія|біялогію]] ([[рост папуляцый]]), [[эканоміка|эканоміку]] ([[складаныя працэнты]]) і [[камп'ютарныя навукі]] ([[крыптаграфія з адкрытым ключом]]).

[[Файл:Expo02.svg|thumb|315px|Графікі ''y''=''b''<sup>''x''</sup> для розных асноў ''b'': аснова 10 (<span style="color:green">зялёны</span>), [[#Паказнікавая функцыя|аснова ''e'']] (<span style="color:red">чырвоны</span>), аснова 2 (<span style="color:blue">сіні</span>), і аснова ½ (<span style="color:cyan">блакітны</span>). Кожная крывая праходзіць праз пункт (0, 1), таму што любы ненулявы лік у нулявой ступені роўны адзінцы. Пры ''x''=1, значэнне ''y'' роўнае аснове.]]

== Цэлыя паказчыкі ==
Для ступенявання з цэлымі паказчыкамі патрэбна толькі [[элементарная алгебра]].

=== Натуральныя паказчыкі ===
''Фармальнае азначэнне'':

Ступені з натуральным паказчыкам можна вызначыць з дапамогай пачатковай умовы
: <math>b^1 = b</math>

і [[зваротныя суадносіны|зваротнай формулы]]
: <math>b^{n+1} = b^n \cdot b\,.</math>.

Са [[Спалучальная ўласцівасць|спалучальнасці]] [[множанне|множання]] вынікае, што для любых [[натуральны лік|натуральных]] ''m'' і ''n'',
: <math>b^{m+n} = b^m \cdot b^n\,.</math>

=== Адвольныя цэлыя паказчыкі ===
Пры ненулявых ''b'' і натуральных ''n'' зваротныя суадносіны з папярэдняга падраздзела можна перапісаць у выглядзе
: <math>b^{n} = \frac{b^{n+1}}{b}.</math>

Лічачы гэтыя суадносіны справядлівымі да ўсіх цэлых ''n'' і ненулявых ''b'', атрымліваем
: <math>\begin{align}
  b^0    &= \frac{b^{1}}{b} = 1, \\
  b^{-1} &= \frac{b^{0}}{b} = \frac{1}{b},
\end{align}</math>

ці больш агульна,
: <math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}\,.</math>

для любой ненулявой асновы ''b'' і любога цэлага паказчыка ''n''.

Варта адзначыць наступнае:
* Любы лік у першай ступені роўны самому сабе.
* Любы ненулявы лік у нулявой ступені роўны адзінцы; нулявы паказчык можна вытлумачыць як пусты здабытак, г.зн. здабытак, які не мае множнікаў.
* Прыведзеныя вышэй роўнасці ніяк не вызначаюць выраз 0<sup>0</sup>. Гэты выраз з’яўляецца [[нявызначанасць, матэматыка|нявызначанасцю]] і падрабязней разглядаецца [[#Нуль у нулявой ступені|ніжэй]].
* Узвядзенне нуля ў адмоўную ступень прадугледжвала б [[дзяленне на нуль]], таму нуль у адмоўнай ступені нявызначаны.

Тоеснасць
: <math>b^{m+n} = b^m b^n\,,</math>

спачатку вызначаная толькі для [[натуральны лік|натуральных]] ''m'' і ''n'', спраўджваецца для адвольных [[цэлы лік|цэлых]] ''m'' і ''n'', з тым толькі абмежаваннем, што ''m'' і ''n'' павінны быць дадатнымі, калі ''b'' — нуль.

=== Камбінаторнае вытлумачэнне ===
Для неадмоўных цэлых ''n'' і ''m'', ступень {{math|''n''<sup>''m''</sup>}} роўная [[магутнасць мноства|магутнасці]] мноства [[N-ка (тэорыя мностваў)|''m''-ак]] з ''n''-элементнага [[мноства]], або ліку ўсіх ''m''-літарных слоў, якія можна ўтварыць з дапамогай азбукі, складзенай з ''n'' букваў.

:{|
|-
| 0<sup>5</sup> = │ {} │ = 0
| Няма пяцёрак з пустога мноства (азбукі).
|-
| 1<sup>4</sup> = │ { (1,1,1,1) } │ = 1
| Існуе адзіная чацвёрка з адналітарнай азбукі.
|-
| 2³ = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8
| Існуе восем троек з двухэлементнага мноства.
|-
| 3² = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9
| Існуе дзевяць двоек з трохэлементнага мноства.
|-
| 4<sup>1</sup> = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4
| Існуе чатыры адзінкі з чатырохэлементнага мноства.
|-
| 5<sup>0</sup> = │ { () } │ = 1
| Існуе адзінае пустое слова (з букваў любой азбукі).
|}

{{гл. таксама|#Ступеняванне над мноствамі}}

=== Тоеснасці і ўласцівасці ===
* Калі аснова ''b'' не роўная нулю, наступныя [[тоеснасць, матэматыка|тоеснасці]] спраўджваюцца для любых цэлых паказчыкаў ''m'' і ''n'':
: <math>\begin{align}
      b^{m + n} &= b^m \cdot b^n, \\
        (b^m)^n &= b^{m\cdot n}, \\
  (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n.
\end{align}</math>

* Ступеняванне не [[перастаўляльнасць, матэматыка|перастаўляльнае]] ў адрозненне ад [[складанне|складання]] і [[множанне|множання]]. Таму, увогуле кажучы:
*: <math>
a^b \ne b^a.
</math>
*: Напрыклад, {{nowrap|1=2 + 3 = 3 + 2 = 5}} і {{nowrap|1=2·3 = 3·2 = 6}}, але {{nowrap|1=2<sup>3</sup> = 8}}, у той час як {{nowrap|1=3<sup>2</sup> = 9}}.

* Ступеняванне не [[спалучальнасць, матэматыка|спалучальнае]], тады як для складання і множання [[спалучальнасць, матэматыка|спалучальнасць]] ўласціва. У агульным выпадку:
*: <math>
b^{p^q} = b^{(p^q)} \ne (b^p)^q = b^{p \cdot q}.
</math>
*: Напрыклад, {{nowrap|1=(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9}} і {{nowrap|1=(2·3)·4 = 2·(3·4) = 24}}, аднак 2³ ў 4-й ступені роўнае 8<sup>4</sup> або 4,096, а 2 ў ступені 3<sup>4</sup> роўнае 2<sup>81</sup> або 2 417 851 639 229 258 349 412 352.

 Без дужак, якія змяняюць парадак вылічэнняў, па дамоўленасці парадак ступенявання зверху-ўніз, а НЕ знізу-ўверх.

''Заўвага'':
У вышэйпрыведзенай формуле пра парадак вылічэнняў можна здагадацца дзякуючы адрозненням у памерах шрыфту, якім пададзеныя паказчыкі ступені. Тым не менш, дамоўленасць распаўсюджваецца і на радковыя запісы ўзору ''b^p^q = b^(p^q) ≠ (b^p)^q'' (такое адлюстраванне ўласціва камп’ютарным сістэмам алгебры).

== Рацыянальныя паказчыкі ==
{{Асноўны артыкул|Арыфметычны корань}}

[[Файл:Root graphs.svg|right|thumb|300px|зверху ўніз: ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''², ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>.
Заўвага: для восей ''x'' і ''y'' розныя адзінкі даўжыні]]

'''Корань ''n''-й ступені''' з [[лік]]у ''b'' — такі лік ''x'', ''n''-ая ступень якога роўная ''b'': {{math|''x''<sup>''n''</sup> {{=}} ''b''}}.

Калі ''b'' — дадатны [[рэчаісны лік]], а ''n'' — [[натуральны лік|натуральны]], тады існуе адзінае рэчаіснае рашэнне ўраўнення {{math|''x<sup>n</sup>'' {{=}} ''b''}}. Гэтае рашэнне называецца [[Арыфметычны корань|'''арыфметычным коранем ступені ''n'' ''']] з ''b''. Ён абазначаецца як <math>\sqrt[n]{b}</math>, дзе сімвал √<span style="text-decoration:overline">&ensp;</span> — так званы '''радыкал'''; іншым шляхам гэта можна запісаць як {{math|''b''<sup>{{дроб|''n''}}</sup>}}. Напрыклад: 4<sup>1/2</sup> = 2, 8<sup>1/3</sup> = 2.

Калі кажуць корань ''n''-й ступені з дадатнага [[рэчаісны лік|рэчаіснага ліку]] ''b'', звычайна маюць на ўвазе '''арыфметычны корань ''n''-й ступені'''.

Калі ''n'' — [[Цотнасць, матэматыка|цотны]], то ўраўненне {{math|''x<sup>n</sup>'' {{=}} ''b''}} мае два рэчаісныя рашэнні пры дадатным ''b'': дадатны і адмоўны карані ''n''-й ступені.
Пры адмоўным ''b'' ураўненне не мае рашэнняў.

Пры няцотным ''n'' ураўненне {{math|''x<sup>n</sup>'' {{=}} ''b''}} мае адзінае рэчаіснае рашэнне. Яно дадатнае пры дадатным ''b'' і адмоўнае пры адмоўным ''b''.

Няхай {{math|{{дроб|''m''|''n''}}}} — [[нескарачальны дроб]].
: Пры цотных ''m'' значэнне ступені <math>b^{\frac{m}{n}}</math> дадатнае для любых рэчаісных ''b''.
: Калі ''m'' і ''n'' абодва няцотныя, то знак ступені супадае са знакам асновы.
: Калі ж ''m'' няцотны, а ''n'' цотны, то значэнне ступені можа быць і дадатным, і адмоўным пры дадатным ''b''.

Прыклады:
(−27)<sup>1/3</sup> = −3,
(−27)<sup>2/3</sup> = 9,
а 4<sup>3/2</sup> мае два карані 8 і −8.

Калі ''b'' адмоўны, а ''n'' цотны, пры вызначэнні ступені {{math|''b''<sup>''m''/''n''</sup>}} даводзіцца выкарыстоўваць [[уяўная адзінка|уяўную адзінку]] ''i'', як апісана ніжэй у раздзеле [[#Ступені камплексных лікаў|Ступені камплексных лікаў]]. Прычынай гэтага з’яўляецца адсутнасць рэчаісных рашэнняў ураўнення ''x''² = −1.

Такім чынам, ступень рэчаіснага ліку ''b'' з рацыянальным паказчыкам {{math|{{дроб|''m''|''n''}}}} (нескарачальны [[дроб]]) можна вызначыць праз цэлую ступень і корань:

: <math>b^\frac{m}{n} = \left(b^m\right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{b^m}</math>

дзе ''m'' — цэлы лік, а ''n'' — натуральны лік.

''Заўвага'': ужываючы ступенныя тоеснасці ў выпадку адмоўнага значэння кораня ''n''-ай ступені, нельга губляць пільнасці.
Напрыклад: выснова −27 = (−27)<sup>((2/3)⋅(3/2))</sup> = ((−27)<sup>2/3</sup>)<sup>3/2</sup> = 9<sup>3/2</sup> = 27
відавочна няправільная. Праблема, з якой мы тут сутыкнуліся, заключаецца ў адвольнасці выбару нейкага аднаго значэння кораня з мноства магчымых яго значэнняў. Яшчэ выразней гэта ж праблема выяўляецца пры вызначэнні ступеней камплексных лікаў (гл. раздзел [[#Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей|Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей]]).
З гэтай прычыны ў якасці значэння кораня ''n''-ай ступені варта браць значэнне [[арыфметычны корань|арыфметычнага кораня]].

== Рэчаісныя паказчыкі ==
Прыведзеныя вышэй для цэлых паказчыкаў [[#Тоеснасці і ўласцівасці|тоеснасці і ўласцівасці]] спраўджваюцца таксама і для дадатных рэчаісных лікаў з няцэлымі паказчыкамі. Аднак тоеснасць

: <math>(b^r)^s = b^{r\cdot s}</math>

нельга пашырыць на адмоўныя рэчаісныя асновы ''b'' (гл. [[#Рэчаіснае ступеняванне з адмоўнымі асновамі|Рэчаіснае ступеняванне з адмоўнымі асновамі]]). Непрыдатнасць гэтай тоеснасці ляжыць у аснове праблем са ступенямі камплексных лікаў, разгледжаных падрабязней у раздзеле [[#Непрыдатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей|Непрыдатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей]].

Пашырэнне ступенявання на рэчаісныя паказчыкі можна ажыццявіць або непарыўна працягваючы рацыянальныя ступені да рэчаісных, або выкарыстоўваючы [[паказнікавая функцыя|паказнікавую функцыю]] і адваротны ёй [[натуральны лагарыфм]].

=== Граніцы рацыянальных ступеней ===
А раз [[ірацыянальны лік]] можна прыблізіць [[рацыянальны лік|рацыянальным]], то ступеняванне дадатнага рэчаіснага ліку ''b'' с адвольным рэчаісным паказчыкам ''x'' можна вызначыць [[непарыўны працяг|непарыўным працягам]] згодна з правілам<ref name=Fihtengolc1>
{{кніга
|аўтар         = Г.М. Фихтенгольц
|загаловак     = Курс дифференциального и интегрального исчисления
|адказны       = 
|спасылка      = 
|месца         = Москва
|выдавецтва    = Наука
|год           = 1966
|том           = 1
|старонак      = 
|старонкі      = 37-39
|isbn          = 
}}
</ref>
: <math> b^x = \lim_{r \to x} b^r\quad(r\in\mathbb Q,\,x\in\mathbb R),</math>

дзе [[граніца паслядоўнасці|граніца]] бярэцца па ''r'', якія імкнуцца да ''x'', прабягаючы рацыянальныя значэнні. Гэта граніца існуе толькі для дадатных ''b''. З [[(ε, δ)-азначэнне граніцы|(ε, δ)-азначэння граніцы]] вынікае, што можна выбраць дастаткова малы прамежак вакол ''x'' так, што ўсе рацыянальныя ступені ўнутры яго будуць набліжаць рэчаісную ступень {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} з патрэбнай дакладнасцю.

Напрыклад, няхай {{math|''x'' {{=}} π}} і {{math|''b'' > 1}}. Тады каб атрымаць прамежкі, якія сцягваюцца да пункта і абмежаваныя рацыянальнымі ступенямі, (дзякуючы строгай манатоннасці рацыянальных ступеней) можна выкарыстаць бесканечнае дзесятковае прадстаўленне {{math|π {{=}} 3,14159...}}:
: <math>[b^3,b^4],\ [b^{3.1},b^{3.2}],\ [b^{3.14},b^{3.15}],\ [b^{3.141},b^{3.142}],\ [b^{3.1415},b^{3.1416}],\ [b^{3.14159},b^{3.14160}],\ \ldots.</math>

Гэтыя прамежкі збягаюцца да адзінага рэчаіснага ліку, абазначанага як {{math|''b''<sup>π</sup>}}. Гэты спосаб можна ўжываць для атрымання любой ірацыянальнай ступені ліку ''b''. Такім чынам, функцыя {{math|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}} вызначана для любога рэчаіснага ліку ''x''.

=== Паказнікавая функцыя ===
{{Асноўны артыкул|Паказнікавая функцыя}}

Вядомая матэматычная сталая ''[[лік e|e]]'' (таксама вядомая як [[лік Ойлера]] і прыблізна роўная 2,718) з’яўляецца асновай [[натуральны лагарыфм|натуральнага лагарыфма]]. І хоць ступеняванне ліку ''e'' можна разгледзець такім жа чынам, як і ступеняванне ўсіх іншых рэчаісных лікаў, такі падыход пакідае па-за ўвагай некаторыя прыгожыя і карысныя ўласцівасці. Сярод іншага, гэтыя ўласцівасці дазваляюць натуральным чынам абагульніць ступеняванне ліку ''e'' на іншыя віды паказчыкаў, такія як [[камплексны лік|камплексныя лікі]] ці, нават, [[Матрыца (матэматыка)|матрыцы]].

Як вынік, запіс {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} звычайна пазначае абагульненую '''паказнікавую функцыю''' {{math|exp(''x'')}}, якую можна вызначыць некалькімі раўназначнымі спосабамі, напрыклад як<ref name=EEM3>
{{кніга
|аўтар         = 
|загаловак     = Энциклопедия элементарной математики
|адказны       = Под ред. П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина
|спасылка      = http://www.math.ru/lib/book/djvu/encikl/enc-el-3.djvu
|месца         = Москва - Ленинград
|выдавецтва    = ГТТИ
|год           = 1952
|том           = 3 (Функции и пределы)
|старонак      = 
|старонкі      = 
|isbn          = 
}}
</ref>:
: <math>\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac x n \right)^n .</math>

Сярод іншых уласцівасцей функцыя {{math|exp(''x'')}} задавальняе паказчыкавую тоеснасць:
: <math>\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)</math>

Паказнікавая функцыя {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} вызначана пры ўсіх цэлых, дробных, рэчаісных і [[камплексны лік|камплексных]] значэннях ''x''.
Гэтае азначэнне можна выкарыстоўваць нават пры пашырэнні ступенявання на некаторыя нялікавыя велічыні, такія як [[матрычная паказнікавая функцыя|квадратныя матрыцы]] (у гэтым выпадку паказчыкавая тоеснасць спраўджваецца, толькі калі ''x'' і ''y'' [[Перастаўляльнасць, матэматыка|перастаўляльныя]]).

А раз {{math|exp(1) {{=}} ''e''}}, і функцыя {{math|exp(''x'')}} задавальняе паказчыкавую тоеснасць, то адразу атрымоўваем, што азначэнне функцыі {{math|exp(''x'')}} з дапамогай [[граніца паслядоўнасці|граніцы]] раўназначнае кратна-дамнажальнаму азначэнню {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} для цэлых ''x'', адсюль вынікае супадзенне пры ўсіх [[рацыянальны лік|рацыянальных]] паказчыках, а далей праз непарыўнасць і пры ўсіх [[рэчаісны лік|рэчаісных]] паказчыках.

=== Ступеняванне праз лагарыфмаванне ===
[[Натуральны лагарыфм]] ln(''x'') з’яўляецца [[адваротная функцыя|адваротнай функцыяй]] да паказнікавай функцыі ''e''<sup>''x''</sup>. Ён вызначаны пры ''b'' > 0 і задавальняе тоеснасць
: <math>b = e^{\ln b}</math>

З лагарыфмічных і паказчыкавых тоеснасцей вынікае, што для любога рэчаіснага ліку ''x'' справядліва тоеснасць
: <math>b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}.</math>

Гэту тоеснасць можна выкарыстаць<ref name=EEM3/> у якасці яшчэ аднаго азначэння рэчаіснай ступені ''b''<sup>''x''</sup>, якое ўзгоднена з вышэй прыведзеным азначэннем, заснаваным на выкарыстанні рацыянальных паказчыкаў і непарыўнасці. Азначэнне ступенявання праз лагарыфмаванне шырока ўжываецца ў камплексным аналізе, гл. ніжэй.

=== Рэчаісныя ступені з адмоўнымі асновамі ===
Ступені дадатных рэчаісных лікаў заўсёды з’яўляецца дадатнымі рэчаіснымі лікамі. Аднак ураўненне ''x''² = 4 мае два рашэнні: 2 і −2. Галоўным, або арыфметычным, значэннем кораня 4<sup>1/2</sup> ёсць 2, але −2 таксама дапушчальнае значэнне квадратнага кораня. Такім чынам, тут узнікае неадназначнасць. І калі ў азначэнні ступенявання дазволіць выніку гэтай аперацыі прымаць адмоўныя значэнні, то паводзіны вызначанай так ступені становяцца цяжка апісальнымі і губляюць пры гэтым шматлікія карысныя ўласцівасці.

Пры адмоўным ''b'' ні праз лагарыфмаванне, ні з дапамогай [[Ліміт (матэматыка)|граніцы]] па рацыянальных паказчыках нельга вызначыць {{math|''b''<sup>''r''</sup>}} як рэчаісны лік для ўсіх рэчаісных лікаў ''r''. Больш таго, {{math|''e''<sup>''r''</sup>}} з’яўляецца дадатным пры любым рэчаісным значэнні ''r'', таму {{math|ln(''b'')}} не вызначаны для {{math|''b'' ≤ 0}}.

Спосаб рацыянальных паказчыкаў нельга выкарыстаць для адмоўных значэнняў ''b'', таму што ён заснаваны на [[непарыўны працяг, матэматыка|непарыўнасці]]. Функцыя {{math|''f''(''r'') {{=}} ''b''<sup>''r''</sup>}} мае адзіны непарыўны працяг<ref name=Fihtengolc1/><ref name=EEM3/> з мноства рацыянальных лікаў на рэчаісныя лікі пры любым ''b'' > 0. Але пры ''b'' < 0 функцыя {{math|''f''(''r'')}} нават не з’яўляецца непарыўнай на мностве рацыянальных лікаў ''r'', для якіх яна вызначана.

Напрыклад, разгледзім ''b'' = −1. Корань ''n''-ай ступені з −1 роўны −1 пры любых няцотных натуральных ''n''. Так што пры няцотным натуральным ''n'' маем {{math|(−1)<sup>(''m''/''n'')</sup> {{=}} −1}} для няцотных ''m'', і {{math|(−1)<sup>(''m''/''n'')</sup> {{=}} 1}} маем для цотных ''m''. Адсюль атрымліваем, што мноства рацыянальных лікаў ''q'', для якіх {{math|(−1)<sup>''q''</sup> {{=}} 1}}, [[шчыльнае мноства|шчыльнае]] ў мностве рацыянальных лікаў, гэтак жа як і мноства тых ''q'', для якіх {{math|(−1)<sup>''q''</sup> {{=}} −1}}. Гэта азначае, што функцыя {{math|(−1)<sup>''q''</sup>}} разрыўная ў любым рацыянальным ліку ''q'', дзе яна вызначана.

Гэтыя, на першы погляд бязладныя, з’явы атрымліваюць стройнае апісанне пры пераходзе да камплексных ступеней. Так адвольныя [[#Ступені камплексных лікаў|камплексныя ступені]] адмоўных лікаў ''b'' можна вызначыць выбіраючы нейкае значэнне [[камплексны лагарыфм|''камплекснага'' лагарыфма]] ліку ''b''.

== Камплексныя ступені з дадатнымі рэчаіснымі асновамі ==

=== Уяўныя ступені з асновай ''e'' ===
{{Асноўны артыкул|Камплексная паказнікавая функцыя}}

[[Файл:ExpIPi.gif|300px|thumb|right|[[Паказнікавая функцыя|Паказнікавую функцыю]] {{math|''e''<sup>''z''</sup>}} можна вызначыць як [[Граніца паслядоўнасці|граніцу]] паслядоўнасці {{math|(1 + ''z''/''N'')<sup>''N''</sup>}} пры ''N'', накіраваным да бесканечнасці, і адсюль {{math|''e''<sup>''i''π</sup>}} ёсць граніцаю паслядоўнасці {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}}. На гэтай анімацыі ''N'' прымае нарастальныя значэнні ад 1 да 100. Вылічэнне {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}} падаецца як сукупны вынік ''N''-кратнага дамнажэння на [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]], дзе канцавы пункт адлюстроўвае бягучае месцазнаходжанне велічыні {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}}. Відаць, што пры нарастанні ''N'' значэнне {{math|(1 + ''i''π/''N'')<sup>''N''</sup>}} прыбліжаецца да гранічнага пункта −1. Як вынік, спраўджваецца тоеснасць {{math|''e''<sup>''i''π</sup> {{=}} −1}}, вядомая як [[тоеснасць Ойлера]].]]

Каб усвядоміць, што ўяўляе сабой выраз {{math|''e''<sup>''ix''</sup>}} для рэчаісных {{math|''x''}}, варта звярнуцца да геаметрычнага сэнсу аперацый над [[камплексны лік|камплекснымі лікамі]] і азначэння паказнікавай функцыі як граніцы. Разгледзім [[прамавугольны трохвугольнік]] {{math|(0, 1, 1 + ''ix''/''n'').}} Пры вялікіх значэннях ''n'' гэты трохвугольнік амаль тое ж, што і [[кругавы сектар]] с малым цэнтральным вуглом, роўным {{math|''x''/''n''}} [[радыян, матэматыка|радыянаў]]. Трохвугольнікі {{math|(0, (1 + ''ix''/''n'')<sup>''k''</sup>, (1 + ''ix''/''n'')<sup>''k''+1</sup>)}} узаемна [[Падобнасць (геаметрыя)|падобныя]] пры любых цэлых ''k''. Так што пры досыць вялікіх ''n'' значэнні {{math|(1 + ''ix''/''n'')<sup>''n''</sup>}} набліжаюцца да свайго [[гранічны пункт|гранічнага пункта]], які ляжыць на [[адзінкавая акружнасць|адзінкавай акружнасці]] і мае [[палярныя каардынаты]] {{math|(''r'', ''θ'') {{=}} (1, ''x'')}} (каардыната {{math|''r''}} азначае адлегласць паміж пунктам і пачаткам каардынат, каардыната {{math|''θ''}} ёсць [[палярны вугал]], які адлічваецца ад дадатнага прамяня [[лікавая прамая|рэчаіснай восі]]); [[дэкартавы каардынаты]] гэтага пункта роўныя {{math|(cos ''x'', sin ''x'')}}. Такім чынам, маем формулу
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x,</math>

якая называецца [[Формула Ойлера|формулай Ойлера]] і звязвае ступеняванне з [[трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычнымі функцыямі]] праз [[камплексныя лікі]].

''Заўвага'': прыведзеныя разважанні — не доказ формулы Ойлера, а ўсяго толькі так званыя «праўдападобныя», або «эўрыстычныя», разважанні.

Рашэнні ўраўнення {{math|''e''<sup>''z''</sup> {{=}} 1}} з’яўляецца кратнымі цэлымі ад {{math|2π''i''}}:
: <math>\{ z : e^z = 1 \} = \{ 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}.</math>

Ці больш агульна, калі спраўджваецца роўнасць {{math|e<sup>''v''</sup> {{=}} ''w''}}, то любое рашэнне ўраўнення {{math|''e''<sup>''z''</sup> {{=}} ''w''}} можна атрымаць складаючы {{math|''v''}} і нейкае цэлае кратнае ад {{math|2π''i''}}:
: <math>\{ z : e^z = w \} = \{ v + 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}.</math>

Такім чынам, камплексная паказнікавая функцыя з’яўляецца [[перыядычная функцыя|перыядычнай функцыяй]] з перыядам {{math|2π''i''}}.

Прасцей: {{math|''e''<sup>''i''π</sup> {{=}} −1}}; {{math|''e''<sup>''x'' + ''iy''</sup> {{=}} ''e''<sup>''x''</sup>(cos ''y'' + ''i'' sin ''y'')}}.

=== Трыганаметрычныя функцыі ===
{{Асноўны артыкул|формула Ойлера}}
З прыведзенай вышэй формулы Ойлера вынікае, што [[трыганаметрычныя функцыі]] [[сінус]] і [[косінус]] можна вызначыць праз [[паказнікавая функцыя|паказнікавую функцыю]]:
: <math>\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}; \qquad \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}</math>

Гістарычна [[сінус]] і [[косінус]] былі вызначаны з дапамогай геаметрычных паняццяў да вынаходніцтва [[камплексны лік|камплексных лікаў]]. Дзякуючы [[формула Ойлера|формуле Ойлера]] і ўласцівасцям [[паказнікавая функцыя|паказнікавай функцыі]] складаныя формулы [[трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычных функцый]] ад сумы можна ўключыць у адну простую паказчыкавую формулу
: <math>e^{i(x+y)}=e^{ix}\cdot e^{iy}.</math>

Выкарыстанне ступенявання з камплекснымі паказчыкамі дазваляе зводзіць трыганаметрычныя задачы да алгебраічных.

=== Камплексныя ступені з дадатнымі рэчаіснымі асновамі ===
Няхай ''b'' з’яўляецца дадатным [[рэчаісны лік|рэчаісным лікам]], а ''z'' ёсць [[камплексны лік]]. Тады ступень {{math|''b''<sup>''z''</sup>}} вызначаецца як {{math|''e''<sup>''z''·ln(''b'')</sup>}}, дзе {{math|''x'' {{=}} ln(''b'')}} з’яўляецца адзіным рашэннем ураўнення {{math|''e''<sup>''x''</sup> {{=}} ''b''}}. (Такім чынам, спосаб, прыдатны для рэчаісных паказчыкаў, працуе і ў выпадку камплексных паказчыкаў).

Напрыклад:
: 2<sup>''i''</sup> = ''e''<sup> ''i''·ln(2)</sup> = cos(ln(2)) + ''i''·sin(ln(2)) ≈ 0.76924 + 0.63896''i''
: ''e''<sup>''i''</sup> ≈ 0.54030 + 0.84147''i''
: 10<sup>''i''</sup> ≈ −0.66820 + 0.74398''i''
: (''e''<sup>2&pi;</sup>)<sup>''i''</sup> ≈ 535.49<sup>''i''</sup> ≈ 1

Тоеснасць <math>(b^z)^u=b^{zu}</math>, увогуле кажучы, не выконваецца для камплексных ступеней. Просты [[проціпрыклад]]:
: <math>(e^{2\pi i})^i=1^i=1\neq e^{-2\pi}=e^{2\pi i\cdot i}</math>

Аб прычынах гэтай з’явы гл. раздзел [[#Непрыдатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей]].

== Ступені камплексных лікаў ==
Спробы пашырыць ступеняванне на агульны выпадак камплексных паказчыкаў і камплексных асноў сутыкаюцца з цяжкасцямі. Пры гэтым прыйдзецца мець справу з [[мнагазначная функцыя|мнагазначнымі функцыямі]], якія прымаюць у пункце не адно значэнне, а адразу нейкае мноства значэнняў. Акрамя таго, адны са ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей будуць спраўджвацца толькі з пэўнымі ўдакладненнямі, а другія наогул стануць непрыгоднымі.

Пры апісанні мнагазначных функцый натуральным чынам узнікае паняцце [[Рыманава паверхня|рыманавай паверхні]]. Камплексныя ступені і лагарыфмы можна разглядаць як адназначныя функцыі на адпаведных [[Рыманава паверхня|рыманавых паверхнях]]. Рыманава паверхня мнагазначнай функцыі мнагапластовая, гэта значыць аднаму пункту на звычайнай камплекснай плоскасці адпавядае мноства пунктаў рыманавай паверхні. Аднак можна зрабіць такі разрэз камплекснай плоскасці, што рыманава паверхня распадзецца на асобныя пласты (або лісты), прычым кожнаму пункту камплекснай плоскасці на такім пласце будзе адпавядаць не больш за адзін пункт. Выбіраючы пэўны пласт рыманавай паверхні, мы тым самым выбіраем пэўную адназначную [[Галіна аналітычнай функцыі|галіну функцыі]]. Значэнне выбранай галіны мае разрыў уздоўж [[Разрэз (рыманава паверхня)|разрэзу]]. Таму звычайныя правілы для ступеней могуць прывесці нас да памылкі.

Паколькі [[камплексны лагарыфм]] з’яўляецца мнагазначнай функцыяй, то любая нерацыянальная ступень камплекснага ліку мае бесканечную колькасць магчымых значэнняў. Галоўнае значэнне выбіраецца з мноства ўсіх значэнняў так, каб яно супадала са значэннем звычайнай рэчаіснай ступені ў выпадку дадатных рэчаісных асноў і рэчаісных паказчыкаў.

Узвядзенне дадатных рэчаісных лікаў у камплексную ступень фармальна адрозніваецца ад узвядзення камплексных лікаў у камплексную ступень. Гэта выклікана ў першую чаргу тым, што для вызначэння першай аперацыі дастаткова звычайнага адназначнага [[Лагарыфм|рэчаіснага лагарыфма]], у той час як для другой неабходны мнагазначны [[камплексны лагарыфм]]. Тым не менш, камплекснае ступеняванне ўключае ў сябе і ступеняванне з дадатнымі рэчаіснымі асновамі.

=== Цэлыя ступені камплексных лікаў ===
{{Асноўны артыкул|Формула Муаўра}}

[[Файл:Polar to cartesian.svg|thumb|Месцазнаходжанне камплекснага ліку з модулем ''r'' і аргументам ''θ'']]

Пры цэлых паказчыках можна карыстацца азначэннем ступені, прыведзеным у раздзеле [[#Адвольныя цэлыя паказчыкі]]. Цэлая ступень камплекснага ліку з’яўляецца адназначнай функцыяй. Акрамя таго існуе [[формула Муаўра|цікавая формула]] для ступенявання камплексных лікаў у выпадку цэлых паказчыкаў.

Няхай ''n'' — [[цэлы лік]], і
: <math>
z = r (\cos\theta + i \sin\theta),
</math>
дзе {{math|''r'' {{=}} {{!}}''z''{{!}}}} — модуль камплекснага ліку {{math|''z''}}, {{math|''θ'' {{=}} arg ''z''}} — аргумент ліку {{math|''z''}}.

Тады згодна з [[формула Муаўра|формулай Муаўра]] цэлую ступень ліку {{math|''z''}} можна вылічыць як<ref name="М-ТАФ1"/>:
: <math>
w = z^n = r^n \left(\cos(n\theta) + \sin(n\theta)\right).
</math>

''Заўвага 1'': калі {{math|''n'' {{=}} 0}} прымаем па азначэнні {{math|''z''<sup>0</sup> {{=}} 1}}.

''Заўвага 2'': калі {{math|''z'' {{=}} 0}} аргумент {{math|arg 0}} не вызначаны.

=== Рацыянальныя ступені камплексных лікаў ===
{{Гл. таксама|Асноўная тэарэма алгебры}}
{{Гл. таксама|Арыфметычны корань}}

Рацыянальныя ступені камплексных лікаў з’яўляюцца рашэннямі пэўных [[Алгебраічнае ўраўненне|алгебраічных ураўненняў]]. А таму, з улікам [[асноўная тэарэма алгебры|асноўнай тэарэмы алгебры]], яны заўсёды маюць канечную колькасць значэнняў.

Спярша вызначым корань ''n''-ай ступені з камплекснага ліку.
'''Коранем ''n''-ай ступені''' з ліку {{math|''z''}} называецца любое рашэнне {{math|''w''}} ураўнення {{math|''w''<sup>''n''</sup> {{=}} z}}.
Згодна з [[асноўная тэарэма алгебры|асноўнай теарэмай алгебры]] гэтае ўраўненне мае ''n'' рашэнняў (калі {{math|''z'' {{=}} 0}}, то ўраўненне мае адзін ''n''-кратны корань). Напрыклад, квадратны корань {{math|''w'' {{=}} ''z''<sup>1/2</sup>}} з’яўляецца рашэннем ураўнення {{math|''w''<sup>2</sup> {{=}} ''z''}} і, адпаведна, мае два значэнні.

З [[формула Муаўра|формулы Муаўра]] вынікае, што ўсе значэнні кораня ''n''-й ступені можна вылічыць па формуле<ref name="М-ТАФ1">
{{кніга
|аўтар         = Маркушевич А.И.
|загаловак     = Теория аналитических функций.
|адказны       = 
|спасылка      = 
|месца         = 
|выдавецтва    = 
|год           = 
|том           = 1 (Начала теории)
|старонак      = 
|старонкі      = 
|isbn          = 
}}
</ref>:
: <math>
w = \sqrt[n]{z} = \underset{+}{\sqrt[n]{|z|}} \left(\cos\left(\frac{\arg z + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\arg z + 2k\pi}{n}\right)\right), \qquad k=0,1,\dots,n-1,
</math>
дзе <math>\scriptstyle \underset{+}{\sqrt[n]{|z|}}</math> — арыфметычны корань з абсалютнай велічыні [[камплексны лік|камплекснага ліку]] {{math|''z''}};
{{math|arg ''z''}} — [[галоўнае значэнне (камплексны аналіз)|галоўнае значэнне]] [[аргумент камплекснага ліку|аргумента]] ліку {{math|''z''}}, якое належыць прамежку {{math|(−π, π]}}.

[[Файл:Kreis5Teilung.svg|thumb|Карані пятай ступені з адзінкі (вяршыні пяцівугольніка, упісанага ў адзінкавую акружнасць)]]

Для любых {{math|''z''}}, не роўных нулю і бесканечнасці, гэта формула дае ''n'' розных значэнняў, якія ляжаць на акружыне радыуса <math>\scriptstyle \underset{+}{\sqrt[n]{|z|}}</math> і ўтвараюць [[правільны многавугольнік|правільны ''n''-вугольнік]].

Значэнне кораня ''n''-ай ступені, роўнае
: <math>
\underset{+}{\sqrt[n]{z}} = \underset{+}{\sqrt[n]{|z|}} \left(\cos \frac{\arg z}{n} + i \sin \frac{\arg z}{n} \right),
</math>
называецца '''галоўным значэннем'''. Няцяжка пераканацца, што для дадатных рэчаісных лікаў галоўнае значэнне кораня супадае з арыфметычным коранем ''n''-ай ступені.

Нарэшце, вызначым ступень з адвольным рацыянальным паказчыкам як:
: <math>
z^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{z}\right)^m.
</math>

=== Адвольныя ступені камплексных лікаў ===
{{гл. таксама|Камплексны лагарыфм}}

Ступеняванне ў выпадку адвольных [[камплексны лік|камплексных]] асноў і паказчыкаў вызначаецца праз [[камплексны лагарыфм|камплексны натуральны лагарыфм]]<ref name="М-ТАФ1"/>:
: <math>
w = a^z = e^{z \cdot \operatorname{Ln} a},
</math>
дзе {{math|Ln ''a''}} — камплексны лагарыфм ліку {{math|''a''}}.

Варта заўважыць: раз [[камплексны лагарыфм]] — [[мнагазначная функцыя]], то ступеняванне камплекснага ліку, ўвогуле кажучы, з’яўляецца мнагазначнай аперацыяй.

Запішам аснову {{math|''a''}} ў паказчыкавай форме
: <math>
a = r e^{i\theta} = e^{\ln(r) + i\theta},
</math>
дзе {{math|''r'' {{=}} {{!}}''a''{{!}}}} — абсалютная велічыня (модуль) ліку {{math|''a''}}, {{math|''θ'' {{=}} arg ''a''}} — галоўнае значэнне аргумента ліку {{math|''a''}}.

З улікам таго, што {{math|Ln ''a'' {{=}} {ln ''r'' + ''θi'' + 2''kπi'' : ''k'' - цэлы лік}}}, ступеняванне ліку {{math|''a''}} прымае выгляд
: <math>
w = a^z = e^{z\cdot(\ln r + \theta i + 2k\pi i)}.
</math>

Адсюль відаць, што пры [[ірацыянальны лік|ірацыянальным]] паказчыку {{math|z}} ступень камплекснага ліку мае бесканечна многа значэнняў.
Такім чынам, каб вылічыць пэўнае значэнне ступені, найперш трэба выбраць нейкую [[Галіна мнагазначнай функцыі|галіну]] камплекснага лагарыфма (выбраць пэўнае {{math|''k''}}).

'''Прыклады ступенявання камплексных лікаў'''

У прыведзеных прыкладах пераважна выкарыстоўваецца галоўнае значэнне лагарыфма. Абсяг вызначэння галоўнага значэння — гэта [[камплексная плоскасць]] з разрэзам уздоўж адмоўнага напрамку рэчаіснай восі і выкалатым нулём. Пры гэтым галоўнае значэнне аргумента {{math|''θ''}} належыць прамежку {{math|(−π, π]}}. Каб вылічыць {{math|''i''<sup>''i''</sup>}}, запішам {{math|''i''}} ў паказчыкавай і алгебраічнай формах:
: <math>\begin{align}
  i &= 1 \cdot e^{\frac{1}{2} i \pi} \\
  i &= 0 + 1i
\end{align}</math>

Падстаўляючы ў формулу ступенявання, атрымліваем:
: <math>
i^i = e^{i\cdot\frac{i \pi}{2}} = e^{-\frac{1}{2}\pi} \approx 0.2079.
</math>

Гэткім жа чынам, каб вылічыць {{math|(−2)<sup>3 + 4''i''</sup>}}, запішам лік −2 ў паказчыкавай форме,
: <math>-2 = 2e^{i \pi}</math>

і выкарыстаем вышэйпрыведзеную формулу
: <math>(-2)^{3 + 4i} = e^{(3+4i)\cdot(\ln(2) + i\pi)} = e^{3\ln(2)-4\pi + i (3\pi+4\ln(2))} \approx (2.602 - 1.006 i) \cdot 10^{-5}</math>

Значэнне камплекснай ступені залежыць ад таго, якая галіна выкарыстоўваецца. Напрыклад, калі пры вылічэнні {{math|''i''<sup>''i''</sup>}} у якасці значэння {{math|Ln ''i''}} ўзяць {{math|{{дроб|5πi|2}}}}, значэнне ступені будзе роўным {{math|''e''<sup>−{{дроб|5π|2}}</sup>}}; у той час як галоўнае значэнне ступені {{math|''i''<sup>''i''</sup>}}, вылічанае вышэй, раўняецца {{math|''e''<sup>−{{дроб|π|2}}</sup>}}. Мноства ўсіх магчымых значэнняў велічыні {{math|''i''<sup>''i''</sup>}} задаецца як:
: <math>\begin{align}
  i   &= e^{\frac{1}{2} i\pi + i 2 \pi k}, \qquad k \isin \mathbb{Z} \\
  i^i &= e^{i \left(\frac{1}{2} i\pi + i 2 \pi k\right)} = e^{-\left(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi k\right)}
\end{align}</math>

Такім чынам, існуе бесканечна многа магчымых значэнняў {{math|''i''<sup>''i''</sup>}}, па адным для кожнага цэлага ''k''. Усе яны з’яўляецца рэчаіснымі лікамі, так што можна сказаць, што {{math|''i''<sup>''i''</sup>}} мае бесканечна многа рэчаісных значэнняў.

=== Непрыдатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей ===
{{Гл. таксама|Камплексны лагарыфм}}

Некаторыя тоеснасці для ступеней і лагарыфмаў, справядлівыя ў выпадку рэчаісных лікаў, непрыдатныя для камплексных лікаў. Прычынай гэтага ёсць тое, што нельга вызначыць камплексныя лагарыфмы і камплексныя ступені так, каб яны былі адназначнымі і ўзгодненымі са сваімі рэчаіснымі адпаведнікамі, і захоўвалі пры гэтым усе свае суадносіны, справядлівыя ў рэчаісным выпадку.

Прыклады непрыдатнасці тоеснасцей:

* Тоеснасць {{math|ln(''b''<sup>''x''</sup>) {{=}} ''x'' · ln ''b''}} праўдзіцца пры любых дадатных рэчаісных ''b'' і любых рэчаісных ''x''. Аднак для [[Галоўнае значэнне (камплексны аналіз)|галоўнай галіны]] [[камплексны лагарыфм|камплекснага лагарыфма]] ма{{націск}}ем
*:: <math> i\pi = \ln(-1) = \ln\left[(-i)^2\right] \neq 2\ln(-i) = 2\left(-\frac{i\pi}{2}\right) = -i\pi</math>
*: Тоеснасць не будзе выконвацца, якую б галіну лагарыфма мы не ўзялі. З вышэйпрыведзенага прыклада можна было б зрабіць выснову, што:
*:: <math>\ln(w^z) \equiv z \cdot \ln(w) \pmod{2 \pi i}</math>
*: Але гэта тоеснасць таксама несправядлівая, калі разглядаць {{math|ln(''x'')}} як мнагазначную функцыю. Магчымыя значэнні велічыні {{math|ln(''w''<sup>''z''</sup>)}} утрымліваюць значэнні {{math|''z'' · ln ''w''}} як [[падмноства]]. Няхай цяпер {{math|ln(''x'')}} абазначае галоўнае значэнне лагарыфма, а {{math|Ln(''x'')}} — мноства ўсіх магчымых значэнняў лагарыфма. Тады
*:: <math>\begin{align}
 \operatorname{Ln}\left(w^z\right) &= \left\{ z \cdot \ln(w) + z \cdot 2 \pi i m + 2 \pi i n : m, n\in\Z \right\} \\
      z \cdot \operatorname{Ln}(w) &= \left\{ z \cdot \ln(w) + z \cdot 2 \pi i m : m \in\Z \right\}
    \end{align}</math>
* Тоеснасці {{math|(''bc'')<sup>''x''</sup> {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>''c''<sup>''x''</sup>}} і {{math|(''b''/''c'')<sup>''x''</sup> {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>/''c''<sup>''x''</sup>}} спраўджваюцца, калі ''b'' і ''c'' з’яўляецца дадатнымі рэчаіснымі лікамі, а ''x'' з’яўляецца рэчаісным лікам. Аднак, калі пры вылічэнні ступеней выкарыстоўваць галоўныя значэнні, можна атрымаць наступныя супярэчнасці:
*:: <math>1 = (-1\times -1)^\frac{1}{2}   \not = (-1)^\frac{1}{2}(-1)^\frac{1}{2} = -1,</math>
*:: <math>i = (-1)^\frac{1}{2} = \left (\frac{1}{-1}\right )^\frac{1}{2} \not = \frac{1^\frac{1}{2}}{(-1)^\frac{1}{2}} = \frac{1}{i} = -i.</math>
*: З другога боку, калі ''x'' — [[цэлы лік]], тоеснасці справядлівыя для ўсіх ненулявых камплексных лікаў.

* Тоеснасць {{math|(e<sup>''x''</sup>)<sup>''y''</sup> {{=}} e<sup>''xy''</sup>}} справядліва для ўсіх рэчаісных лікаў ''x'' і ''y''. Але дапушчэнне справядлівасці тоеснасці і для камплексных лікаў прыводзіць да [[супярэчнасць, матэматыка|супярэчнасці]], заўважанай у 1827 годзе [[Томас Клаўзен, матэматык|Томасам Клаўзенам]]<ref name="Clausen1827">
{{артыкул
 |аўтар         = Steiner J, Clausen T, Abel NH.
 |загаловак     = Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen
 |спасылка      = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=270662
 |мова          = 
 |выданне       = Journal für die reine und angewandte Mathematik
 |тып           = 
 |год           = 1827
 |том           = 2
 |нумар         = 
 |старонкі      = 286–287
 |doi           = 
 |issn          = 
}}
</ref>:
*: Для любога цэлага ''n'' маем:
*:# <math>e^{1 + 2 \pi i n} = e^{1} e^{2 \pi i n} = e \cdot 1 = e,</math>
*:# <math>\left( e^{1+2\pi i n} \right)^{1 + 2 \pi i n} = e,</math>
*:# <math>e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^{2} n^{2}} = e,</math>
*:# <math>e^1 e^{4 \pi i n} e^{-4 \pi^2 n^2} = e,</math>
*:# <math>e^{-4 \pi^2 n^2} = 1.</math>
*: Але гэта няпраўда для любога ''n'', не роўнага нулю.
*: У прыведзеным разважанні паўстае шэраг праблем:
*: Галоўная памылка — гэта змена парадку ступенявання пры пераходзе ад другога радка да трэцяга: якое са значэнняў выбіраецца ў якасці галоўнага.
*: Аднак з погляду мнагазначнасці першая памылка была зроблена раней. У першым радку лік ''e'' разглядаецца як рэчаісны, тады як вынік {{math|''e''<sup>1+2π''in''</sup>}} з’яўляецца камплексным лікам, які лепш запісаць у выглядзе {{math|''e''+0''i''}}. Падстаноўка камплекснага ліку замест рэчаіснага ў другім радку надае ступені мнагазначнасць. Змена парадку ступенявання пры пераходзе ад другога радка да трэцяга таксама ўплывае на мноства значэнняў выніку. Таму <math>\scriptstyle (e^z)^w \;\ne\; e^{z w}</math>, а дакладней спраўджваецца роўнасць <math>\scriptstyle (e^z)^w \;=\; e^{(z \,+\, 2\pi i n) w}</math>, дзе апошні выраз прымае розныя значэнні ў залежнасці ад цэлых ''n''.

== Нуль у нулявой ступені ==
[[Файл:X^y.png|right|thumb|300px|Графік {{math|1=''z'' {{=}} ''x''<sup>''y''</sup>}}. Чырвоныя крывыя (на якіх ''z'' мае сталае значэнне) даюць розныя [[граніца функцыі|граніцы]], калі {{math|(''x'',''y'')}} прыбліжаецца да {{math|(0,0)}}. Зялёныя ж крывыя (якія маюць канечны сталы нахіл: {{math|1=''y'' {{=}} ''ax''}}) усе даюць [[граніца функцыі|граніцу]] 1.]]

=== Дыскрэтныя паказчыкі ступені ===
Часцей за ўсё, у абставінах, дзе паказчыкі прымаюць [[дыскрэтная велічыня|дыскрэтныя]] (звычайна, цэлыя) значэнні, вытлумачэнне значэння 0<sup>0</sup> як адзінкі спрашчае формулы і здымае патрэбу ва ўвядзенні адмысловых выпадкаў у тэарэмах. (Гл. наступны падраздзел пра абставіны, дзе паказчыкі прымаюць значэнні з непарыўнага мноства.)
Напрыклад:
* Разгляд выразу {{math|''b''<sup>0</sup>}} як [[пусты здабытак, матэматыка|пустога здабытку]] надзяляе яго значэннем 1, нават калі {{math|''b'' {{=}} 0}}.
* [[#Камбінаторнае вытлумачэнне|У камбінаторыцы]] выраз 0<sup>0</sup> тлумачыцца як колькасць пустых [[n-ка (тэорыя мностваў)|0-ак]] (нулёвак), складзеных з элементаў пустога мноства. Існуе адзіная пустая нулёўка.
* Гэтак жа [[#Ступеняванне над мноствамі|тэорыя мностваў вытлумачвае]] выраз 0<sup>0</sup> як лік функцый з пустога мноства ў пустое. Існуе адзіная такая функцыя<ref name="Bourbaki">
{{кніга
|аўтар         = Н. Бурбаки.
|загаловак     = Начала математики. Теория множеств.
|адказны       = 
|спасылка      = 
|месца         = Москва
|выдавецтва    = Мир
|год           = 1965
|том           = 
|старонак      = 
|старонкі      = 
|isbn          = 
}} III.§ 3.5
</ref>, а іменна [[пустая функцыя]]<ref>
якая пералівае з пустога ў парожняе :)
</ref>.
* Пішучы <math>\scriptstyle \sum a_nx^n</math> для [[мнагачлен]]аў і [[ступенны рад|ступенных радоў]], мяркуюць, што {{math|0<sup>0</sup> {{=}} 1}}. Тоеснасці на ўзор <math>\scriptstyle \frac{1}{1-x} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} x^n</math> і <math>\scriptstyle e^{x} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>, а таксама [[біном Ньютана]] <math>\scriptstyle (1 \,+\, x)^n \;=\; \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k</math> справядлівыя для {{math|''x'' {{=}} 0}} толькі пры ўмове 0<sup>0</sup> = 1 <ref>
«Некаторыя падручнікі пакідаюць велічыню 0<sup>0</sup> нявызначанай з тае прычыны, што функцыі {{math|''x''<sup>0</sup>}} і {{math|0<sup>''x''</sup>}} маюць розныя [[граніца функцыі|гранічныя значэнні]], калі ''x'' імкнецца да 0. Але гэта памылка. Неабходна вызначыць {{math|''x''<sup>0</sup> {{=}} 1}} пры ўсіх {{math|''x''}} дзеля таго, каб біномная тэарэма спраўджвалася, калі ''x'' = 0, ''y'' = 0, і/або ''x'' = −''y''. Біномная тэарэма завельмі важная, каб яе адвольна абмяжоўваць! І, наадварот, функцыя {{math|0<sup>''x''</sup>}} зусім неістотная».
{{кніга
|аўтар         = Рональд Грэхэм, Дональд Кнут, Орэн Паташник
|загаловак     = Конкретная математика. Основание информатики
|частка        = "Биномиальные коэффициенты"
|адказны       = 
|спасылка      = 
|месца         = Москва
|выдавецтва    = Мир
|год           = 1998
|том           = 
|старонак      = 
|старонкі      = 188
|isbn          = 5-03-001793-3
}}
</ref>.
* У [[дыферэнцыяльнае злічэнне|дыферэнцыяльным злічэнні]] правіла дыферэнцавання [[ступеневая функцыя|ступеневай функцыі]] <math>\scriptstyle \frac{d}{dx} x^n \;=\; nx^{n-1}</math> выконваецца для ''n'' = 1 у пункце {{math|''x'' {{=}} 0}} толькі пры ўмове 0<sup>0</sup> = 1.

=== У аналізе ===
З другога боку, калі выраз 0<sup>0</sup> узнікае пры спробе вызначыць [[граніца функцыі|граніцу]] <math>\scriptstyle \lim_{x\to 0} f(x)^{g(x)}</math>, яго трэба разглядаць як [[нявызначанасць, матэматыка|нявызначанасць]].
* [[Ліміт (матэматыка)|Граніцу]] выразу часта можна вылічыць, замяніўшы падвыразы іхнімі [[Ліміт (матэматыка)|граніцамі]], ці проста падставіўшы гранічныя значэнні аргумента. Калі ж выраз пры такой падстаноўцы страчвае сэнс, яго называюць [[нявызначанасць, матэматыка|нявызначанасцю]]<ref name="МЭ"/>. На самай справе, калі ''f''(''t'') і ''g''(''t'') з’яўляецца рэчаіснымі функцыямі і абедзве імкнуцца да 0 (пры ''t'', накіраваным да рэчаіснага ліку або ±∞), і акрамя таго ''f''(''t'')>0, функцыя {{math|''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup>}} не абавязана імкнуцца да 1. У залежнасці ад ''f'' і ''g'', [[граніца функцыі|граніца]] выразу {{math|''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup>}} можа быць любым неадмоўным рэчаісным лікам або +∞, ці можа проста не існаваць. Напрыклад, усе прыведзеныя ніжэй функцыі выглядаюць як {{math|''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup>}}, дзе {{math|''f''(''t'')}},{{math|''g''(''t'')&nbsp;→&nbsp;0}} пры [[аднабаковая граніца функцыі|{{math|''t''&nbsp;→&nbsp;0<sup>+</sup>}}]], аднак іхнія [[граніца функцыі|гранічныя значэнні]] розныя:
:: <math> \lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t}}\right)^{at} = e^{-a}</math>.

: Такім чынам, выраз 0<sup>0</sup> з’яўляецца нявызначанасцю. Такія паводзіны паказваюць, што функцыя ад двух зменных {{math|''x''<sup>''y''</sup>}}, хоць і непарыўная на мностве {{math|{(''x'',''y''): ''x'' > 0}}}, але не можа быць [[непарыўная функцыя|непарыўна]] працягнута ні на адно мноства, якое ўтрымлівае пункт (0,0), бо няма спосабу несупярэчліва вызначыць 0<sup>0</sup>.
* На [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]] функцыя {{math|''f''(''z'',''w'') {{=}} ''z''<sup>''w''</sup>}} вызначаецца для ненулявых ''z'' згодна з {{math|''z''<sup>''w''</sup> {{=}} ''e''<sup>''w'' Ln ''z''</sup>}}. Аднак ніводная галіна функцыі {{math|Ln ''z''}} не вызначана ў пункце {{math|''z'' {{=}} 0}}.

== Зноскі ==
{{reflist|2}}

== Літаратура ==
* {{крыніцы/БелЭн|15|Ступе́нь|[[Аляксей Адамавіч Гусак|Гусак А. А.]]|224}}

{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Элементарныя функцыі]]
[[Катэгорыя:Элементарная матэматыка]]
[[Катэгорыя:Арыфметычныя аперацыі]]