Прагляд зыходнага тэксту старонкі Трохвугольнік

{{Значэнні|Трохвугольнік (значэнні)}}
[[Файл:Triangle with notations 2.svg|250px|right|thumb|Стандартныя абазначэнні]]
[[Файл:Euler diagram of triangle types-ru.svg|250px|right|thumb|Дыяграма Эйлера для тыпаў трыкутнікаў.]]
'''Трохвуго́льнік'''{{sfn|БелЭн|2002}}{{sfn|МатЭн|2001}}{{sfn|Слоўнік|1993}}, '''трохкутнік'''{{sfn|Слоўнік|1993}} — [[геаметрычная фігура]], утвораная трыма [[адрэзак|адрэзкамі]], якія злучаюць тры [[пункт]]ы, што не ляжаць на адной [[прамая|прамой]]. Гэтыя адрэзкі называюцца '''старанамі''' (бакамі) трохвугольніка, а пункты, злучаныя старанамі, — яго '''вяршынямі'''.

Трохвугольнік — найпрасцейшы з [[многавугольнік]]аў.

Вяршыні трохвугольніка звычайна абазначаюцца вялікімі лацінскімі літарамі (A, B, C), велічыні вуглоў пры адпаведных вяршынях — грэчаскімі літарамі (α, β, γ), а даўжыні процілеглых старон — маленькімі лацінскімі літарамі (a, b, c).

Трохвугольнік з’яўляецца [[шматграннік]]ам. У еўклідавай геаметрыі трохвугольнік адназначна задае [[плоскасць]]. Усе трохвугольнікі з’яўляюцца плоскімі фігурамі.

== Класіфікацыя трохвугольнікаў ==
{| align="right" class="standard"
|+
! colspan="3" |Віды трохвугольнікаў паводле велічыні вуглоў
|-----
| align="center" |[[Файл:Triangle-acute.svg|120px|Востравугольны трохвугольнік]]<br />Востравугольны
| align="center" |[[Файл:Triangle-obtuse.svg|120px|Тупавугольны трохвугольнік]]<br />Тупавугольны
| align="center" |[[Файл:Triangle-right.svg|120px|Прамавугольны трохвугольнік]]<br />Прамавугольны
|-----
|+
|}

=== Паводле велічыні вуглоў ===
Раз сума вуглоў трохвугольніка роўная 180°, то не менш чым два вуглы ў трохвугольніку павінны быць вострымі (меншымі за 90°). Вылучаюць наступныя віды трохвугольнікаў:
* Калі ўсе вуглы трохвугольніка вострыя, то трохвугольнік завецца '''востравугольным''';
* Калі адзін з вуглоў трохвугольніка тупы (большы за 90°), то трохвугольнік завецца '''тупавугольным''';
* Калі адзін з вуглоў трохвугольніка прамы (роўны 90°), то трохвугольнік завецца '''прамавугольным'''. Дзве стараны, якія ўтвараюць прамы вугал, завуцца '''катэтамі''', а старана, процілеглая прамому вуглу, завецца '''гіпатэнузай'''.

{| align="right" class="standard"
|+
! colspan="3" |Віды трохвугольнікаў паводле колькасці роўных старон
|-----
| align="center" |[[Файл:Triangle-scalene.svg|119px|Рознастаронні трохвугольнік]]<br />Рознастаронні
| align="center" |[[Файл:Triangle-isosceles.svg|120px|Раўнабедраны трохвугольнік]]<br />Раўнабедраны
| align="center" |[[Файл:Triangle-equilateral.svg|120px|Роўнастаронні трохвугольнік]]<br />Роўнастаронні
|-----
|+
|}

=== Паводле колькасці роўных старон ===
* '''Рознастароннім''' называецца трохвугольнік, у якога даўжыні старон папарна розныя.
* '''[[Раўнабедраны трохвугольнік|Раўнабедраным]]''' завецца трохвугольнік, у якога дзве стараны роўныя. Гэтыя стораны завуцца '''бакавымі''', трэцяя старана завецца '''асновай'''. У раўнабедраным трохвугольніку вуглы пры аснове роўныя. [[Вышыня трохвугольніка|Вышыня]], [[медыяна трохвугольніка|медыяна]] і [[бісектрыса трохвугольніка|бісектрыса]] раўнабедранага трохвугольніка, апушчаныя на аснову, супадаюць.
* '''[[Роўнастаронні трохвугольнік|Роўнастароннім]]''' завецца трохвугольнік, у якога ўсе тры стараны роўныя. У роўнастароннім трохвугольніку ўсе вуглы роўныя 60°, а цэнтры [[упісаная акружнасць|упісанай]] і [[апісаная акружнасць|апісанай акружнасцей]] супадаюць.

== Няроўнасць трохвугольніка ==
Стораны трохвугольніка нельга задаваць адвольна, яны звязаныя наступнымі няроўнасцямі
* <math>a<b+c</math>
* <math>b<c+a</math>
* <math>c<a+b</math>
Калі хаця б у адной з гэтых суадносін мае месца роўнасць, трохвугольнік называецца '''выраджаным'''. Далей усюды маецца на ўвазе нявыраджаны выпадак.

== Прыкметы роўнасці трохвугольнікаў ==
Трохвугольнік адназначна можна вызначыць па наступных тройках асноўных элементаў:
* a, b, c (роўнасць па трох старанах);
* a, b, γ (роўнасць па дзвюх старанах і вуглу паміж імі);
* a, β, γ (роўнасць па старане і двух прылеглых вуглах).

== Адрэзкі і акружнасці, звязаныя з трохвугольнікам ==
[[Акружнасць]], датычная ўсіх трох старон трохвугольніка, завецца яго '''[[упісаная акружнасць|упісанай акружнасцю]]'''. Яна вызначана адназначна. Акружнасць, якая праходзіць праз усе тры вяршыні трохвугольніка, завецца яго '''[[апісаная акружнасць|апісанай акружнасцю]]'''. Апісаная акружнасць таксама вызначана адназначна.

'''Медыянай''' трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завецца адрэзак, які злучае гэту вяршыню з сярэдзінай процілеглай стараны. Усе тры медыяны трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт перасячэння называецца '''[[цэнтроід]]ам''' або цэнтрам цяжару трохвугольніка. Апошняя назва звязана з тым, што ў трохвугольніка, зробленага з аднароднага матэрыялу, [[цэнтр цяжару]] знаходзіцца ў пункце перасячэння медыян. Цэнтроід дзеліць кожную медыяну ў адносіне 1:2, калі лічыць ад асновы медыяны.

Перпендыкуляр, апушчаны з вяршыні трохвугольніка на процілеглую старану або яе працяг, завецца '''[[вышыня|вышынёй]]''' трохвугольніка. Тры вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які называецца '''[[ортацэнтр]]ам''' трохвугольніка.

'''[[Бісектрыса]]й''' трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завуць адрэзак, які злучае гэту вяршыню з пунктам на процілеглай старане і дзеліць вугал пры дадзенай вяршыні папалам. Бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, і гэты пункт супадае з [[інцэнтр|цэнтрам упісанай акружнасці]].

У раўнабедраным трохвугольніку бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя да асновы, супадаюць. Справядліва і адваротнае: калі бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя з адной вяршыні, супадаюць, то трохвугольнік раўнабедраны. Калі трохвугольнік рознастаронні, то для любой яго вяршыні бісектрыса, праведзеная з яе, ляжыць паміж медыянай і вышынёй, праведзенымі з той жа вяршыні.

Сярэдзінныя перпендыкуляры да старон трохвугольніка таксама перасякаюцца ў адным пункце, які супадае з цэнтрам апісанай акружнасці.

'''[[Пазаўпісаная акружнасць|Пазаўпісанай акружнасцю]]''' завецца акружнасць, датычная аднае стараны трохвугольніка і працягу дзвюх іншых старон.

Сярэдзіны трох старон трохвугольніка, асновы трох яго вышынь і сярэдзіны трох адрэзкаў, якія злучаюць яго вяршыні з артацэнтрам, ляжаць на адной акружнасці, якая называецца '''[[акружнасць дзевяці пунктаў|акружнасцю дзевяці пунктаў]]'''.

У любым трохвугольніку цэнтр цяжару, артацэнтр, цэнтр апісанай акружнасці і цэнтр акружнасці дзевяці пунктаў ляжаць на адной прамой, якая называецца '''[[прамая Эйлера|прамою Эйлера]]'''.

== Суадносіны ў трохвугольніку ==
Калі вядомыя тры велічыні з шасці (тры стараны і тры вуглы), то астатнія можна знайсці па наступных формулах:

=== Тэарэма сінусаў ===
{{Асноўны артыкул|Тэарэма сінусаў}}

Справядлівыя наступныя суадносіны паміж даўжынямі старон і сінусамі адпаведных процілеглых вуглоў:
: <math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R, </math>
дзе {{math|''R''}} — радыус апісанай акружнасці.

Гэтыя суадносіны называюцца [[Тэарэма сінусаў|тэарэмаю сінусаў]].
Сярод іншага, з тэарэмы вынікае, што калі a < b < c, то α < β < γ.

=== Тэарэма косінусаў ===
{{Асноўны артыкул|Тэарэма косінусаў}}

Ведаючы дзве стараны трохвугольніка і вугал паміж імі, можна вылічыць трэцюю старану па формуле:
: c² = a² + b² — 2ab cos γ.
Гэта формула называецца [[Тэарэма косінусаў|тэарэмаю косінусаў]] і з’яўляецца абагульненнем [[Тэарэма Піфагора|тэарэмы Піфагора]].

=== Тэарэма пра суму вуглоў трохвугольніка ===
{{Асноўны артыкул|Тэарэма аб суме вуглоў трохвугольніка}}

Сума вуглоў любога трохвугольніка раўняецца 180° (π радыян):
: α + β + γ = 180° ([[Пі|π]])
Гэта сцвярджэнне раўназначнае [[аксіёма паралельнасці Еўкліда|аксіёме паралельнасці Еўкліда]].

=== Іншыя суадносіны ===
Метрычныя суадносіны ў трохвугольніку, прыведзеныя для трохвугольніка <math>\triangle ABC:</math>

: <math>{a\over b}={a_L\over b_L}</math>
: <math>l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L} 
= \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}</math>
: <math>m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}</math>
: <math>h_c = b\sin\alpha = a\sin\beta = \frac {2S}{c}</math>
: <math>\ d^2 = R^2 - 2Rr</math> — [[Формула Эйлера (для трохвугольніка)|формула Эйлера]]
: <math>\frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} 
= \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1</math>
'''Дзе:'''
: <math>\ l_a, l_b, l_c</math> — адпаведна бісектрысы вуглоў <math>A</math>, <math>B</math> і <math>C</math>,
: <math>\ a_L, b_L</math> — адрэзкі, на якія бісектрысы <math>\ l_c</math> дзеліць старану <math>\ c</math>,
: <math>\ m_a, m_b, m_c</math> — медыяны, праведзеныя адпаведна да старон <math>a</math>, <math>b</math> і <math>c</math>,
: <math>\ h_a, h_b, h_c</math> — вышыні, апушчаныя адпаведна на стораны <math>a</math>, <math>b</math> і <math>c</math>,
: <math>\ r</math> — радыус [[упісаная акружнасць|упісанай акружнасці]],
: <math>\ R</math> — радыус [[апісаная акружнасць|апісанай акружнасці]],
: <math>p=\frac {a+b+c}{2}</math> — паўперыметр,
: <math>\ S</math> — плошча,
: <math>\ d</math> — адлегласць паміж цэнтрамі ўпісанай і апісанай акружнасцей.

== Плошча трохвугольніка ==
Найвядомейшая і найпрасцейшая формула:
: <math>S=\frac{1}{2}bh_b</math>
'''Дзе:'''
: <math>\ b</math> — даўжыня асновы трохвугольніка (старана, да якой праведзены перпендыкуляр)
: <math>\ h_b</math> — вышыня, праведзеная да стараны <math>\ b</math>,

Гэтай формулай зручна карыстацца, калі можна лёгка знайсці вышыню.

[[Файл:Triangle.TrigArea.svg|frame|left|Трыганаметрычны спосаб вылічэння вышыні ''h''.]]

=== Трыганаметрычны спосаб ===
Вышыню трохвугольніка можна вылічыць з выкарыстаннем [[трыганаметрыя|трыганаметрычных]] формул. У адпаведнасці з абазначэннямі на выяве злева, вышыня роўная <math>\ h_b = a \sin \gamma</math>. Калі падставіць вышыню ў формулу <math>S= \frac{1}{2}bh_b</math>, атрымаем:
: <math>S =  \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha  = \frac{1}{2}ca\sin \beta.</math>
Акрамя таго, <math>\sin \alpha = \sin ( \pi - \alpha ) = \sin (\beta + \gamma),</math>, што справядліва і для іншых двух вуглоў:
: <math>S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).</math>

=== З выкарыстаннем вектараў ===
Плошчу [[паралелаграм]]а можна вылічыць з дапамогай [[Вектар (матэматыка)|вектараў]]. Няхай вектары ''AB'' і ''AC'' накіраваны адпаведна ад ''A'' да ''B'' і ад ''A'' да ''C''. Тады плошча паралелаграма ''ABDC'' роўная ''|AB × AC|'', г.зн. лікаваму значэнню [[вектарнае здабытак|вектарнага здабытка]] ''AB'' і ''AC''. ''|AB × AC|'' роўны ''h · AC'', дзе ''h'' — вышыня паралелаграма.

Плошча трохвугольніка ''ABC'' роўная палове плошчы паралелаграма ''S = ½|AB × AC|''.

Плошчу трохвугольніка ''ABC'' таксама можна вылічыць як [[скалярны здабытак]] вектараў.
: <math>
\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} \,.
</math>

=== Выкарыстанне каардынат ===
Калі пункт А размешчаны ў пункце пачатку адліку (0, 0) [[Дэкартава сістэма каардынат|дэкартавай каардынатнай сістэмы]], а каардынаты іншых двух пунктаў B = (''x''<sub>B</sub>, ''y''<sub>B</sub>) і C = (''x''<sub>C</sub>, ''y''<sub>C</sub>), тады плошчу ''S'' можна вылічыць як палавіну [[абсалютная велічыня|абсалютнага значэння]] [[Вызначнік (алгебра)|вызначніка]]:
: <math>S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|. </math>
Ці ў агульным выпадку:
: <math>S=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\  y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big|. </math>
У трохмернай прасторы плошча трохвугольніка {A = (''x''<sub>A</sub>, ''y''<sub>A</sub>, ''z''<sub>A</sub>), B = (''x''<sub>B</sub>, ''y''<sub>B</sub>, ''z''<sub>B</sub>) і C = (''x''<sub>C</sub>, ''y''<sub>C</sub>, ''z''<sub>C</sub>)} роўная корню квадратнаму з сумы квадратаў адпаведных праекцый на тры галоўныя плоскасці (для якіх ''x'' = 0 або ''y'' = 0 або ''z'' = 0):
: <math>S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 }. </math>

=== Формула Герона ===
Форма трохвугольніка адназначна вызначаецца трыма старанамі. Адпаведна, для таго каб вылічыць плошчу дастаткова ведаць даўжыні старон. Паводле [[Формула Герона|формулы Герона]]:
: <math>S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},</math> дзе <math>p=\frac {a+b+c}{2}</math> — '''паўперыметр'''.

Іншы спосаб запісу формулы Герона:
: <math> S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}.</math>

=== Іншыя формулы ===
:# <math>S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr = (p-b)r_b</math>
:# <math>S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}</math>
:# <math>S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}</math>
:# <math>S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}</math>
:# <math>S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} [x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)] </math> у дадзенай формуле варта звярнуць увагу на абход вяршынь, калі йсці па гадзіннікавай стрэлцы, то атрымаецца тая ж плошча, але з адмоўным знакам
:# <math>S_{\triangle ABC}=r^2+2rR</math> — для прамавугольнага трохвугольніка
'''Дзе:'''
: <math>p=\frac {a+b+c}{2}</math> — напаўперыметр,
: <math>\ r</math> — радыус [[упісаная акружнасць|упісанай акружнасці]],
: <math>\ r_b</math> — радыус [[Пазаўпісаная акружнасць|пазаўпісанай акружнасці]], датычны да стараны <math>\ b,</math>
: <math>\ R</math> — радыус [[апісаная акружнасць|апісанай акружнасці]],
: <math>\ (x_A,y_A) ; (x_B,y_B) ; (x_C,y_C) </math> — каардынаты вяршынь трохвугольніка.

== Крыніцы ==
{{крыніцы}}

== Літаратура ==
* {{крыніцы/БелЭн|15|Трохвуго́льнік||59}}
* {{Кніга|загаловак=Матэматычная энцыклапедыя|адказны=Гал. рэд. [[Васіль Іванавіч Бернік|В. Бернік]]|месца=Мн.|выдавецтва=Тэхналогія|год=2001|старонак=496|тыраж=1000|isbn=985-458-059-8|ref=МатЭн|частка=Трохвуго́льнік у эўклідавай геаметрыі|старонкі=342—343}}
* {{Кніга|загаловак=Руска-беларускі матэматычны слоўнік: [больш за 630 слоў і словазлучэнняў]|адказны=Лабачэня, Г. Я., Шчыракоў, А. М.; [[Мінскі дзяржаўны педагагічны інстытут імя А. М. Горкага]]|месца=Мн.|выдавецтва=МДПІ|год=1993|старонак=21|тыраж=100|ref=Слоўнік|старонкі=19}}
* {{ВСЭ3|Треуго́льник прямолинейный|26|129}}
* {{крыніцы/Математический энциклопедический словарь|Треуго́льник в евклидовой геометрии|587—589|Иванов А. Б.}}

== Спасылкі ==
{{Commons|Category:Triangles|выгляд=міні}}

{{ВС}}
{{Многавугольнікі}}

[[Катэгорыя:Многавугольнікі]]