Прагляд зыходнага тэксту старонкі Фактарыял

<div class="thumb tright">
{|class="wikitable" style="margin:0; text-align: right;"
! <math>n</math>
! <math>n!</math>
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 1
|-
| 2 || 2
|-
| 3 || 6
|-
| 4 || 24
|-
| 5 || 120
|-
| 10 || 3.628.800
|-
| 20 || 2,432… · 10<sup>18</sup>
|-
| 50 || 3,041… · 10<sup>64</sup>
|-
| 100 || 9,332… · 10<sup>157</sup>
|}
</div>
'''Фактарыя́л ліку {{math|''n''}}''' ({{lang-lat|factorialis}} — дзеючы, множачы; абазначаецца '''{{math|''n''}}!''', чытаецца ''эн фактарыя́л'') — здабытак усіх [[Натуральны лік|натуральных]] лікаў ад 1 да {{math|''n''}} уключна:
: <math>n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_{i=1}^n i.</math>

Напрыклад:
:<math>5 ! = 5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120. </math>

Па азначэнню лічаць 0! = 1. Фактарыял вызначаны толькі для [[Цэлы лік|цэлых]] неадмоўных лікаў. 

Паслядоўнасць фактарыялаў неадмоўных цэлых лікаў пачынаецца так:
: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, {{formatnum:40320}}, {{formatnum:362880}}, {{formatnum:3628800}}, {{formatnum:39916800}}, {{formatnum:479001600}}, {{formatnum:6227020800}},  {{formatnum:87178291200}}, {{formatnum:1307674368000}}, {{formatnum:20922789888000}}, {{formatnum:355687428096000}}, {{formatnum:6402373705728000}}, {{formatnum:121645100408832000}}, {{formatnum:2432902008176640000}}, … ({{OEIS|A000142}})

Фактарыялы часта выкарыстоўваюцца ў [[камбінаторыка|камбінаторыцы]], [[тэорыя лікаў|тэорыі лікаў]] і [[функцыянальны аналіз|функцыянальным аналізе]]. 

Як функцыя, фактарыял вельмі хутка нарастае. Ён расце хутчэй, чым [[мнагачлен]] любой ступені, і хутчэй, чым [[паказчыкавая функцыя]] (але павольней, чым двайная экспаненцыяльная функцыя <math>e^{e^n}</math>).

== Уласцівасці ==

=== Зваротная формула ===
: <math>n!= \begin{cases}
1 & n = 0,\\
n \cdot (n-1)! & n > 0.
\end{cases}</math>

=== Камбінаторнае вытлумачэнне ===
У [[камбінаторыка|камбінаторыцы]] фактарыял натуральнага ліку {{math|''n''}} вытлумачваецца як колькасць [[перастаноўка|перастановак]] (упарадкаванняў) [[мноства|мноства]] з {{math|''n''}} элементаў. Напрыклад, для мноства {''A'',''B'',''C'',''D''} з 4-х элементаў існуе 4! = 24 перастаноўкі:
 ABCD  BACD  CABD  DABC
 ABDC  BADC  CADB  DACB
 ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
 ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
 ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
 ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Камбінаторны сэнс фактарыяла служыць абгрунтаваннем тоеснасці 0! = 1, бо [[пустое мноства]] можна ўпарадкаваць толькі адным спосабам.

=== Сувязь з гама-функцыяй ===
[[Файл:Factorial05.jpg|400px|thumb|Амплітуда і фаза фактарыяла камплекснага аргумента.]]
Фактарыял звязаны з [[Гама-функцыя|гама-функцыяй]] ад цэлалікавага аргумента суадносінамі:
: <math>n! = \Gamma(n+1).</math>
Такім чынам, гама-функцыю разглядаюць як абагульненне фактарыяла для дадатных [[Рэчаісны лік|рэчаісных лікаў]]. 

Шляхам [[аналітычны працяг|аналітычнага працягу]] яе таксама пашыраюць і на ўсю [[камплексная плоскасць|камплексную плоскасць]], за выключэннем [[Полюс, камплексны аналіз|асаблівых пунктаў]] пры <math>n=-1, -2, -3\ldots.</math>

[[File:Generalized factorial function.svg|thumb|right|325px|Пі-функцыя, вызначаная для ўсіх рэчаісных лікаў, акрамя адмоўных цэлых, і роўная фактарыялу пры натуральных значэннях аргумента.]]
Больш непасрэдным абагульненне фактарыяла на мноства рэчаісных (і камплексных) лікаў з'яўляецца [[пі-функцыя]], вызначаная як

:<math>\Pi(z)=\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d}t\,.</math>

Паколькі <math>\Pi(z) = \Gamma(z+1) \,,</math> то пі-функцыя натуральнага ліку супадае з яго фактарыялам: <math>\Pi(n) = n!.</math> Як фактарыял, пі-функцыя задавальняе зваротныя (рэкурсіўныя) суадносіны
:<math>\Pi(z) = z\Pi(z-1)\,.</math>

=== Формула Стырлінга ===
{{main|Формула Стырлінга}}

'''[[Формула Стырлінга]]''' — [[асімптатычная ацэнка|асімптатычная формула]] для вылічэння фактарыяла:
: <math>n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4} + \frac{163879}{209018880 n^5} + \frac{5246819}{75246796800 n^6} + O\left(n^{-7}\right)\right),</math>
гл. [[O-вялікае]]. Каэфіцыенты гэтага раскладання даюць {{OEIS|A001163}} (лічнікі) і {{OEIS|A001164}} (назоўнікі).

У многіх выпадках для прыбліжанага значэння фактарыяла дастаткова разглядаць толькі галоўны член формулы Стырлінга:
: <math>n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
Пры гэтым можна сцвярджаць, што
: <math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}.</math>

Формула Стырлінга дазваляе атрымліваць прыбліжаныя значэнні фактарыялаў вялікіх лікаў без непасрэднага перамнажэння паслядоўнасці натуральных лікаў. Так, з дапамогаю формулы Стырлінга лёгка падлічыць, што 

* 100! ≈ 9,33×10<sup>157</sup>;
* 1000! ≈ 4,02×10<sup>2567</sup>;
* {{formatnum:10000}}! ≈ 2,85×10<sup>{{formatnum:35659}}</sup>.

=== Раскладанне на простыя лікі ===

Кожны [[просты лік]] {{math|''p''}} ўваходзіць у [[фактарызацыя|раскладанне]] {{math|''n''!}} на простыя множнікі ў ступені
: <math>\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor + \ldots.</math>
Такім чынам,
: <math>n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},</math>
дзе здабытак бярэцца па ўсіх простых ліках. Няцяжка бачыць, што для ўсякага простага {{math|''p''}}, большага за {{math|''n''}}, адпаведны множнік у здабытку роўны 1, а таму здабытак можна браць толькі па простых {{math|''p''}}, не большых за {{math|''n''}}.

=== Іншыя ўласцівасці ===
* Для натуральнага ліку {{math|''n''}}
*: <math>n!^2 \geqslant n^n \geqslant n! \geqslant n.</math>

== Абагульненні ==

=== Двайны фактарыял ===
'''Двайны фактарыял''' ліку {{math|''n''}} абазначаецца {{math|''n''!!}} і вызначаецца як здабытак усіх натуральных лікаў у адрэзку [1,{{math|''n''}}], маючых тую ж [[цотныя і няцотныя лікі|цотнасць]] што і {{math|''n''}}. Такім чынам,
: <math>(2k)!! = 2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k\cdot k!,</math>
: <math>(2k+1)!! = 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k+1) = \prod_{i=0}^{k} (2i+1) = \frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!} = \frac{(2k+1)!}{(2k)!!}.</math>
Па азначэнню прымаюць 0!! = 1.

Паслядоўнасць значэнняў {{math|''n''!!}} пачынаецца так:
: 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945,  3840, {{formatnum:10395}}, {{formatnum:46080}}, {{formatnum:135135}}, {{formatnum:645120}}, {{formatnum:2027025}}, {{formatnum:10321920}}, {{formatnum:34459425}}, {{formatnum:185794560}}, {{formatnum:654729075}}, {{formatnum:3715891200}}, {{formatnum:13749310575}}, {{formatnum:81749606400}}, {{formatnum:316234143225}}, {{formatnum:1961990553600}}, {{formatnum:7905853580625}}, {{formatnum:51011754393600}}, … ({{OEIS|A006882}}).

=== Кратны фактарыял ===
'''{{math|''m''}}-кратны фактарыял''' ліку {{math|''n''}} абазначаецца <math>\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m</math> і вызначаецца наступным чынам:

Няхай лік {{math|''n''}} можна прадставіць у выглядзе <math>n=mk-r,</math> дзе <math>k \in \mathbb{Z},</math> <math>r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}.</math> Тады<ref name="avantaplus">«Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.</ref>

:<math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r).</math> 

Двайны фактарыял з'яўляецца асобным выпадкам {{math|''m''}}-кратнага фактарыяла для {{math|''m''}} = 2.

Кратны фактарыял звязаны з гама-функцыяй наступнымі суадносінамі<ref name="prooflink">[http://www.wolframalpha.com/input/?i=product+%28m*i-r%29%2C+i%3D1..k wolframalpha.com].</ref>:
:<math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^{k} (mi-r)=m^k \cdot \frac {\Gamma \left (k-\frac {r} {m} +1 \right )} {\Gamma \left ( 1- \frac {r} {m} \right)}.</math>

=== Спадаючы фактарыял ===

'''Спадаючым фактарыялам''' (ці '''няпоўным фактарыялам''') называецца выраз
: <math>(n)_k = n^{\underline{k}} = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}.</math>
Спадаючы фактарыял дае лік [[размяшчэнне|размяшчэнняў]] з {{math|''n''}} па {{math|''k''}}.

=== Нарастаючы фактарыял ===

'''Нарастаючым фактарыялам''' называецца выраз
: <math>n^{(k)} = n^{\overline{k}} = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}.</math>

=== Прымарыял ===

'''Прымарыял''' ({{lang-en|primorial}}) ліку {{math|''n''}} абазначаецца {{math|''n''#}} і вызначаецца як здабытак усіх [[просты лік|простых лікаў]], не большых чым ''n''. Напрыклад,
: 11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.

Паслядоўнасць прымарыялаў (уключаючы <math>{\textstyle{1\# \equiv 1}}</math>) пачынаецца так:
: [[1 (лік)|1]], [[2, лік|2]], [[6 (лік)|6]], [[30, лік|30]], [[210, лік|210]], [[2310, лік|2310]], {{formatnum:30030}}, {{formatnum:510510}}, {{formatnum:9699690}}, {{formatnum:223092870}}, {{formatnum:6469693230}}, {{formatnum:200560490130}}, {{formatnum:7420738134810}}, {{formatnum:304250263527210}}, {{formatnum:13082761331670030}}, {{formatnum:614889782588491410}}, {{formatnum:32589158477190044730}}, {{formatnum:1922760350154212639070}}, … ({{OEIS|A002110}}).

=== Суперфактарыялы ===
[[Нейл Слоан]] і {{Не перакладзена|Сайман Плоуф||en|Simon Plouffe}} у 1995 годзе вызначылі '''суперфактарыял''' як здабытак першых {{math|''n''}} фактарыялаў. Згодна з гэтым азначэннем, суперфактарыял чатырох роўны 

: <math> \operatorname{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,</math>

(устоянага абазначэння няма, таму выкарыстоўваецца функцыянальнае).

Такім чынам,
: <math>
  \operatorname{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.
 </math>

Паслядоўнасць суперфактарыялаў лікаў <math>n \geqslant 0</math> пачынаецца так:
: 1, 1, 2, 12, 288, {{formatnum:34560}}, {{formatnum:24883200}}, … ({{OEIS|A000178}}).

Ідэя была абагульнена ў 2000 годзе {{Не перакладзена|Генры Ботамлі||en|Henry Bottomley}}, што прывяло да '''гіперфактарыялаў''' ({{lang-en|Superduperfactorial}}), якія з'яўляюцца здабыткам першых {{math|''n''}} суперфактарыялаў. Паслядоўнасць гіперфактарыялаў лікаў <math>n \geqslant 1</math> пачынаецца так:

: 1, 1, 2, 24, 6912, {{formatnum:238878720}}, {{formatnum:5944066965504000}},  {{formatnum:745453331864786829312000000}}, {{formatnum:3769447945987085350501386572267520000000000}}, {{formatnum:6916686207999802072984424331678589933649915805696000000000000000}} … ({{OEIS|A055462}})

Працягваючы [[зваротная паслядоўнасць|рэкурэнтна]], можна вызначыць '''фактарыял кратнага ўзроўню''', ці {{math|''m''}}-узроўневы фактарыял ліку {{math|''n''}}, як здабытак першых {{math|''n''}} ({{math|''m''}}−1)-узроўневых фактарыялаў, г. зн.
: <math>\operatorname{mf}(n,m) = \operatorname{mf}(n-1,m)\operatorname{mf}(n,m-1)=\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}, </math>
дзе <math>\operatorname{mf}(n,0)=n</math> для <math>n>0</math> і <math>\operatorname{mf}(0,m)=1.</math>

=== Субфактарыял ===
{{main|Субфактарыял}}

'''Субфактарыял''' !{{math|''n''}} вызначаецца як колькасць [[беспарадак, перастаноўка|беспарадкаў]] парадку {{math|''n''}}, г. зн. перастановак {{math|''n''}}-элементнага [[мноства]] без [[нерухомы пункт|нерухомых пунктаў]].

== Гл. таксама ==
* [[Фактарыён]]

== Крыніцы ==
{{крыніцы}}

== Літаратура ==
* {{крыніцы/БелЭн|16|Фактарыя́л||306}}
* {{Кніга|загаловак=Матэматычная энцыклапедыя|адказны=Гал. рэд. [[Васіль Іванавіч Бернік|В. Бернік]]|месца=Мн.|выдавецтва=Тэхналогія|год=2001|старонак=496|тыраж=1000|isbn=985-458-059-8|ref=МатЭн|частка=Фактарыя́л|старонкі=360}}
* {{Кніга|загаловак=Руска-беларускі матэматычны слоўнік: [больш за 630 слоў і словазлучэнняў]|адказны=Лабачэня, Г. Я., Шчыракоў, А. М.; [[Мінскі дзяржаўны педагагічны інстытут імя А. М. Горкага]]|месца=Мн.|выдавецтва=МДПІ|год=1993|старонак=21|тыраж=100|ref=Слоўнік|старонкі=19}}
* {{крыніцы/МатЭС|Факториа́л|606}}
* {{Кніга|загаловак=Толковый словарь математических терминов : (Около 1800 терминов) : [Пособие для учителей]|адказны=[[Алег Васілевіч Мантураў|О. В. Мантуров]], Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин ; под ред. проф. В. А. Диткина|месца=М.|выдавецтва=Просвещение|год=1965|старонак=539|тыраж=102000|мова=ru|ref=ТСМТ|частка=Факториа́л|старонкі=478}}

{{Матэматычныя знакі}}
{{Бібліяінфармацыя}}
[[Катэгорыя:Цэлалікавыя паслядоўнасці]]
[[Катэгорыя:Тэорыя лікаў]]
[[Катэгорыя:Камбінаторыка]]