Прагляд зыходнага тэксту старонкі E (лік)

{{lowercase}}
{{не блытаць|Пастаянная Эйлера — Маскероні}}
[[Image:Exp derivative at 0.svg|right|frame|Паказана некалькі функцый выгляду {{math|''f''(''x'') {{=}} ''a''<sup>''x''</sup>}} з рознымі значэннямі асновы {{math|''a''}}.
Лік {{math|''e''}} — адзіная аснова, пры якой вытворная функцыі {{math|''f''(''x'') {{=}} ''a''<sup>''x''</sup>}} у пункце {{math|''x'' {{=}} 0}} раўняецца 1. Дзеля параўнання паказаны графікі для асноў 2 і 4.<br />
Сіняя крывая: {{math|''e''<sup>''x''</sup>}};<br />
пункцірная крывая: {{math|2<sup>''x''</sup>}};<br />
штрыхавая крывая: {{math|4<sup>''x''</sup>}}.<br />
На рысунку відаць, што чырвоная прамая, праведзеная праз пункт {{math|(0,1)}} з нахілам 1, не з'яўляецца [[датычная|датычнай]] да графікаў апошніх дзвюх функцый.]]

Лік {{Лцн|{{math|'''''e'''''}}}} (таксама '''лік Эйлера''' або '''пастаянная Непера''') — важная [[матэматычная пастаянная]], якая акрамя іншага з'яўляецца асновай [[натуральны лагарыфм|натуральнага лагарыфма]]. Звычайна ў курсах [[матэматычны аналіз|матэматычнага аналізу]] пастаянную азначаюць як [[граніца паслядоўнасці|граніцу]] паслядоўнасці
:<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n</math>
пры імкненні {{math|''n''}} да бесканечнасці. Такі выраз ўзнікае пры вывучэнні [[складаны працэнт|складанага працэнта]].

Эйлераў лік можна вылічыць і як суму бесканечнага [[рад (матэматыка)|рада]]<ref>[[Encyclopedic Dictionary of Mathematics]] 142.D</ref>
:<math>e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots.</math>

Пастаянную можна вызначыць мноствам спосабаў. Напрыклад, іншы раз за азначэнне бяруць наступны факт: {{math|''e''}} — адзіны [[рэчаісны лік]], такі што [[вытворная функцыі|вытворная]] (нахіл [[датычная прамая|датычнай прамой]]) функцыі {{math|1=''f''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}} у пункце {{math|1=''x'' = 0}} роўная 1.<ref>{{cite book|title = Calculus|author = Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein|publisher = Springer|year = 1985|isbn = 0-387-90974-5|url=http://books.google.com/?id=KVnbZ0osbAkC&printsec=frontcover}}</ref> Функцыя {{math|''e''<sup>''x''</sup>}}, вызначаная такім чынам, называецца [[паказчыкавая функцыя|экспаненцыяльнай функцыяй]] (або натуральнай паказчыкавай функцыяй), [[адваротная функцыя|адваротнай да яе функцыяй]] з'яўляецца лагарыфм па [[аснова (ступеняванне)|аснове]] {{math|''e''}} — т.зв. [[натуральны лагарыфм]]. Натуральны лагарыфм дадатнага ліку {{math|''k''}} можна таксама вызначыць напрамую, як [[вызначаны інтэграл|плошчу пад крывой]] {{math|1=''y'' = 1/''x''}}, якая заключана паміж значэннямі аргумента {{math|1=''x'' = 1}} і {{math|1=''x'' = ''k''}}. Лік {{math|''e''}} — такі лік, натуральны лагарыфм якога роўны 1. Ёсць і іншыя [[#Іншыя азначэнні|іншыя азначэнні]].

Пастаянную {{math|''e''}} часам называюць '''Эйлеравым лікам''' у гонар швейцарскага матэматыка [[Леанард Эйлер|Леанарда Эйлера]] (не блытаць з {{math|γ}} — [[Пастаянная Эйлера-Маскероні|пастаяннай Эйлера-Маскероні]], якую іншы раз называюць проста ''пастаяннай Эйлера''). Лік {{math|''e''}} таксама вядомы як '''пастаянная Непера''', бо першыя вядомыя ўпамінанні гэтага ліку былі знойдзены ў працах [[Джон Непер|Джона Непера]], які выкарыстоўваў гэты лік у якасці асновы лагарыфма<ref>Дакладней кажучы, Непер у сваіх табліцах лагарыфмаў у якасці асновы няяўна карыстаўся лікам, прыблізна роўным {{math|1/''e''}}. Падрабязней гл. кнігу Eli Maor. e: The Story of a Number. pp. 8-10.</ref>. Абазначаць лік літарай {{math|''e''}} пачаў Эйлер.<ref name="mathworld">{{cite web|last=Sondow|first=Jonathan|title=e|url=http://mathworld.wolfram.com/e.html|work=[[MathWorld|Wolfram Mathworld]]|publisher=[[Wolfram Research]]|accessdate=10 May 2011}}</ref> Лік {{math|''e''}} мае вялікае значэнне ў матэматыцы<ref>{{cite book|title = An Introduction to the History of Mathematics|url = https://archive.org/details/introductiontohi00eves_0|author = Howard Whitley Eves|year = 1969|publisher = Holt, Rinehart & Winston|isbn =0-03-029558-0}}</ref> і па важнасці стаіць побач с такімі лікамі як [[0 (лік)|0]], [[1 (лік)|1]], [[пі|{{pi}}]] і [[уяўная адзінка|ўяўная адзінка {{math|''i''}}]]. Усе пяць лікаў сустракаюцца, мабыць, ва ўсіх галінах матэматыкі. Цікава, што ўсе яны ўваходзяць у [[тоеснасць Эйлера]]:
:<math>e^{i\pi}+1 = 0.</math>
Як і пастаянная {{pi}}, {{math|''e''}} — [[ірацыянальны лік]]: г.зн. яго нельга запісаць у выглядзе дзелі двух [[цэлы лік|цэлых лікаў]]. Больш таго, ён [[трансцэндэнтны лік|трансцэндэнтны]]: г.зн. не існуе ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якога лік {{math|''e''}} быў бы коранем.

Лікавае значэнне {{math|''e''}} з дакладнасцю 50 [[дзесятковая сістэма злічэння|дзесятковых знакаў]] пасля коскі:
:{{gaps|2.71828|18284|59045|23536|02874|71352|66249|77572|47093|69995...}} ({{OEIS|A001113}}).

== Гісторыя ==
Першыя ўскосныя ўпамінанні Эйлерава ліку сустракаюцца ў табліцах ў дадатку [[Джон Непер|Неперавай]] працы па лагарыфмах, апублікаванай у 1618 годзе<ref name="OConnor">{{cite web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|title=The number ''e''|publisher=MacTutor History of Mathematics|first1=J J|last1=O'Connor|first2=E F|last2=Robertson}}</ref>. Праца ўтрымлівала не саму пастаянную, а проста спіс лагарыфмаў, вылічаных па аснове, прыблізна роўнай {{math|1/''e''}}. Мяркуюць, што табліцу напісаў [[Уільям Оўтрэд]]. Адкрыццё самой пастаяннай прыпісваецца [[Якаб Бернулі|Якабу Бернуллі]], які спрабаваў знайсці значэнне граніцы (якая раўняецца {{math|''e''}}):
:<math>\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.</math>

Першыя вядомыя прамыя ўпамінанні пастаяннай Непера былі знойдзены ў пісьмах [[Готфрыд Вільгельм Лейбніц|Лейбніца]] да [[Хрысціян Гюйгенс|Гюйгенса]] ў 1690 і 1691 гг. Там Лейбніц карыстаецца пастаяннай і абазначае яе літарай {{math|''b''}}. [[Леанард Эйлер]] ужыў літару {{math|''e''}} для абазначэння асновы натуральных лагарыфмаў у пісьме да [[Хрысціян Гольдбах|Хрысціяна Гольдбаха]] 25 лістапада 1731 года.<ref>{{Cite book|last=Remmert|first=Reinhold|authorlink=Reinhold Remmert|title=Theory of Complex Functions|url=https://archive.org/details/theorycomplexfun00remm_318|page=[https://archive.org/details/theorycomplexfun00remm_318/page/n156 136]|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1991|isbn=0-387-97195-5}}</ref> Эйлер пачаў абазначаць пастаянную літарай {{math|''e''}} недзе ў 1727 ці 1728 годзе, у неапублікаванай працы па выбуховых сілах у гарматах,<ref name="Meditatio">Euler, ''[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E853.html Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta]''.</ref>, а першым з'яўленнем {{math|''e''}} ў публікацыі была [[Mechanica|Эйлерава ''Mechanica'']] (1736). І хоць у наступныя гады некаторыя даследчыкі абазначалі лік літарай {{math|''c''}}, абазначэнне {{math|''e''}} было больш распаўсюджаным і ў выніку стала агульнапрынятым.

== Прымяненні ==
=== Складаны працэнт ===
[[File:Compound Interest with Varying Frequencies.svg|thumb|right|350px|Даход ад пачатковага укладу $1000 пры 20% гадавых і пры розных частотах налічэння працэнта]]

[[Якаб Бернулі]] адкрыў пастаянную, рашаючы задачу аб [[складаны працэнт|складаным працэнце]]:<ref name="OConnor" />

:Пачатковая сума на рахунку $1.00, працэнтная стаўка па ўкладу складае 100% гадавых. Калі працэнты налічваюцца адзін раз у канцы года, сума на рахунку ў канцы года стане $2.00. Што адбудзецца, калі на працягу года працэнты налічваюцца на рахунак больш часта? (Пры гэтым налічаны на рахунак даход таксама пускаецца ў абарот пад тыя ж працэнты).

Калі працэнты пераводзяцца на рахунак двойчы ў год, сума будзе прырастаць на 50% кожныя 6 месяцаў, і такім чынам пачатковы $1 дамнажаецца на 1.5 двойчы, даючы $1.00×1.5<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;$2.25 у канцы года. Паквартальнае накапленне дае $1.00×1.25<sup>4</sup>&nbsp;=&nbsp;$2.4414..., а штомесячнае накапленне дае $1.00×(1+1/12)<sup>12</sup>&nbsp;=&nbsp;$2.613035... Калі ёсць {{math|''n''}} прамежкаў накаплення, працэнт на кожным прамежку будзе {{math|100%/''n''}} і сума ў канцы года складзе $1.00×{{math|1=(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup>}}.

Бернулі заўважыў, што гэта паслядоўнасць прыбліжаецца да [[граніца паслядоўнасці|граніцы]] з ростам {{math|''n''}} і, адпаведна, са здрабненнем прамежкаў налічэння. Штотыднёвае налічэнне ({{math|1=''n'' = 52}}) дае $2.692597..., тады як штодзённае налічэнне ({{math|1=''n'' = 365}}) дае $2.714567..., толькі на два цэнты больш. [[Граніца паслядоўнасці|Граніца]] пры неабмежаваным нарастанні {{math|''n''}} і ёсць лік, вядомы цяпер як {{math|''e''}}; пры ''непарыўным'' налічэнні, сума на рахунку дасягне $2.7182818.... У агульным выпадку, пачатковая сума на рахунку $1 і гадавы прырост даходу {{math|''R''}} долей пасля {{math|''t''}} гадоў дадуць у выніку {{math|''e''<sup>''Rt''</sup>}} долараў пры непарыўным налічэнні. (Тут {{math|''R''}} — доля, а не працэнт. Так што, для 5% гадавых, {{math|1=''R'' = 5/100 = 0.05}}.)

=== Выпрабаванні Бернуллі ===
Лік {{math|''e''}} ўзнікае і ў [[тэорыя імавернасцей|тэорыі імавернасцей]]. Няхай гулец робіць стаўкі ў гульнявым аўтамаце. Імавернасць выйгрышу пры адном запуску аўтамата роўная 1 на {{math|''n''}}. Ігрок робіць стаўку {{math|''n''}} разоў. Тады для вялікіх {{math|''n''}} (напрыклад, мільёна) [[імавернасць]], што гуляка прайграе ўсе стаўкі прыблізна раўняецца {{math|1/''e''}}. Так, для {{math|1=''n'' = 20}} гэта ўжэ 1/2.72.

Гэта прыклад [[Выпрабаванні Бернулі|выпрабаванняў Бернуллі]]. Кожны раз, калі ігрок кідае манетку ў аўтамат (робіць стаўку), шанц выйграць — адзін на мільён. Запуск аўтамата мільён разоў мадэліруецца [[біномнае размеркаванне|біномным размеркаваннем]], якое цесна звязана з [[біном Ньютана|біномам Ньютана]]. Імавернасць {{math|''k''}} разоў выйграць пры мільёне спроб роўная:
: <math>\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k(1-10^{-6})^{10^6-k}.</math>
У прыватнасці, імавернасць ні разу не выйграць ({{math|1=''k'' = 0}}) роўная:
: <math>\left(1-\frac{1}{10^6}\right)^{10^6}.</math>
Гэта значэнне вельмі блізкае да наступнай граніцы:
: <math>\frac{1}{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.</math>

=== Беспарадкі ===
Пастаянная {{math|''e''}} ўзнікае і ў камбінаторыцы. Прыкладам можа служыць т.зв. задача аб [[беспарадак (камбінаторыка)|беспарадках]], таксама вядомая як ''задача разбору шапак''<ref>Grinstead, C.M. and Snell, J.L.''[http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html Introduction to probability theory] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20110727200156/http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html |date=27 ліпеня 2011 }} (published online under the [[GFDL]]), p. 85.</ref>, якою займаліся Якаб Бернуллі і [[П'ер Раймонд дэ Мантмор]] ({{lang-fr|Pierre Rémond de Montmort}}). Вось як гучыць гэта задача:
:На вечарынку запрошана {{math|''n''}} гасцей. У дзвярах кожны госць аддае сваю шапку дварэцкаму, які затым ложыць яе ў адну з {{math|''n''}} скрынь, кожная з якіх пазначана іменем аднаго з гасцей. Але дварэцкі не знае гасцей па імёнах (а мо проста чытаць не ўмее) і таму кідае шапкі ў скрыні як папала. Задача дэ Мантмора — знайсці імавернасць таго, што ''ні адна'' шапка не трапіла ў патрэбную скрыню. Адказ такі:

:<math>p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>

Калі лік гасцей {{math|''n''}} імкнецца да бесканечнасці, {{math|''p''<sub>''n''</sub>}} прыбліжаецца к {{math|1/''e''}}. Больш таго, колькасць спосабаў раскідаць шапкі па каробках так, каб ні адна не папала куды трэба, для любога {{math|''n''}} раўняецца ліку {{math|''n''!/''e''}}, акругленаму да найбліжэйшага цэлага.<ref>Knuth (1997) ''The Art of Computer Programming'' Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3.</ref>

===Асімптотыкі===
Лік {{math|''e''}} натуральным чынам узнікае ў сувязі з мноствам задач, якія закранаюць [[асімптотыка|асімтотыку]]. Выдатным прыкладам з'яўляецца [[формула Сцірлінга]] для [[Асімптатычны аналіз|асімптотыкі]] [[фактарыял]]а, куды ўваходзяць і {{math|''e''}}, і [[пі|{{pi}}]]:
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
Адсюль можна атрымаць:
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.</math>

==Лік {{math|''e''}} ў аналізе==
[[Image:Ln+e.svg|thumb|right|Натуральны лагарыфм у пункце {{math|''e''}}, {{math|ln(''e'')}}, роўны 1]]

Важнасць ліку {{math|''e''}} ў [[матэматычны аналіз|аналізе]] тлумачыцца найперш патрэбай ажыццяўляць [[вытворная (матэматыка)|дыферэнцаванне]] і [[інтэграванне]] [[паказчыкавая функцыя|паказчыкавых функцый]] і [[лагарыфм]]аў.<ref>Kline, M. (1998) ''Calculus: An intuitive and physical approach'', section 12.3 [http://books.google.co.jp/books?id=YdjK_rD7BEkC&pg=PA337 "The Derived Functions of Logarithmic Functions."], pp. 337 ff, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6</ref> Паказчыкавая функцыя агульнага выгляду {{math|''y'' {{=}} ''a''<sup>''x''</sup>}} мае вытворную, якая задаецца як [[граніца функцыі|граніца]]:
:<math>\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).</math>
Самая правая граніца ў выразе не залежыць ад зменнай {{math|''x''}}: яна залежыць толькі ад асновы {{math|''a''}}. Калі аснова роўная {{math|''e''}}, граніца раўняецца адзінцы, і такім чынам {{math|''e''}} вызначаецца з ураўнення:
:<math>\frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>

Адсюль відаць, што паказчыкавая функцыя з асновай {{math|''e''}} асабліва зручная пры ажыццяўленні розных аперацый у аналізе. Выбар ліку {{math|''e''}} ў якасці асновы паказчыкавай функцыі значна спрашчае разлікі, у якіх неабходна знаходзіць вытворную.

Выкарыстанне ліку {{math|''e''}} ў якасці асновы таксама спрашчае інтэграванне і дыферэнцаванне [[лагарыфм]]ічных функцый.<ref>Kline, M. (1998) ''Calculus: An intuitive and physical approach''.</ref> Вылічым вытворную функцыі {{math|log<sub>''a''</sub> ''x''}} па азначэнню, г.зн. як граніцу:
:<math>\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=\frac{1}{x}\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{u}\log_a(1+u)\right),</math>
дзе на апошнім кроку зроблена падстаноўка {{math|''u'' {{=}} ''h''/''x''}}. Апошняя граніца ў гэтым ланцужку роўнасцей ізноў залежыць толькі ад асновы {{math|''a''}}, і калі аснова — {{math|''e''}}, граніца раўняецца адзінцы. Такім чынам,
:<math>\frac{d}{dx}\log_e x=\frac{1}{x}.</math>
У гэтым выпадку лагарыфм называецца [[натуральны лагарыфм|натуральным]] і абазначаецца як {{math|ln}}. Ён зручнейшы за лагарыфмы па іншых асновах, бо пры аперацыях дыферэнцавання і інтэгравання не прыходзіцца ўсюды цягаць нязручныя множнікі выгляду {{math|ln ''a''}}.

Такім чынам, лік {{math|''a'' {{=}} ''e''}} з дапамогай паняцця вытворнай можна вызначыць двума спосабамі. Першы з іх — прыняць, што вытворная паказчыкавай функцыі {{math|''a''<sup>''x''</sup>}} роўная {{math|''a''<sup>''x''</sup>}}, і адсюль знайсці {{math|''a''}}. Другі — сказаць, што вытворная лагарыфма з асновай {{math|''a''}} раўняецца {{math|1/''x''}} і адтуль знайсці {{math|''a''}}. Абодва спосабы раўназначныя і даюць аднолькавы вынік.

=== Іншыя азначэнні ===
{{Гл. таксама|Формулы для ліку e}}

[[Image:hyperbola E.svg|thumb|right|Плошча паміж воссю {{math|''x''}} і графікам {{math|''y'' {{=}} 1/''x''}} ад {{math|''x'' {{=}} 1}} да {{math|''x'' {{=}} ''e''}} роўная 1.]]

Лік {{math|''e''}} можна вызначыць і іначай: як [[граніца паслядоўнасці|граніцу паслядоўнасці]], ці як суму  [[рад (матэматычны аналіз)|бесканечнага рада]], ці праз нейкія [[інтэграл]]ы. Вышэй было прыведзена толькі два раўназначныя азначэнні (уласцівасці) ліку {{math|''e''}}, а іменна:

1. Лік {{math|''e''}} — гэта адзіны дадатны [[рэчаісны лік]], такі што
:<math>\frac{d}{dt}e^t = e^t.</math>

2. Лік {{math|''e''}} — гэта адзіны дадатны [[рэчаісны лік]], такі што
:<math>\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}.</math>

Можна паказаць, што наступныя тры азначэнні раўназначныя дадзеным раней:

3. Лік {{math|''e''}} — гэта [[граніца паслядоўнасці]]:
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>

Ці [[граніца функцыі]]:
:<math>e = \lim_{x\to 0} \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}}</math>

4. Лік {{math|''e''}} — гэта сума [[рад|бесканечнага рада]]
:<math>e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots,</math>
дзе {{math|''n''!}} — [[фактарыял]] ліку {{math|''n''}}.

5. Лік {{math|''e''}} — адзіны дадатны [[рэчаісны лік]], такі што
:<math>\int_1^e \frac{dt}{t} = 1.</math>

== Уласцівасці ==
===Аналіз===
[[Паказчыкавая функцыя]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} мае важнае значэнне яшчэ і таму, што гэта адзіная не роўная тоесна нулю функцыя (з дакладнасцю да пастаяннага множніка), якая супадае са сваёй [[вытворная функцыі|вытворнай]]

:<math>\frac{d}{dx}e^x=e^x</math>

і такім чынам, яе [[першаісная]] таксама роўная:

:<math>
\begin{align}
e^x & = \int_{-\infty}^x e^t\,dt \\[8pt]
& = \int_{-\infty}^0 e^t\,dt + \int_0^x e^t\,dt \\[8pt]
& = 1 + \int_{0}^x e^t\,dt.
\end{align}
</math>

===Ступенна-паказчыкавыя функцыі===
{{Гл. таксама|Задача Штэйнера}}
[[Image:Xth root of x.svg|thumb|right|250px|[[Глабальны максімум]] функцыі <math>\sqrt[x]{x}</math> дасягаецца ў пункце {{math|''x'' {{=}} ''e''}}.]]
[[Глабальны максімум]] функцыі

:<math> f(x) = \sqrt[x]{x}</math>

дасягаецца ў {{math|''x'' {{=}} ''e''}}. Гэтак жа, {{math|''x'' {{=}} 1/''e''}} — пункт, дзе дасягаецца [[глабальны мінімум]] функцыі

:<math> f(x) = x^x\, </math>

вызначанай для дадатных {{math|''x''}}.

Больш агульна, {{math|''x'' {{=}} ''e''<sup>−1/''n''</sup>}} будзе пунктам глабальнага мінімума функцыі

:<math> f(x) = x^{x^n} </math>

для любога {{math|''n'' > 0}}.

Па тэарэме [[Леанард Эйлер|Леанарда Эйлера]], бесканечная [[ступенная вежа (матэматыка)|ступенная вежа]]

:<math> x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} </math> або <sup>∞</sup><math>x</math>

збягаецца, калі і толькі калі {{math|''e''<sup>−''e''</sup> ≤ ''x'' ≤ ''e''<sup>1/''e''</sup>}} (або прыблізна паміж 0.0660 і 1.4447).

===Тэорыя лікаў===
Лік {{math|''e''}} [[ірацыянальны лік|ірацыянальны]]. [[Леанард Эйлер|Эйлер]] даказаў гэта, паказаўшы, што яго раскладанне ў просты [[непарыўны дроб]] бесканечнае.<ref>{{cite web|url=http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2028%20e%20is%20irrational.pdf|title=How Euler Did It: Who proved {{math|''e''}} is Irrational?|last=Sandifer|first=Ed|date=Feb. 2006|publisher=MAA Online|accessdate=2010-06-18|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060925054459/http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2028%20e%20is%20irrational.pdf|archivedate=25 верасня 2006|url-status=live}}</ref> (Гл. таксама [[Доказ ірацыянальнасці e|доказ ірацыянальнасці ліку {{math|''e''}}]], які даў [[Жан Батыст Жазеф Фур'е|Жан Фур'е]].)

Больш таго, па [[тэарэма Ліндэмана — Веерштраса|тэарэме Ліндэмана — Веерштраса]] {{math|''e''}} — [[трансцэндэнтны лік]], г.зн. ён не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Гэта быў першы лік, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, і які пры гэтым не быў адмыслова пабудаваны для гэтае мэты (як напрыклад [[лік Ліувіля|лікі Ліувіля]]). Трансцэндэнтнасць ліку {{math|''e''}} даказаў [[Шарль Эрміт]] у 1873 годзе.

Была выказана здагадка, што лік {{math|''e''}} [[нармальны лік|нармальны]], г.зн. калі запісаць лік {{math|''e''}} ў сістэме злічэння для адвольнай асновы, магчымыя лічбы будуць раўнамерна размеркаваны (сустракаюцца з аднолькавай імавернасцю ў любой паслядоўнасці дадзенай даўжыні).

===Камплексныя лікі===
[[Паказчыкавая функцыя|Паказчыкавую функцыю]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} можна запісаць у выглядзе [[рад Тэйлара|рада Тэйлара]]:

:<math> e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>

Гэты рад дазваляе выявіць мноства важных уласцівасцей функцыі {{math|''e''<sup>''x''</sup>}}, нават калі  {{math|''x''}} прымае [[камплексны лік|камплексныя]] значэнні, яго звычайна выкарыстоўваюць, каб пашырыць азначэнне {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} на ўсе камплексныя лікі. Рад для паказчыкавай функцыі разам з радамі Тэйлара для [[трыганаметрычныя функцыі|сінуса і косінуса]], дазваляе вывесці [[формула Эйлера|формулу Эйлера]]:
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x,</math>
справядлівую для ўсіх {{math|''x''}}. Асобны выпадак пры {{math|''x'' {{=}} [[Пі|&pi;]]}} — [[тоеснасць Эйлера]]:
:<math>e^{i\pi} =-1,</math>
з якой вынікае, што на [[галоўная галіна аналітычнай функцыі|галоўнай галіне]] лагарыфма,
:<math>\log_e (-1) = i\pi.</math>

Больш таго, карыстаючыся правіламі ступенявання, атрымліваем тоеснасць
:<math>(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx),</math>
якая называецца [[формула Муаўра|формулай Муаўра]].

===Дыферэнцыяльныя ўраўненні===
Функцыя агульнага выгляду
:<math>y(x) = Ce^x</math>
ёсць рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
:<math>y' = y.</math>

==Прадстаўленні==
{{Галоўны артыкул|Формулы для ліку e}}

Лік {{math|''e''}} можна задаць рознымі спосабамі: як [[рад (матэматычны аналіз)|бесканечны рад]], [[бесканечны здабытак]], [[непарыўны дроб]], ці [[граніца паслядоўнасці|граніцу паслядоўнасці]]. Як правіла, асабліва ў курсах матэматычнага аналізу, пастаянную азначаюць як граніцу
:<math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,</math>
ці як суму рада
:<math>e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!},</math>
якая атрымліваецца з вышэйзгаданага [[ступенны рад|ступеннага рада]] для {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} у {{math|''x'' {{=}} 1}}.

Менш вядома прадстаўленне ліку {{math|''e''}} [[непарыўны дроб|непарыўным дробам]] ({{OEIS|id=A003417}}), якое атрымаў [[Леанард Эйлер]]:
:<math>
e = [2;1,\mathbf 2,1,1,\mathbf 4,1,1,\mathbf 6,1,1,...,\mathbf {2n},1,1,...] = [1;\mathbf 0,1,1,\mathbf 2,1,1,\mathbf 4,1,1,...,\mathbf {2n},1,1,...],
</math><ref>Hofstadter, D. R., "Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought" Basic Books (1995) ISBN 0-7139-9155-0</ref>

што ў звычайным запісе выглядае як:
:<math>e = 2+
\cfrac{1}
   {1+\cfrac{1}
      {\mathbf 2 +\cfrac{1}
         {1+\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {\mathbf 4 +\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {1+\ddots}
                  }
               }
            }
         }
      }
   }
= 1+
\cfrac{1}
  {\mathbf 0 + \cfrac{1}
    {1 + \cfrac{1}
      {1 + \cfrac{1}
        {\mathbf 2 + \cfrac{1}
          {1 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {\mathbf 4 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {1 + \ddots}
                }
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }.
</math>

А гэты ланцуговы дроб {{math|''e''}} збягаецца ў тры разы хутчэй:
:<math> e = [ 1 ; 0.5 , 12 , 5 , 28 , 9 , 44 , 13 , \ldots , 4(4n-1) , (4n+1) , \ldots ],</math>

або ў разгорнутым запісе:

:<math> e = 1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{22+\cfrac{1}{26+\ddots\,}}}}}}}.</math>

Вядома таксама многа іншых прадстаўленняў ліку {{math|''e''}} ў выглядзе непарыўных дробаў, радоў, граніц паслядоўнасцей, бесканечных здабыткаў.

===Стахастычныя прадстаўленні===
Акрамя дакладных аналітычных выразаў для ліку {{math|''e''}}, ёсць і імавернасныя метады ацэнкі ліку {{math|''e''}}. Вось адзін з іх: няхай ёсць бесканечная паслядоўнасць незалежных выпадковых велічынь {{math|''X''<sub>1</sub>}}, {{math|''X''<sub>2</sub>}}..., кожная з якіх [[раўнамернае непарыўнае размеркаванне|раўнамерна размеркавана]] на адрэзку [0, 1]. Няхай {{math|''V''}} — найменшы лік {{math|''n''}}, для якога сума першых {{math|''n''}} членаў паслядоўнасці большая за 1:
:<math>V = \min { \left \{ n \mid X_1+X_2+\cdots+X_n > 1 \right \} }.</math>
Тады [[матэматычнае спадзяванне]] велічыні {{math|''V''}} раўняецца {{math|''e''}}:<ref>Russell, K. G. (1991) ''[http://links.jstor.org/sici?sici=0003-1305%28199102%2945%3A1%3C66%3AETVOEB%3E2.0.CO%3B2-U Estimating the Value of e by Simulation]'' The American Statistician, Vol. 45, No. 1. (Feb., 1991), pp. 66–68.</ref><ref>Dinov, ID (2007) ''[http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/SOCR_EduMaterials_Activities_LawOfLargeNumbers#Estimating_e_using_SOCR_simulation Estimating e using SOCR simulation]'', SOCR Hands-on Activities (retrieved December 26, 2007).</ref>
:<math>\mathbb{E}[V] = e.</math>

===Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў===
За апошнія дзесяцігоддзі колькасць вядомых лічбаў ліку {{math|''e''}} рэзка ўзрасла. Гэта стала магчыма як дзякуючы росту вылічальных магутнасцей, так і дзякуючы ўдасканаленню алгарытмаў.<ref>Sebah, P. and Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html The constant e and its computation]</ref><ref>Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/computations.html Reported large computations with PiFast]</ref>

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ '''Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў ліку {{math|''e''}} '''
! Дата || Колькасць лічбаў || Аўтар разлікаў
|-
| 1748 ||align=right| 23 || [[Леанард Эйлер]]<ref>''Introductio in analysin infinitorum'' [http://books.google.de/books?id=jQ1bAAAAQAAJ&pg=PA90 p. 90]</ref>
|-
| 1853 ||align=right| 137 || [[Уільям Шэнкс]]<br />({{lang-en|William Shanks}})
|-
| 1871 ||align=right| 205 || [[Уільям Шэнкс]]
|-
| 1884 ||align=right| 346 || Дж. Маркус Бурмэн<br />({{lang-en|J. Marcus Boorman}})
|-
| 1949 ||align=right| 2,010 || [[Джон фон Нейман]] (на [[ЭНІАК]]у)
|-
| 1961 ||align=right| 100,265 || Daniel Shanks & John Wrench <ref name="We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program.">{{cite journal|author=Daniel Shanks and John W Wrench|quote=We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program|title=Calculation of Pi to 100,000 Decimals|journal =Mathematics of Computation|volume= 16 |year=1962| issue =77| pages =76–99 (78)|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf}}</ref>
|-
| 1978 ||align=right| 116,000 || [[Стыў Возняк]] (на [[Apple II]]<ref>Byte Magazine Vol 6, Issue 6 (June 1981) p.392) "The Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer"</ref>)
|-
| 1994 (1 красавіка) ||align=right| 1,000,000 || Robert Nemiroff & Jerry Bonnell <ref>[http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil Email from Robert Nemiroff and Jerry Bonnell – The Number e to 1 Million Digits]. None. Retrieved on 2012-02-24.</ref>
|-
| 1999 (21 лістапада) ||align=right| 1,250,000,000 || Xavier Gourdon <ref name="Email from Xavier Gourdon to Simon Plouffe">[https://web.archive.org/web/20021223163426/http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/expof1.txt Email from Xavier Gourdon to Simon Plouffe – I have made a new e computation (with verification): 1,250,000,000 digits]. None. Retrieved on 2012-02-24.</ref>
|-
| 2000 (16 ліпеня) ||align=right| 3,221,225,472 || Colin Martin & Xavier Gourdon <ref name="PiHacks message 177 - E to 3,221,225,472 D">[http://groups.yahoo.com/group/pi-hacks/message/177 PiHacks message 177 – E to 3,221,225,472 D]{{Недаступная спасылка}}. Groups.yahoo.com. Retrieved on 2012-02-24.</ref>
|-
| 2003 (18 верасня) ||align=right| 50,100,000,000 || Shigeru Kondo & Xavier Gourdon <ref name="PiHacks message 1071 - Two new records: 50 billions for E and 25 billions for pi">[http://groups.yahoo.com/group/pi-hacks/message/1071 PiHacks message 1071 – Two new records: 50 billions for E and 25 billions for pi]{{Недаступная спасылка}}. Groups.yahoo.com. Retrieved on 2012-02-24.</ref>
|-
| 2007 (27 красавіка) ||align=right| 100,000,000,000 || Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo <ref name="English Version of PI WORLD">[https://web.archive.org/web/20021221061853/http://ja0hxv.calico.jp/pai/eevalue.html English Version of PI WORLD]. Ja0hxv.calico.jp. Retrieved on 2012-02-24.</ref>
|-
| 2009 (6 траўня) ||align=right| 200,000,000,000 || Rajesh Bohara & Steve Pagliarulo <ref name="English Version of PI WORLD"/>
|-
| 2010 (5 ліпеня) ||align=right| 1,000,000,000,000 || Shigeru Kondo & Alexander J. Yee <ref>[http://www.numberworld.org/digits/E/ A list of notable large computations of e]. Numberworld.org. Last updated: March 7, 2011. Retrieved on 2012-02-24.</ref>
|}

==У камп'ютарнай культуры==
У сучаснай [[кіберкультура|інтэрнэт-культуры]] як асобы, так і арганізацыі часта аддаюць даніну павагі ліку {{math|''e''}}.

У [[Першасная публічная прапанова|IPO]] кампаніі [[Google]] у 2004 годзе было аб'яўлена, што кампанія мае намер павялічыць свой [[прыбытак]] на $2,718,281,828, што ўяўляе сабой першыя 10 лічбаў ліку {{math|''e''}}. Google таксама прафінансавала рэкламныя шчыты<ref>[http://braintags.com/archives/2004/07/first-10digit-prime-found-in-consecutive-digits-of-e/ First 10-digit prime found in consecutive digits of {{math|e}}&#125;]. Brain Tags. Retrieved on 2012-02-24.</ref>, якія з'явіліся ў цэнтры [[Крамянёвая даліна|Крэмніевай даліны]], а пазней у [[Кембрыдж (Масачусетс)|Кембрыджы (штат Масачусетс)]]; [[Сіэтл|Сіэтле (штат Вашынгтон)]] і [[Остын|Осціне (штат Тэхас)]]. На шчытах было напісана
:{first 10-digit prime found in consecutive digits of {{math|''e''}}}.com
Па-беларуску гэта гучала б як:
:{першы 10-разрадны просты лік, знойдзены ў паслядоўных лічбах ліку {{math|''e''}}}.com
Рашэнне гэтай задачы і наведванне рэкламуемага сайта (цяпер не існуе) вяло да яшчэ больш складанай задачы, рашыўшы якую можна было трапіць на сайт [[Google Labs]], дзе наведвальніку прапаноўвалася пакінуць сваё рэзюме.<ref>{{cite news|first=Andrea|last=Shea|url=http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=3916173|title=Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle|work=NPR|accessdate=2007-06-09}}</ref> Першы 10-разрадны просты лік у дзесятковым запісе {{math|''e''}} — 7427466391, і пачынаецца ён на 99-й лічбе.<ref>{{cite web |first=Marcus |last=Kazmierczak |url=http://mkaz.com/math/google-billboard |title=Google Billboard |publisher=mkaz.com |date=2004-07-29 |accessdate=2007-06-09 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100923111259/http://mkaz.com/math/google-billboard/ |archivedate=23 верасня 2010 |url-status=dead }}</ref>

Яшчэ цікавы прыклад, [[Дональд Эрвін Кнут|Дональд Кнут]] прысвойвае сваёй праграме [[Metafont]] нумары версій, якія прыбліжаюцца к ліку {{math|''e''}}. Паслядоўныя версіі пры гэтым выглядаюць так: 2, 2.7, 2.71, 2.718 і гэтак далей. Падобным жа чынам назначаюцца і нумары версій яго [[TeX]]а, якія пачынаючы з версіі 3.0 прыбліжаюцца к ліку {{pi}}<ref>{{Cite journal|url=http://www.tex.ac.uk/tex-archive/digests/tex-mag/v5.n1|title=The Future of TeX and Metafont|first=Donald|last=Knuth|authorlink=Donald Knuth|journal=TeX Mag|volume=5|issue=1|accessdate=5 жніўня 2013|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120319145541/http://www.tex.ac.uk/tex-archive/digests/tex-mag/v5.n1|archivedate=19 сакавіка 2012|url-status=dead}}</ref>: 3.0, 3.1, 3.14, 3.141 і г.д.

== Зноскі ==
{{Reflist|colwidth=30em}}

== Літаратура ==
* {{кніга|аўтар=Eli Maor.|загаловак={{math|''e''}}: The Story of a Number.|выдавецтва=Princeton University Press|месца=Princeton|год=1994|isbn=0-691-05854-7}}
* {{артыкул|аўтар=Brian J. McCartin.|загаловак=e: The Master of All|выданне=The Mathematical Intelligencer|том=28|нумар=2|год=2006|старонкі=10-21|спасылка=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/e-the-master-of-all|мова=en|archive-date=12 верасня 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20130912203458/http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/e-the-master-of-all}}

== Спасылкі ==
{{Commons category|E (mathematical constant)}}
* [http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ Простыя ўводзіны ў паказчыкавыя функцыі і лік {{math|''e''}}] для нематэматыкаў {{ref-en}}
* [http://gutenberg.org/ebooks/127 Лік {{math|''e''}} з дакладнасцю 1], [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.2mil 2 і 5 мільёнаў знакаў пасля коскі] {{ref-en}}
* [http://jeff560.tripod.com/constants.html Найранейшыя ўжыванні сімвалаў для пастаянных], 13 студзеня 2008 {{ref-en}}
* [http://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/the-story-of-e «Гісторыя ліку {{math|''e''}}»] {{ref-en}}
* [http://www.subidiom.com/e Пошукавая прылада для ліку {{math|''e''}}] (2 мільярдаў даступных для пошуку лічбаў лікаў {{math|''e''}}, {{pi}} і √2) {{ref-en}}
* {{MathWorld|title="e"|urlname=e|author=''Sondow, Jonathan'' and ''Weisstein, Eric W.''}} {{ref-en}}
* {{MathWorld|title={{math|''e''}} Approximations|urlname=eApproximations}} {{ref-en}}

{{Лікі з уласнымі імёнамі}}
{{Бібліяінфармацыя}}

{{DEFAULTSORT:e}}
[[Катэгорыя:Матэматычныя канстанты]]
[[Катэгорыя:Лікі з уласнымі імёнамі]]