Прагляд зыходнага тэксту старонкі F4 (матэматыка)

{{Тэорыя груп}}
У [[Матэматыка|матэматыцы]], '''F<sub>4</sub>''' — назва адной з пяці (кампактных або комплексных) адмысловых простых [[Група Лі|груп Лі]], а таксама яе [[алгебра Лі|алгебры Лі]] <math>\mathfrak{f}_4</math>. '''F'''<sub>4</sub> мае 4 ранг і размернасць 52. Група F<sub>4</sub> адназвязная, а яе група знешніх аўтамарфізмаў трывіяльная. Найбольш простае дакладнае лінейнае прадстаўленне групы F<sub>4</sub>, а таксама яе алгебры Лі 26-мернае і непрыводнае.

Кампактная рэчаісная форма (комплекснай) групы F<sub>4</sub> з’яўляецца групай ізаметрый 16-мернай рыманавай мнагастайнасці, вядомай як 'октаніённая праектыўная плоскасць', OP<sub>2</sub>. Гэта можа быць паказана з дапамогай агульнага прыёму, які выкарыстоўвае канструкцыю, вядомую як магічны квадрат, распрацаваную Г. Фрэйдэнталем і Ж. Тытсам.

Ёсць 3 рэчаісныя групы Лі з алгебрай <math>\mathfrak{f}_4</math>: кампактная, падзеленая і трэцяя.

Алгебра Лі F<sub>4</sub> можа быць атрымана шляхам дадавання да 36-мернай алгебры Лі '''so'''(9) 16 генератараў, якія ператвараюцца як [[спінар]]ы, аналагічна таму, як гэта робіцца ў канструяванні [[E8 (матэматыка)|E8]]. 

== Алгебра ==

=== Каранёвыя вектары F<sub>4</sub> ===
:<math>(\pm 1,\pm 1,0,0)</math>,

:<math>(\pm 1,0,\pm 1,0)</math>,

:<math>(\pm 1,0,0,\pm 1)</math>,

:<math>(0,\pm 1,\pm 1,0)</math>,

:<math>(0,\pm 1,0,\pm 1)</math>,

:<math>(0,0,\pm 1,\pm 1)</math>,

:<math>(\pm 1,0,0,0)</math>,

:<math>(0,\pm 1,0,0)</math>,

:<math>(0,0,\pm 1,0)</math>,

:<math>(0,0,0,\pm 1)</math>,

:<math>\left(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\right)</math>,

і '''простыя дадатныя каранёвыя вектары'''
:<math>(0,1,-1,0)</math>,

:<math>(0,0,1,-1)</math>,

:<math>(0,0,0,1)</math>,

:<math>\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)</math>.

=== Група Вейля/Група Каксетэра ===
Для дадзенай групы гэта — [[група сіметрыі]] [[:en:24-cell|гіперактаэдра]].

=== [[Матрыца Картана]] ===
:<math>
\begin{pmatrix}
2&-1&0&0\\
-1&2&-2&0\\
0&-1&2&-1\\
0&0&-1&2
\end{pmatrix}
</math>

=== Рашотка сіметрыі F<sub>4</sub> ===

4-мерная аб'ёмнацэнтраваная кубічная рашотка мае F<sub>4</sub> як кропкавую групу сіметрыі. Гэта аб’яднанне дзвюх гіперкубічных рашотак, кропкі кожнай з якіх ляжаць у цэнтрах гіперкубоў іншай, утварае кальцо, званае кальцом кватэрніёнаў Гурвіца. 24 кватэрніёны Гурвіца з нормай 1 утвараюць гіперактаэдр.

== Гл. таксама ==

* [[G2 (матэматыка)|G2]]
* [[E6 (матэматыка)|E6]]
* [[E7, матэматыка|E7]]
* [[E8 (матэматыка)|E8]]

== Літаратура ==

* John Baez, ''The Octonions'', Section 4.2: F<sub>4</sub>, [http://www.ams.org/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/home.html Bull. Amer. Math. Soc. '''39''' (2002), 145-205]. [http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html On-line HTML варыянт] {{ref-en}}

[[Катэгорыя:Групы Лі]]