Прагляд зыходнага тэксту старонкі P-адычны лік

{{загаловак з малой літары}}
'''''p''-адычны лік'''<ref>чытаецца: ''пэ-адычны''; адпаведна: ''два-адычны'', ''тры-адычны'' і г.д.</ref> (дзе ''p'' — нейкі выбраны [[просты лік]]) — элемент [[пашырэнне поля|пашырэння]] [[Поле (алгебра)|поля]] [[Рацыянальны лік|рацыянальных лікаў]], якое з’яўляецца [[Фундаментальная паслядоўнасць|папаўненнем]] поля рацыянальных лікаў адносна ''p''-адычнай [[Нармаванне|нормы]], вызначанай на аснове ўласцівасцей дзялімасці цэлых лікаў на ''р''.

''p''-адычныя лікі ўвёў {{нп5|Курт Хензэль||de|Kurt Hensel}} у 1897 годзе<ref>{{артыкул
 | аўтар = Kurt Hensel. | загаловак = Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen | выданне = [http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/PPN37721857X&L=2 Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung] | том = 6 | год = 1897 | нумар = 3 | старонкі = 83—88 | спасылка = http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN00211612X&L=2}}{{ref-de}}</ref>.

Поле ''p''-адычных лікаў звычайна абазначаецца <math>\mathbb Q_p</math> ці <math>\mathbf Q_p</math>.

== Алгебраічная пабудова ==

=== Цэлыя ''p''-адычныя лікі ===

==== Стандартнае азначэнне ====

Няхай ''p'' — некаторы [[просты лік]].
'''Цэлым ''p''-адычным лікам''' называецца бесканечная паслядоўнасць <math>x=\{x_1,x_2,\ldots\}</math> цэлых лікаў <math>x_n</math>, якія задавальняюць умову:
: <math>x_n\equiv x_{n+1}\pmod{p^n}.</math>

Дзве паслядоўнасці <math>{x_n}</math> і <math>{y_n}</math> вызначаюць адзін і той жа цэлы ''p''-адычным лік тады і толькі тады, калі
: <math>x_n\equiv y_n\pmod{p^n}</math>
для ўсіх {{math|''n'' ≥ 1}}.

[[Складанне]] і [[множанне]] цэлых ''p''-адычных лікаў вызначаецца як пачленнае складанне і множанне такіх паслядоўнасцей. Для іх непасрэдна правяраюцца ўсе аксіёмы [[Кальцо (алгебра)|кальца]].

==== Азначэнне праз праектыўны ліміт ====

У тэрмінах {{нп5|Праектыўны ліміт|праектыўных лімітаў|ru|Проективный предел}} кальцо цэлых ''p''-адычных лікаў вызначаецца як ліміт
: <math>\lim_{\leftarrow}\mathbb{Z} / {p^n}\mathbb{Z}</math>
кольцаў <math>\mathbb{Z} / {p^n}\mathbb{Z}</math> вылікаў па модулю <math>p^n</math> адносна натуральных праекцый <math>\mathbb{Z}/{p^{n+1}}\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/{p^n}\mathbb{Z}</math>.

Такія пабудовы можна правесці ў выпадку не толькі простага ліку <math>p</math>, але і любога састаўнога ліку <math>m</math> — атрымаецца т. зв. кальцо <math>m</math>-адычных лікаў, але гэтае кальцо ў адрозненне ад <math>\mathbb{Z}_p</math> утрымлівае [[Дзельнік нуля|дзельнікі нуля]], таму далейшыя пабудовы, якія разглядаюцца ніжэй, для яго непрыдатныя.

==== Уласцівасці ====

Кальцо цэлых ''p''-адычных лікаў звычайна абазначаецца <math>\mathbb{Z}_p</math>. Звычайныя цэлыя лікі ўкладваюцца ў <math>\mathbb{Z}_p</math> відавочным чынам: <math>x=\{x,x,\ldots\}</math> і з’яўляюцца падкальцом.

Беручы ў якасці элемента класа вылікаў лік <math>a_n = x_n\,\bmod\,{p^n}</math> (такім чынам, <math>0\le a_n<p^n</math>), мы можам запісаць кожны цэлы ''p''-адычны лік у выглядзе <math>x=\{a_1,a_2,\ldots\}</math> адназначным чынам. Такое прадстаўленне называецца ''кананічным''.

Запісваючы кожнае {{math|''a<sub>n</sub>''}} у [[пазіцыйная сістэма злічэння|''p''-ічнай сістэме злічэння]] <math>a_n=b_{n-1}\ldots b_1b_0</math> і, улічваючы, што
: <math>a_n\equiv a_{n+1} \!\! \pmod{p^n},</math>
мы можам усякі ''p''-адычны лік у кананічным выглядзе прадставіць як
: <math>x=\{b_0, b_1b_0, b_2b_1b_0,\ldots\}</math>
ці запісаць у выглядзе бесканечнай паслядоўнасці лічбаў у ''p''-ічнай сістэме злічэння
: <math>x=\{\ldots b_k\ldots b_1b_0\}.</math>
Дзеянні над такімі паслядоўнасцямі ажыццяўляюцца па звычайных правілах [[складанне|складання]], [[адыманне|адымання]] і [[множанне|множання]] «слупком» у ''p''-ічнай сістэме злічэння.

У такой форме запісу [[натуральны лік|натуральным лікам]] і нулю адпавядаюць ''p''-адычныя лікі з канечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, якія супадаюць з лічбамі зыходнага ліку. [[Адмоўны лік|Адмоўным лікам]] адпавядаюць ''p''-адычныя лікі з бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, напрыклад у пяцярковай сістэме −1=…4444=(4).

=== ''p''-адычныя лікі ===

==== Азначэнне як поля дзелей ====

'''''p''-адычным лікам''' называецца элемент [[Кальцо дзелей|поля дзелей]] <math>\mathbb{Q}_p</math> кальца <math>\mathbb{Z}_p</math> цэлых ''p''-адычных лікаў.
Гэтае поле называецца '''полем ''p''-адычных лікаў'''.

==== Уласцівасці ====

Поле ''p''-адычных лікаў утрымлівае ў сабе поле [[Рацыянальны лік|рацыянальных лікаў]].

Няцяжка даказаць, што любы цэлы {{math|''p''}}-адычны лік, някратны {{math|''p''}}, будзе абарачальным у колцы <math>\mathbb{Z}_p</math>, а кратнае {{math|''p''}} адназначна запісваецца ў выглядзе <math>xp^n</math>, дзе лік {{math|''x''}} не дзеліцца на {{math|''p''}} і таму абарачальны, а {{math|''n'' > 0}}.

Таму любы ненулявы элемент поля <math>\mathbb{Q}_p</math> можна запісаць у выглядзе <math>xp^n</math>, дзе ''x'' не кратнае ''p'', а ''n'' любое.

Калі ''n'' адмоўнае, то, зыходзячы з прадстаўлення цэлых ''p''-адычных лікаў у выглядзе паслядоўнасці лічбаў у ''p''-ічнай сістэме злічэння, мы можам запісаць такі ''p''-адычны лік у выглядзе паслядоўнасці
: <math>x=\{\ldots b_k\ldots b_2 b_1 b_0,b_{-1}\ldots b_{-n}\},</math>
г.зн. фармальна прадставіць у выглядзе ''p''-ічнага дробу з канечным лікам лічбаў пасля коскі і, магчыма, бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў да коскі.

Дзяліць такія лікі можна аналагічна «школьнаму» правілу, але пачынаючы з малодшых, а не старшых разрадаў ліку.

== Метрычная пабудова ==

Любы ненулявы рацыянальны лік {{math|''x''}} можна запісаць як
: <math>r=p^n \,\frac{a}{b},</math>
дзе {{math|''a''}} і {{math|''b''}} — цэлыя лікі, якія не дзеляцца на {{math|''p''}}, а {{math|''n''}} — цэлы лік, які ў такім прадстаўленні вызначаецца адназначна.

Тады ''p''-адычная [[Нармаванне|норма]] ліку {{math|''x''}} вызначаецца як
: <math>|x|_p = p^{-n}.</math>

Для нуля ''p''-адычная норма паводле азначэння роўная нулю:
: <math>|0|_p=0.</math>

Поле ''p''-адычных лікаў ёсць [[Фундаментальная паслядоўнасць|папаўненне]] поля рацыянальных лікаў з метрыкаю <math>d_p</math>, вызначанаю ''p''-адычнай нормай:
: <math>d_p(x,y)=|x-y|_p .</math>

Гэтая пабудова аналагічная пабудове поля [[рэчаісны лік|рэчаісных лікаў]] як папаўнення поля рацыянальных лікаў пры дапамозе нормы, якая з’яўляецца звычайнаю [[Абсалютная велічыня|абсалютнаю велічынёю]].

Норма <math>|r|_p</math> працягваецца па непарыўнасці да нормы на <math>\mathbb{Q}_p</math>.

== Уласцівасці ==
* Кожны элемент ''x'' поля ''p''-адычных лікаў можна прадставіць у выглядзе [[збежны рад|збежнага рада]]
:: <math>x=\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i</math>
: дзе <math>n_0</math> — некаторы цэлы лік, а <math>a_i</math> — цэлыя неадмоўныя лікі, не большыя чым <math>p-1</math>. А іменна, у якасці <math>a_i</math> тут выступаюць лічбы з запісу ''x'' у сістэме злічэння з асноваю ''p''. Такая сума заўсёды збягаецца ў метрыцы <math>d_p</math> да самога <math>x</math>.
* ''p''-адычная норма <math>|x|_p</math> задавальняе [[Ультраметрычная прастора|моцную няроўнасць трохвугольніка]]
:: <math>|x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.</math>
:* Лікі <math>x\in \mathbb Q_p</math> з умоваю <math>|x|_p\le 1</math> утвараюць кальцо <math>\mathbb{Z}_p</math> цэлых ''p''-адычных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем кальца цэлых лікаў <math>\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}</math> у норме <math>|x|_p</math>.
:* Лікі <math>x\in \mathbb{Q}_p</math> з умоваю <math>|x|_p= 1</math> утвараюць мультыплікатыўную групу і называюцца ''p''-адычнымі адзінкамі.
:* Сукупнасць лікаў <math>x\in \mathbb{Q}_p</math> з умоваю <math>|x|_p<1</math> з’яўляецца галоўным ідэалам у <math>\mathbb{Z}_p</math> з утваральным элементам ''p''.
* [[Метрычная прастора]] <math>(\mathbb{Z}_p,d_p)</math> [[Гомеамарфізм|гомеаморфная]] [[Кантарава мноства|Кантараву мноству]], а прастора <math>(\mathbb{Q}_p,d_p)</math> гомеаморфная Кантараву мноству з выразаным пунктам.
* Для розных ''p'' нормы <math>|x|_p</math> незалежныя, а палі <math>\mathbb{Q}_p</math> неізаморфныя.
* Для любых элементаў <math>r_\infty</math>, <math>r_2</math>, <math>r_3</math>, <math>r_5</math>, <math>r_7</math>, … такіх, што <math>r_\infty \in \mathbb R</math> і <math>r_p\in \mathbb Q_p</math>, можна знайсці паслядоўнасць рацыянальных лікаў <math>x_n</math> такіх, што для любога ''p'' <math>|x_i-r_p|_p\to 0</math> і <math>|x_i-r_\infty|\to 0</math>.

== Выкарыстанне ==
* Калі <math>F(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі, то вырашальнасць пры ўсіх ''k'' параўнання
:: <math>F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0 \pmod{p^k}</math>
: раўназначная вырашальнасці ўраўнення
:: <math>F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0</math>
: у цэлых ''p''-адычных ліках. Неабходнаю ўмоваю вырашальнасці гэтага ўраўнення ў цэлых ці рацыянальных ліках з’яўляецца яго вырашальнасць у кольцах ці, адпаведна, палях ''p''-адычных лікаў пры ўсіх ''p'', а таксама ў полі рэчаісных лікаў. Для некаторых класаў мнагачленаў (напрыклад, для квадратычных форм) гэтая ўмова з’яўляецца таксама дастатковаю.

: На практыцы для праверкі вырашальнасці ўраўнення ў цэлых ''p''-адычных ліках дастаткова праверыць вырашальнасць названага параўнання для пэўнага канечнага ліку значэнняў ''k''. Напрыклад, згодна з {{нп5|Лема Хензеля|лемаю Хензеля|en|Hensel's lemma}}, пры <math>n=1</math> дастатковаю ўмоваю для вырашальнасці параўнання пры ўсіх натуральных ''k'' будзе наяўнасць простага рашэння ў параўнання па модулю ''p'' (г.зн. простага кораня ў адпаведнага ўраўнення ў полі вылікаў па модулю ''p''). Інакш кажучы, пры <math>n=1</math> для праверкі наяўнасці кораня ў ураўнення у цэлых ''p''-адычных ліках, як правіла, дастаткова рашыць адпаведнае параўнанне пры <math>k=1</math>.

{{зноскі}}

== Літаратура ==
* {{cite book |last=Robert |first=Alain M. |year=2000 |title=A Course in ''p''-adic Analysis |url=https://archive.org/details/courseinpadicana0000robe |publisher=Springer |isbn=0-387-98669-3}}
* {{артыкул
 | аўтар = Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю.
 | загаловак = 2-адические числа
 | выданне = [[Квант (часопіс)|Квант]]
 | том = 2
 | год = 1979
 | старонкі = 26—31
 | спасылка = http://kvant.mccme.ru/1979/02/2--adicheskie_chisla.htm
}}
* ''Боревич З. И., Шафаревич И. Р.'' Теория чисел. — {{М.}}: Наука, 1985.
* ''Коблиц Н.'' р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. — {{М.}}: Мир, 1982.
* ''Радына А. Я., Радына Я. В.'' Элементарныя ўводзіны ў р-адычны аналіз. — {{Мн.}}: БДПУ, 2006.
* ''Серр Ж.-П.'' Курс арифметики. — {{М.}}: Мир, 1972.

== Спасылкі ==
* {{MathWorld|urlname=p-adicNumber|title=p-adic Number}}
* {{PlanetMath|urlname=padicintegers|title=p-adic integers}}
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/P-adic_number ''p''-adic number] at [[Encyclopaedia of Mathematics|Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics]]
* [http://math.stanford.edu/~conrad/248APage/handouts/algclosurecomp.pdf Completion of Algebraic Closure] — on-line lecture notes by Brian Conrad
* [http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20161213093839/http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf |date=13 снежня 2016 }} — on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
* [http://homes.esat.kuleuven.be/~fvercaut/talks/pAdic.pdf Efficient p-adic arithmetic] (slides)
{{Вонкавыя спасылкі}}
{{Лікі}}

[[Катэгорыя:Тэорыя лікаў]]
[[Катэгорыя:Лікі]]