Спецыяльная ўнітарная група: Розніца паміж версіямі

Актуальная версія на 20:42, 30 сакавіка 2023

Спецыяльная унітарная група — група унітарных матрыц зададзенага парадку з вызначнікам роўным 1 і здабыткам матрыц як групавой аперацыяй; для матрыц памерам $n \times n$ абазначаецца $S U (n)$ .

Спецыяльная унітарная група з'яўляецца падгрупай унітарнай групы $U (n)$ , якая складаецца з усіх унітарных матрыц $n \times n$ .

Для групы $S U (2)$ генератары вядомыя як матрыцы Паўлі:

σ_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

σ_{2} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix})

σ_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

Аналагам матрыц Паўлі для $S U (3)$ служаць матрыцы Гел-Мана:

Шаблон:0	$λ_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$	$λ_{2} = (\begin{matrix} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$	$λ_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$
Шаблон:0	$λ_{4} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})$	$λ_{5} = (\begin{matrix} 0 & 0 & - i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{matrix})$	$λ_{6} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})$
Шаблон:0	$λ_{7} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{matrix})$	$λ_{8} = \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix})$

Генератары для $S U (3)$ вызначаюцца як $T$ з выкарыстаннем суадносін:

T_{a} = \frac{λ_{a}}{2}

.

Яны падпарадкоўваюцца наступным суадносінам:

$[T_{a}, T_{b}] = i \sum_{c = 1}^{8} f_{a b c} T_{c}$ , дзе $f$ — структурная канстанта, значэнні якой роўныя:

f^{123} = 1

,

f^{147} = f^{165} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = f^{376} = \frac{1}{2}

,

f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2}

;