Лінейнае ўраўненне

Лінейнае ўраўненне — гэта алгебраічнае ўраўненне першай ступені па сукупнасці невядомых, г. зн. ураўненне выгляду:

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n=b,$

дзе

Шаблон:Math, Шаблон:Math, ..., Шаблон:Math, Шаблон:Math — вызначаныя лікі,

Шаблон:Math, Шаблон:Math, ..., Шаблон:Math — невядомыя велічыні.

Пры гэтым лікі Шаблон:Math, Шаблон:Math, ..., Шаблон:Math называюцца каэфіцыентамі ўраўнення, а Шаблон:Math — свабодным членам.

У выпадку, калі свабодны член Шаблон:Math, лінейнае ўраўненне называецца аднародным.

Лінейнае ўраўненне можна прадставіць:

• у агульнай форме: $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n+b=0;$
• у кананічнай форме: $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n=b.$

Лінейнае ўраўненне адной зменнай

Лінейнае ўраўненне ад адной зменнай можна прывесці да выгляду:

$ax+b=0.$

Колькасць рашэнняў залежыць ад параметраў a і b.

• Калі $a=b=0,$ то ўраўненне мае бясконцае мноства рашэнняў, бо $\mathrm{\forall }x\in ℝ:x\cdot 0=0.$
• Калі $a=0,b\ne 0,$ то ўраўненне не мае рашэнняў, бо не існуе такіх лікаў Шаблон:Math, для якіх $0\cdot x=-b\ne 0.$
• Калі $a\ne 0,$ то ўраўненне мае адзінае рашэнне $x=-\frac{b}{a}.$

Лінейнае ўраўненне дзвюх зменных

Геаметрычнае месца кропак лінейнага ўраўнення ад дзвюх зменных выгляду:
y = ax + b.

Лінейнае ўраўненне дзвюх зменных можна прадставіць

• у агульнай форме: $ax+by+c=0;$
• у кананічнай форме: $ax+by=-c;$
• у выглядзе лінейнай функцыі: $y=kx+m,$ дзе $k=-\frac{a}{b};m=-\frac{c}{b}.$

Рашэннем або коранем такога ўраўнення называюць такую пару значэнняў зменных $(x;y),$ якая пры падстаноўцы ператварае яго ў тоеснасць. Такіх рашэнняў (каранёў) лінейнае ўраўненне з двума зменнымі мае бясконцае мноства. Геаметрычнай мадэллю (графікам) такога ўраўнення з'яўляецца прамая

$y=kx+m.$

Гл. таксама

• Лінейная функцыя
• Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў

Літаратура

• Шаблон:Кніга

Спасылкі

• Решение линейных уравнений Шаблон:Архівавана на сайце «Рекомендации учащимся»