Бэта-размеркаванне другога тыпу

Бэта-размеркаванне другога тыпу — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей. Калі $p\in [0,1]$ мае бэта-размеркаванне, то шансы $\frac{p}{1-p}$ маюць бэта-размеркаванне другога тыпу.

Бэта-размеркаванне другога тыпу можа выкарыстоўвацца як Шаблон:Нп5 для размеркавання Бэрнулі, калі яно параметрызаванае праз шансы, а не імавернасць. Супадае з Шаблон:Нп5 VI тыпу.

Азначэнне

Бэта-размеркаванне другога тыпу з двума параметрамі α і β для $x>0$ мае шчыльнасць імавернасці

$f(x)=\frac{x^{\alpha -1}(1+x{)}^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}$

дзе B — бэта-функцыя.

Функцыя размеркавання мае выгляд

$F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac{x}{1+x}}(\alpha ,\beta ),$

дзе I — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя.

Іншая форма запісу функцыі размеркавання:

$\frac{x^{\alpha }\cdot {}_2{F}_1(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot B(\alpha ,\beta )},$

дзе ${}_2{F}_1$ — Шаблон:Нп5 Гауса ₂F₁ .

Альтэрнатыўная параметрызацыя

Бэта-размеркаванне другога тыпу можа быць параметрызавана праз сярэдняе μ > 0 і дакладнасць ν > 0Шаблон:Rp.

Няхай $\mu =\alpha /(\beta -1)$ і $\nu =\beta -2$, то бок $\alpha =\mu (1+\nu )$ і $\beta =2+\nu$. У такой параметрызацыі $𝔼[X]=\mu$ і $Var[Y]=\mu (1+\mu )/\nu$.