Формула поўнага матэматычнага спадзявання

Формула поўнага матэматычнага спадзявання — закон тэорыі імавернасцей, які звязвае матэматычнае спадзяванне выпадковай велічыні з умоўным матэматычным спадзяваннем.

Фармулёўка

Няхай $E_1,E_2,\dots ,E_n$ — поўная група падзей, такая што $P(E_k)>0$ для ўсіх $k=1,2,\dots ,n.$ Тады для ўсякай выпадковай велічыні $X$, у якой існуюць адпаведныя матэматычныя спадзяванні, праўдзіцца роўнасць

$𝔼[X]=\sum _{k=1}^{n}P(E_k)𝔼[X|E_k].$

Доказ

Доказ формулы вынікае з азначэння ўмоўнага матэматычнага спадзявання:

$𝔼[X|E_k]=\frac{1}{P(E_k)}\underset{E_k}{\int }X(\omega )dP(\omega ).$

Карыстаючыся тым, што $E_1,E_2,\dots ,E_n$ — поўная група падзей і азначэннем вышэй, атрымліваем

$𝔼[X]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }X(\omega )dP(\omega )=\sum _{k=1}^n\underset{E_k}{\int }X(\omega )dP(\omega )=\sum _{k=1}^{n}P(E_k)𝔼[X|E_k].$

Прыклад

Няхай толькі два заводы пастаўляюць электрычныя лямпачкі на рынак. Лямпачкі з завода $X$ працуюць у сярэднім 5000 гадзін, а лямпачкі з завода $Y$ — у сярэднім 4000 гадзін. Вядома, што завод $X$ пастаўляе 60 % ад агульнай колькасці даступных лямпачак. Якое матэматычнае спадзяванне часу дзеяння выпадкова набытай лямпачкі?

Скарыстаўшы формулу поўнага матэматычнага спадзявання, атрымліваем:

$\begin{array}{cc}𝔼[L]& =𝔼[L\mid X]\mathrm{P}(X)+𝔼[L\mid Y]\mathrm{P}(Y)\\ & =5000(0.6)+4000(0.4)\\ & =4600,\end{array}$

дзе

• $𝔼[L]$ — матэматычнае спадзяванне часу дзеяння лямпачкі;
• $\mathrm{P}(X)=\frac{6}{10}$ — імавернасць таго, што набытая лямпачка была зроблена на заводзе $X;$
• $\mathrm{P}(Y)=\frac{4}{10}$ — імавернасць таго, што набытая лямпачка была зроблена на заводзе $Y;$
• $𝔼[L\mid X]=5000$ — матэматычнае спадзяванне часу дзеяння лямпачкі, зробленай на заводзе $X;$
• $𝔼[L\mid Y]=4000$ — матэматычнае спадзяванне часу дзеяння лямпачкі, зробленай на заводзе $Y.$

Такім чынам, выпадкова набытая лямпачка мае матэматычнае спадзяванне часу дзеяння, роўнае 4600 гадзінам.

Гл. таксама

• Формула поўнай імавернасці

Літаратура

• Шаблон:Кніга