Даўжыня крывой

Даўжынёй крывой у метрычнай прасторы $(X,\rho )$ называецца варыяцыя адлюстравання, якім задаецца крывая, г.з. даўжыня крывой $\gamma :[a,b]\to X$ ёсць велічыня, роўная:

$\sup {\mathrm{\backslash limits}}_P\sum _{k=0}^m\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_k))$,

дзе дакладная верхняя грань бярэцца па ўсіх разбіццях $P$ адрэзка $[a,b]$.

Звязаныя азначэнні

Калі даўжыня канечная, то кажуць, што крывая выпрастальная, у адваротным выпадку невыпрастальная.

Формулы

Калі крывая належыць класу $C^1$ у ${ℝ}^n$, то яе даўжыня роўная:

• У трохмернай еўклідавай прасторы ${ℝ}^3$:

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2+(z^{\prime }(t){)}^2}dt.$

• У агульным выпадку Шаблон:Math-мернай еўклідавай прасторы ${ℝ}^n$:

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{\sum _{k=1}^n{(f{\text{'}}_k(t))}^2}dt.$

• Калі крывая зададзена на плоскасці ${ℝ}^2$ як графік функцыі Шаблон:Math, то яе даўжыня роўная

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx.$