Тэарэма Грына — Тао

У тэорыі лікаў тэарэма Грына-Тао, даказаная Бенам Грынам і Тэрэнцам Тао ў 2004 годзе, сцвярджае, што паслядоўнасць простых лікаў змяшчае адвольна доўгія арыфметычныя прагрэсіі. А дакладней, для любога натуральнага Шаблон:Math існуюць арыфметычныя прагрэсіі, якія ўтрымліваюць Шаблон:Math простых лікаў. Па сутнасці, доказ тэарэмы ўяўляе сабою пашырэнне тэарэмы Семерэдзі.

Гісторыя задачы

Гіпотэза аб існаванні адвольна доўгіх арыфметычных прагрэсій з простых лікаў дастаткова вядомая. Аўтар гэтай гіпотэзы невядомы, і яе можна апісаць як класічную, ці, нават, "народную". У Дзіксанавай "Гісторыі тэорыі лікаў" адзначана, што каля 1770 года Лагранж і Варынг даследавалі, якой мае быць рознасць арыфметычнай прагрэсіі з L простых, і цяжка ўявіць, каб яны не цікавіліся тым, ці былі іхнія ацэнкі дакладнымі для ўсіх L.

З’яўленне гэтай гіпотэзы не было нечаканасцю, бо простая эўрыстыка, заснаваная на тэарэме пра размеркаванне простых лікаў наводзіць на думку, што існуе $\gg N^2/(\log N{)}^k$ Шаблон:Math-членных паслядоўнасцей простых $p_1,p_2,\dots ,p_k$ у арыфметычнай прагрэсіі, дзе кожны з $p_i$ не перавышае Шаблон:Math. У 1923 годзе Хардзі і Літльвуд выставілі адну дужа агульную гіпотэзу, якая ў адмысловым выпадку ўтрымлівае гіпотэзу пра тое, што лік такіх Шаблон:Math-членных прагрэсій асімптатычна роўны $C_k{N}^2/(\ln N{)}^k$ з некаторай яўнай сталай $C_k>0$.

Першы поспех на шляху доказу гэтых здагадак быў дасягнуты ван-дэр-Корпутам, які, карыстаючыся метадам Вінаградава для сум па простых ліках, даказаў гіпотэзу ў выпадку Шаблон:Math, гэта значыць, што існуе бясконца многа троек простых лікаў у арыфметычнай прагрэсіі. Аднак, тады пытанне пра даўжэйшыя арыфметычныя паслядоўнасці канчаткова развязана не было. Пазней былі атрыманы некаторыя іншыя вынікі, якія ўскосна пацвярджалі выказаныя здагадкі. Развязак задачы пра арыфметычныя прагрэсіі з простых лікаў быў завершаны работай Грына і Тао.

Дакладная фармулёўка

Няхай Шаблон:Math - любое падмноства простых лікаў дадатнай адноснай верхняй шчыльнасці

(гэта значыць,

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{|A\cap [1,k]|}{\pi (k)}>0,$

дзе $\pi (x)$ абазначае колькасць простых лікаў, меншых ці роўных за Шаблон:Math.)

Тады для любых натуральных Шаблон:Math мноства Шаблон:Math ўтрымлівае бясконца многа арыфметычных прагрэсій даўжыні Шаблон:Math.

Абагульненні

У 2006 годзе Тао і Тамар Цыглер абагульнілі свой вынік на палінаміяльныя прагрэсіі. Больш дакладна, няхай дадзены любыя цэлалікавыя мнагасклады Шаблон:Math ад адной зменнай Шаблон:Math з нулявымі сталымі складнікамі, тады існуе бясконца многа цэлых Шаблон:Math, Шаблон:Math, такіх што лікі Шаблон:Math адначасова простыя. Адмысловы выпадак, калі мнагасклады роўныя Шаблон:Math, дае папярэдні вынік пра існаванне арыфметычных прагрэсій даўжыні Шаблон:Math з простых лікаў.

Лікавыя вынікі

Вышэйазначаныя вынікі ёсць тэарэмамі існавання і не паказваюць, як знайсці такія прагрэсіі. 18 студзеня 2007 Яраслаў Урублеўскі знайшоў першую вядомую арыфметычную прагрэсію з 24 простых лікаў:

468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, для n ад 0 да 23.

Сталая 223092870 ёсць здабыткам усіх простых лікаў ад 2 да 23.

17 траўня 2008 года Урублеўскі і Раанан Чэрмані адшукалі першы вядомы выпадак з 25 простых лікаў:

6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, для n = ад 0 да 24.

12 красавіка 2010 Бенуа Перышон, карыстаючыся праграмай Урублеўскага і Джэфа Рэйнальдса ў праекце размеркаваных вылічэнняў PrimeGrid адшукаў першы вядомы выпадак 26 простых лікаў (Шаблон:OEIS):

43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, для n = ад 0 да 25.