Першаісная

Шаблон:Універсальная картка ПершаіШаблон:Націсксная функцыі Шаблон:Math − такая функцыя Шаблон:Math, вытворная якой для ўсіх Шаблон:Math з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі Шаблон:Math, гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць

$F^{\prime }(x)=f(x).$

Сукупнасць усіх першаісных функцыі Шаблон:Math на прамежку Шаблон:Math называецца нявыШаблон:Націскзначаным інтэграШаблон:Націсклам і пазначаецца сімвалам

$\int f(x)dx.$

Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграваШаблон:Націскннем.

Уласцівасці нявызначанага інтэграла

• Калі Шаблон:Math − першаісная функцыі Шаблон:Math на прамежку Шаблон:Math, то ўсякая першаісная функцыі Шаблон:Math на гэтым прамежку маШаблон:Націске выгляд Шаблон:Math, дзе Шаблон:Math — адвольная сталая.

Сувязь з дыферэнцыялам і вытворнай

• Сувязь першаіснай з вытворнаю

$(\int f(x)dx)=f(x),$

$\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C.$

• Сувязь першаіснай з дыферэнцыялам

$d(\int f(x)dx)=f(x)dx,$

$\int d(F(x))=F(x)+C.$

Лінейнасць нявызначанага інтэграла

• Няхай Шаблон:Math ёсць ненулявою сталаю, тады

$\int af(x)dx=a\int f(x)dx.$

• Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:

$\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.$

Сувязь з інтэгралам Рымана

• Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана. Няхай Шаблон:Math непарыўная на прамежку Шаблон:Math. Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

ёсць першаіснаю функцыі Шаблон:Math на прамежку Шаблон:Math .

• Формула Ньютана-Лейбніца. Няхай Шаблон:Math ёсць першаіснаю функцыі Шаблон:Math на прамежку Шаблон:Math, тады праўдзіцца роўнасць

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a),$

называная формулай Ньютана-Лейбніца.

Асноўныя метады інтэгравання

Лінейныя пераўтварэнні

• Метад раскладання. Калі

  $g(x)=g_1(x)+g_2(x),$

  то

  $\int g(x)dx=\int g_1(x)dx+\int g_2(x)dx.$

Метад падстаноўкі

• Увядзенне новага аргумента. Калі

  $\int g(x)dx=G(x)+C,$

  то

  $\int g(u)du=G(u)+C,$

  дзе $u=\phi (x)$ — непарыўна дыферэнцавальная функцыя.

• Метад падстаноўкі. Калі $g(x)$ — непарыўная, то, прымаючы

  $x=\phi (t),$

  дзе $\phi (t)$ — непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем

  $\int g(x)dx=\int g(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt.$

Інтэграванне па частках

• Метад інтэгравання па частках. Калі $u$ і $v$ — нейкія дыферэнцавальныя функцыі ад Шаблон:Math, то

$\int udv=uv-\int vdu.$

Першаісная ў камплексным аналізе

• Функцыя Шаблон:Math мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.

• Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.

Прыклад:

$\underset{1}{\overset{z}{\int }}\frac{dt}{t}=\mathrm{Ln}z$

Першаісныя найпрасцейшых элементарных функцый

У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй (тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная). Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы:

$\int e^{-x^2}dx,\int \sin (x^2)dx,\int \frac{e^x}{x}dx,\int \frac{\sin x}{x}dx,\int \frac{dx}{\ln x}.$

У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый:

$\int 0dx=C;$

$\int 1dx=x+C;$

$\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C,(\alpha \ne -1);$

$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C;$

$\int e^{x}dx=e^x+C;$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,(a>0,a\ne 1);$

$\int \cos xdx=\sin x+C;$

$\int \sin xdx=-\cos x+C;$

$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{tg}x+C;$

$\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\mathrm{ctg}x+C;$

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_1,(C_1=\frac{\pi }{2}+C);$

$\int \frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{arctg}x+C;$

$\int \mathrm{ch}xdx=\mathrm{sh}x+C;$

$\int \mathrm{sh}xdx=\mathrm{ch}x+C;$

Гл. таксама

• Вытворная функцыі
• Інтэграл Рымана
• Спіс інтэгралаў