Тэарэма Ферма — Эйлера

Шаблон:Значэнні Тэарэма Ферма-Эйлера або тэарэма аб прадстаўленні простых лікаў сумай двух квадратаў сцвярджае:

Шаблон:Тэарэма Інакш кажучы, для простага ліку Шаблон:Math існаванне цэлых лікаў Шаблон:Math і Шаблон:Math, такіх што

$p=x^2+y^2$

раўназначна таму, што лік Шаблон:Math пры дзяленні на 4 дае ў астачы 1:

$p\equiv 1(\mathrm{mod}4).$

У замежнай літаратуры гэта сцверджанне часта называюць Каляднай тэарэмай Ферма, бо яно стала вядома з пісьма П'ера Ферма, дасланага ім 25 снежня 1640 года.

Прыклады:

$5=1^2+2^2,13=2^2+3^2,17=1^2+4^2,29=2^2+5^2,37=1^2+6^2,41=4^2+5^2.$

Гісторыя

Упершыню гэта сцвярджэнне сустракаецца ў Альбера Жырара ў 1632 годзе. П'ер Ферма заявіў у сваім пісьме Мерсену (1640), што ён даказаў гэту тэарэму, але доказу не прывёў. Праз 20 год у пісьме да Каркаві (жнівень 1659 года) Ферма намякае, што доказ заснаваны на метадзе бесканечнага спуску.

Першы абнародаваны доказ метадам бесканечнага спуску быў знойдзен Леанардам Эйлерам паміж 1742 і 1747 гадамі. Пазней доказы, заснаваныя на іншых ідэях, далі Жазэф Лагранж, Карл Гаус, Герман Мінкоўскі, Якобшталь і Дон Цагір. Апошні прывёў доказ у адзін сказ.

Доказ

Адзін з самых кароткіх доказаў прыдумаў нямецкі матэматык Дон Цагір.

Абагульненне

З гэтага сцверджання пры дапамозе тоеснасці Брахмагупты:

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2=(ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2$

выводзіцца агульнае сцверджанне:

Часам іменна гэта сцверджанне разумеюць пад тэарэмай Ферма — Эйлера.

Літаратура

• Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960.- 375 с.
• Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа. Квант, № 3 (1999), стр. 14-22.