Ураўненне Гамільтана — Якобі

Шаблон:Фізічная тэорыя У фізіцы і матэматыцы, ураўненнем Гамільтана — Якобі называецца ўраўненне наступнага выгляду

$H(q_1,\dots ,q_n;\frac{\partial S}{\partial q_1},\dots ,\frac{\partial S}{\partial q_n};t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0.$

Тут S абазначае класічнае дзеянне, $H(q_1,\dots ,q_n;p_1,\dots ,p_n;t)$ — гамільтаніян, $q_i$ — абагульненыя каардынаты.

Непасрэдна адносіцца да класічнай (не квантавай) механікі, аднак добра прыстасавана для ўстанаўлення сувязі паміж класічнай механікай і квантавай, бо яго можна, напрыклад, атрымаць практычна прама з ураўнення Шродзінгера ў прыбліжэнні хуткаасцыліруючай хвалевай функцыі (вялікіх частот і хвалевых лікаў).

У класічнай механіцы ўзнікае звычайна са спецыяльнага кананічнага пераўтварэнні класічнага гамільтаніяна, якое прыводзіць да гэтага нелінейнага дыферэнцыйнага ўраўнення першага парадку, рашэнне якога апісвае паводзіны дынамічнай сістэмы.

Варта адрозніваць ураўненне Гамільтана — Якобі ад ураўненняў руху Гамільтана і Эйлера — Лагранжа. Хоць гэтае ўраўненне і выводзіцца з іх, але ўяўляе сабой адно ўраўненне, якое апісвае дынаміку механічнай сістэмы з любой колькасцю ступеней свабоды s, у адрозненне ад 2s ураўненняў Гамільтана і s ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Ураўненне Гамільтана — Якобі дапамагае элегантна вырашыць задачу Кеплера.

Кананічнае пераўтварэнне

Ураўненне Гамільтана — Якобі неадкладна вынікае з таго факта, што для любой функцыі Шаблон:Math (не звяртаючы ўвагі на індэксы), ураўненні руху не змяняюцца для Шаблон:Math і Шаблон:Math

$(1)\frac{\partial S}{\partial q}=p,\frac{\partial S}{\partial p^{\prime }}=q^{\prime },H^{\prime }=H+\frac{\partial S}{\partial t}.$

Новыя ўраўненні руху становяцца

$(2)\frac{\partial H^{\prime }}{\partial q^{\prime }}=-\frac{d{p}^{\prime }}{dt},\frac{\partial H^{\prime }}{\partial p^{\prime }}=\frac{d{q}^{\prime }}{dt}.$

Ураўненне Гамільтана — Якобі паяўляецца са спецыфічнай функцыі Шаблон:Math, якая робіць Шаблон:Math роўным нулю. У гэтым выпадку ўсе яго вытворныя роўныя нулю і

$(3)\frac{d{p}^{\prime }}{dt}=\frac{d{q}^{\prime }}{dt}=0.$

Такім чынам, у штрыхаванай сістэме каардынат сістэма цалкам стацыянарна ў фазавай прасторы. Аднак, мы яшчэ не вызначылі, пры дапамозе якой функцыі Шаблон:Math дасягаецца пераўтварэнне ў штрыхаваную сістэму каардынат. Мы выкарыстоўваем той факт, што

$H^{\prime }(q^{\prime },p^{\prime },t)=H(q,p,t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0.$

Паколькі ўраўненне (1) дае $p=\partial S/\partial q,$ можна запісаць

$H(q,\frac{\partial S}{\partial q},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0,$

што з’яўляецца ўраўненнем Гамільтана — Якобі.

Рашэнне

Ураўненне Гамільтана — Якобі часта рашаюць Шаблон:Нп5. Няхай некаторая каардыната (для пэўнасці будзем казаць пра $q_1$) і адпаведны ёй імпульс $\frac{\partial S}{\partial q_1}$ ўваходзяць ва ўраўненне ў форме

$\frac{\partial S}{\partial t}+H(f_1(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1}),q_2,\dots ,q_n,\frac{\partial S}{\partial q_2},\dots ,\frac{\partial S}{\partial q_n})=0.$

Тады можна ўзяць

$f_1(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1})={\alpha }_1,$

$\frac{\partial S}{\partial q_1}=g_1(q_1,{\alpha }_1),$

дзе ${\alpha }_1$ — адвольная пастаянная, $g_1$ — адваротная функцыя, і рашаць ураўненне Гамільтана — Якобі ўжо з меншай колькасцю зменных. Калі працэс можна працягнуць па ўсіх зменных, то рашэнне ўраўнення прыме выгляд

$S=-\int H({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)dt+\int g_1(q_1,{\alpha }_1)d{q}_1+\int g_2(q_2,{\alpha }_1,{\alpha }_2)d{q}_2+\dots +\int g_n(q_n,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)d{q}_n+k,$

дзе ${\alpha }_i$ — адвольныя пастаянныя, $k$ — канстанта інтэгравання. Нагадаем, што пры гэтым $S$ з’яўляецца функцыяй канчатковай кропкі $(q_1,\dots ,q_n)$. Так як дзеянне задае кананічнае пераўтварэнне гамільтанавай сістэмы, то яго вытворныя па каардынатах — гэта імпульсы ў новай сістэме каардынат, таму яны павінны захоўвацца:

${\beta }_i=\frac{\partial S}{\partial {\alpha }_i}(𝐪,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,t).$

Сумесна з ураўненнямі на імпульсы гэта вызначае рух сістэмы.

Гл. таксама

• Гамільтанава механіка
• Ураўненні Гамільтана

Літаратура

• Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965.
• Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.

Спасылкі

• Шаблон:З