Тэарэма Менелая

Тэарэма Менелая — гэта класічная тэарэма афіннай геаметрыі.

Калі пункты $A^{\prime },B^{\prime }$ і $C^{\prime }$ ляжаць адпаведна на прамых $BC,CA$ і $AB$ трохвугольніка $\mathrm{△}ABC$, то яны калінеарныя, тады і толькі тады калі

$\frac{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}\cdot \frac{C{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}\cdot \frac{B{C}^{\prime }}{C^{\prime }A}=-1.$

Тут $\frac{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}$, $\frac{C{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}$ і $\frac{B{C}^{\prime }}{C^{\prime }A}$ азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:

$\frac{|A{B}^{\prime }|}{|B^{\prime }C|}\cdot \frac{|C{A}^{\prime }|}{|A^{\prime }B|}\cdot \frac{|B{C}^{\prime }|}{|C^{\prime }A|}=1.$

Гісторыя

Падобны вынік у сферычнай геаметрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Менелая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналагічны вынік на плоскасці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Менелая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

Доказ

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэння гэтай прамой з прамой A'C' . Трохвугольнікі $\mathrm{△}A{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ і $\mathrm{△}CK{B}^{\prime }$ падобныя (па двум вуглам), таму

$\frac{|A{C}^{\prime }|}{|CK|}=\frac{|B^{\prime }A|}{|B^{\prime }C|}$

і, значыць —

$|CK|=\frac{|A{C}^{\prime }|\cdot |B^{\prime }C|}{|B^{\prime }A|}$.

З другога боку, падобнымі з’яўляюцца таксама і тровугольнікі $\mathrm{△}B{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ і $\mathrm{△}CK{A}^{\prime }$, таму

$\frac{|C^{\prime }B|}{|CK|}=\frac{|B{A}^{\prime }|}{|A^{\prime }C|}$

і, такім чынам —

$|CK|=\frac{|C^{\prime }B|\cdot |A^{\prime }C|}{|BA{|}^{\prime }}$.

Але ў такім выпадку

$\frac{|A{C}^{\prime }|\cdot |B^{\prime }C|}{|B^{\prime }A|}=\frac{|C^{\prime }B|\cdot |A^{\prime }C|}{|B{A}^{\prime }|}$

або

$\frac{|A{C}^{\prime }|}{|C^{\prime }B|}\cdot \frac{|B{A}^{\prime }|}{|A^{\prime }C|}\cdot \frac{|C{B}^{\prime }|}{|B^{\prime }A|}=1$.

Магчымыя два размяшчэнні пунктаў $A^{\prime },B^{\prime }$ і $C^{\prime }$, альбо два з іх ляжаць на адпаведных баках трохвугольніка і адзін на падаўжэнні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэннях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем

$\frac{A{B}^{\prime }}{B^{\prime }C}\cdot \frac{C{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}\cdot \frac{B{C}^{\prime }}{C^{\prime }A}=-1.$