Матэматычная фармулёўка агульнай тэорыі адноснасці

Шаблон:Фізічная тэорыя У гэтым артыкуле разглядаецца матэматычны базіс агульнай тэорыі адноснасці.

Зыходныя палажэнні

Нашае інтуітыўнае ўспрыманне паказвае нам, што прастора-час з'яўляецца рэгулярнай і неперарыўнай, гэта значыць не мае «дзірак». Матэматычна гэтыя ўласцівасці азначаюць, што прастора-час будзе мадэлявацца гладкай дыферэнцавальнай мнагастайнасцю 4 вымярэнняў $M_4$, г. зн. прасторай размернасці 4, для якой наваколле кожнай кропкі лакальна падобнае на чатырохмерную эўклідавую прастору. Гладкасць тут азначае дастатковую дыферэнцавальнасць, пакуль без удакладнення яе ступені.

Паколькі, акрамя таго, з добрай дакладнасцю выконваюцца законы спецыяльнай тэорыі адноснасці, то такую мнагастайнасць можна надзяліць лорэнцавай метрыкай, г. зн. нявыраджаным метрычным тэнзарам з сігнатурай $\{-,+,+,+\}$ (ці, што эквівалентна, $\{+,-,-,-\}$). Значэнне гэтага раскрываецца ў наступным раздзеле.

Геаметрыя прасторы-часу

Метрычны тэнзар

Дыферэнцавальная мнагастайнасць M, забяспечанае лорэнцавым метрычным тэнзарам g , і прадстаўляе сабой такім чынам лорэнцаву мнагастайнасць, якая з'яўляецца асобным выпадак псеўдарыманавай мнагастайнасці (азначэнне «лорэнцаў» будзе ўдакладнена далей у тэксце; гл. ніжэй раздзел Лорэнцава метрыка) .

Возьмем якую-небудзь сістэму каардынат $x^{\mu }$ ў наваколлі кропкі $P$, і хай ${𝐞}_{\mu }(x)$ — лакальны базіс ў датычнай прасторы $T_{x}M$ да мнагастайнасці $M$ ў кропцы $x\in M$. Датычны вектар $𝐰\in T_{x}M$ запішацца тады як лінейная камбінацыя базісных вектараў:

$𝐰=w^{\mu }{𝐞}_{\mu }.$

Пры гэтым велічыні $w^{\mu }$ называюцца контраварыянтнымі кампанентамі вектара w. Метрычны тэнзар $𝐠$ тады — сіметрычная білінейная форма:

$𝐠=g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }\otimes d{x}^{\nu },$

дзе праз $d{x}^{\mu }$ пазначаны дуальны ў адносінах да ${𝐞}_{\mu }(x)$ базіс ў кадатычный прасторы $T_x^{*}M$, гэта значыць такія лінейныя формы на $T_{x}M$, што:

$d{x}^{\nu }({𝐞}_{\mu })={\delta }_{\mu }^{\nu }.$

Далей будзем меркаваць, што кампаненты $g_{\mu \nu }(x)$ метрычнага тэнзара змяняюцца ў прасторы-часе неперарыўна.

Метрычны тэнзар, такім чынам, можа быць прадстаўлены сапраўднай сіметрычнай матрыцай 4x4 :

$g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }.$

Наогул любая сапраўдная матрыца 4x4 мае апрыёры 4 x 4 = 16 незалежных элементаў. Умова сіметрыі памяншае гэты лік да 10: на самай справе, застаецца 4 дыяганальныя элементы, да якіх трэба дадаць (16 - 4)/2 = 6 недыяганальных элементаў. Тэнзар $g_{\mu \nu }$ валодае, такім чынам, толькі 10 незалежнымі кампанентамі.

Скалярны здабытак

Метрычны тэнзар вызначае для кожнай кропкі$x\in M$ разнастайнасці псеўда-скалярны здабытак («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара); см. Лорэнцава метрыка) у датычнай да разнастайнасці $M^{}$ ў кропцы $x$ псеўдаэўклідавай прасторы $T_{x}M$. Калі $𝐮$ і $𝐯$ — два вектары $T_{x}M$, іх скалярны здабытак запішацца як:

$𝐮\cdot 𝐯=𝐠(𝐮,𝐯)=g_{\mu \nu }{u}^{\mu }{v}^{\nu }$

У прыватнасці, узяўшы два базісных вектара, атрымліваем кампаненты:

$g_{\mu \nu }=𝐠({𝐞}_{\mu },{𝐞}_{\nu })={𝐞}_{\mu }\cdot {𝐞}_{\nu }$

Заўвага: калі велічыні w ^ {\ mu} абазначаюць контраварыянтныя кампаненты вектара w, то можна вызначыць таксама яго каварыянтныя кампаненты як:

$w_{\mu }=𝐰\cdot {𝐞}_{\mu }.$

Элементарная адлегласць — інтэрвал

Разгледзім вектар элементарнага перамяшчэння $d𝐏={ϵ}^{\mu }{𝐞}_{\mu }$ паміж кропкай $P^{}$ і бясконца блізкай кропкай: $|{ϵ}^{\mu }|\ll 1$. Інварыянтнай інфінітэзімальнай нормай гэтага вэктару будзе сапраўдны лік, які пазначаецца $d{s}^2$, званы квадратам інтэрвалу, і роўны:

$d{s}^2=g_{\mu \nu }(x){ϵ}^{\mu }{ϵ}^{\nu }$.

Калі пазначыць кампаненты вектара элементарнага перамяшчэння «па-фізічна» ${ϵ}^{\mu }=d{x}^{\mu }$, інфінітэзімальны квадрат даўжыні (інтэрвалу) запішацца фармальна як:

$d{s}^2=g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$

Увага: у гэтай формуле, а таксама і далей, $d{x}^{\mu }$ прадстаўляе сабой сапраўдны лік, які інтэрпрэтуецца фізічна як «інфінітэзімальная змена» каардынаты $x^{\mu }$, а не як дыферэнцыяльная форма!

Лорэнцава метрыка

Удакладнім цяпер выраз «лорэнцава» (дакладней лакальна лорэнцава), які азначае, што метрычны тэнзар мае сігнатуру (1,3) і лакальна супадае ў першым парадку з лорэнцавай метрыкай спецыяльнай тэорыі адноснасці. Прынцып эквівалентнасці сцвярджае, што можна «сцерці» лакальна поле гравітацыі, выбіраючы лакальна інерцыйных сістэму каардынатаў. З матэматычнага пункту гледжання такі выбар з'яўляецца перафармулёўку вядомай тэарэмы аб магчымасці прывядзення квадратычнай формы да галоўных восях .

У такой лакальна інерцыяльны сістэме каардынатаў $X^{\alpha }$ інварыянт $d{s}^2$ у кропцы $P$ запішацца як:

$d{s}^2={\eta }_{\alpha \beta }d{X}^{\alpha }d{X}^{\beta }=-c^{2}d{T}^2+d{X}^2+d{Y}^2+d{Z}^2,$

дзе ${\eta }_{\alpha \beta }$ з'яўляецца метрыкай прасторы-часу Мінкоўскага, а ў малому наваколлі гэтага пункту

$d{s}^2=({\eta }_{\alpha \beta }+{\delta }_{\alpha \beta })d{X}^{\alpha }d{X}^{\beta },$

дзе ${\delta }_{\alpha \beta }$ мае мінімум другі парадак драбніцы па адхіленнях каардынатаў ад кропкі $P$, г. зн. ${\delta }_{\alpha \beta }{|}_P=0,{\frac{\partial {\delta }_{\alpha \beta }}{\partial X^{\alpha }}|}_P=0$. Прымаючы пагадненне знакаў Мізнэра, Торна і Уілера, маем:

${\eta }_{\alpha \beta }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(-1,+1,+1,+1)$

Далей выкарыстоўваюцца наступныя звычайныя пагадненні:

• грэчаскія індэксы змяняюцца ад 0 да 3. Яны адпавядаюць велічыням ў прасторы-часу.
• лацінскія індэксы змяняюцца ад 1 да 3. Яны адпавядаюць прасторавым складнікам велічынь у прасторы-часу.

Напрыклад, 4 -вектар становішча запішацца ў лакальна інерцыяльнай сістэме каардынат як:

$X^{\alpha }=\left(\begin{array}{c}{X}^0\\ X^i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{X}^0\\ X^1\\ X^2\\ X^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}cT\\ X\\ Y\\ Z\end{array}\right).$

Увага: на самой справе вядомыя, а не інфінітэзімальныя прырашчэння каардынат не ўтвараюць вектара. Вектар з іх узнікае толькі ў аднастайным прасторы нулявой крывізны і трывіяльнай тапалогіі .

Ларэнца характар разнастайнасці $M^{}$ забяспечвае, такім чынам, тое, што датычныя да $M^{}$ ў кожнай кропцы псеўдаэўклідавай прасторы будуць валодаць псеўдаскалярнымі здабыткамі («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара)) з трыма строга дадатнымі уласнымі значэннямі (адпаведнымі прасторы) і адным строга адмоўным уласным значэннем (адпаведным часе). У прыватнасці, элементарны інтэрвал «ўласнага часу», які аддзяляе дзве паслядоўных падзеі, заўсёды :

$d{\tau }^2=-\frac{d{s}^2}{c^2}>0.$

Агульныя паняцці афіннай звязнасці і каварыянтнай вытворнай

Абагульнена, афіннай звязнасцю называецца аператар $\mathrm{\nabla }$, які прыводзіць у адпаведнасць вектарнаму полю $𝐕$ з датычнага пучка $TM$ поле эндамарфізмаў $\mathrm{\nabla }𝐕$ этого пучка. гэтага пучка. Калі $𝐰\in T_{x}M$ — датычны вектар у пункце $x\in M$, звычайна пазначаюць

${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐕(x)=\mathrm{\nabla }𝐕(x,𝐰).$

Кажуць , што ${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐕$ з'яўляецца «каварыянтнай вытворнай» вектара $𝐕$ ў напрамку $𝐰$. Выкажам здагадку да таго ж , што $\mathrm{\nabla }𝐕$ задавальняе дадатковым умовам: для любой функцыі f справядліва

${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}(f𝐕)=f{\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐕+df(𝐰)𝐕$

Каварыянтная вытворная задавальняе наступным двум уласцівасцям лінейнасці:

• лінейнасць па w, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў w і u і сапраўдныя лікі a і b, мы маем:

${\mathrm{\nabla }}_{(a𝐰+b𝐮)}𝐕=a{\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐕+b{\mathrm{\nabla }}_{𝐮}𝐕.$

• лінейнасць па V, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў X і сапраўдныя лікі a і b, мы маем:

${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}(a𝐗+b𝐘)=a{\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐗+b{\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐘.$

Як толькі каварыянтная вытворная вызначана для палёў вектараў, яна можа быць распаўсюджана на тэнзарныя палі з выкарыстаннем правілы Лейбніца: калі $𝐓$ і $𝐒$ — два любых тэнзар, то па азначэнні :

${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}(𝐓\otimes 𝐒)=({\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐓)\otimes 𝐒+𝐓\otimes ({\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐒)$

Каварыантная вытворная поля тэнзара ўздоўж вектара w значыць ізноў поле тэнзара таго ж тыпу.

Звязнасць, асацыяваная з метрыкай

Можна даказаць , што звязнасць, асацыяваная з метрыкай — складнасць Леві-Чывіты [ 1 ], з'яўляецца адзінай звязнасцю, якая акрамя папярэдніх умоў дадаткова забяспечвае тое, што для любых палёў вектараў X, Y, Z з TM

• ${\mathrm{\nabla }}_{𝐗}(𝐠(𝐘,𝐙))=𝐠({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐘,𝐙)+𝐠(𝐘,{\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐙)$ (метрычнасць — тэнзар неметрычнасці роўны нулю) .

• ${\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐘-{\mathrm{\nabla }}_{𝐘}𝐗=[𝐗,𝐘]$, где $[𝐗,𝐘]$ — камутатар Лі ад X і Y (адсутнасць скрута — тэнзар скрута роўны нулю) .

Ураўненні Эйнштэйна

Ураўненні гравітацыйнага поля, якія называюцца ўраўненнямі Эйнштэйна, запісваюцца так

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu },$

або так

$E_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu },$

дзе $\mathrm{\Lambda }$ — касмалагічная канстанта, $c$ — скорасць святла ў вакууме, $G$ — гравітацыйная пастаянная, якая з’яўляецца таксама ў законе сусветнага прыцягнення Ньютана, $E_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R$ — тэнзар Эйнштэйна, а $T_{\mu \nu }$ — тэнзар энергіі-імпульсу.

Сіметрычны тэнзар $g_{\mu \nu }$ мае толькі 10 незалежных складнікаў, тэнзарнае ўраўненне Эйнштэйна ў зададзенай сістэме каардынат эквівалентна сістэме 10 скалярных ураўненняў. Гэтая сістэма 10 звязаных нелінейных ураўненняў ў частковых вытворных ў большасці выпадкаў вельмі цяжкая для вывучэння.

Тэнзар энергіі-імпульсу

Тэнзар энергіі-імпульсу можа быць запісаны ў выглядзе сапраўднай сіметрычнай матрыцы 4x4:

$T_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}{T}_{00}& T_{01}& T_{02}& T_{03}\\ T_{10}& T_{11}& T_{12}& T_{13}\\ T_{20}& T_{21}& T_{22}& T_{23}\\ T_{30}& T_{31}& T_{32}& T_{33}\end{array}\right).$

У ім выяўляюцца наступныя фізічныя велічыні:

• T₀₀ — аб'ёмная шчыльнасць энергіі. Яна павінна быць дадатнай.
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ — шчыльнасці кампанент імпульсу.
• T₀₁, T₀₂, T₀₃ — кампаненты патоку энергіі.
• Пад-матрыца 3 x 3 з чыста прасторавых кампанент:

$T_{ik}=\left(\begin{array}{ccc}{T}_{11}& T_{12}& T_{13}\\ T_{21}& T_{22}& T_{23}\\ T_{31}& T_{32}& T_{33}\end{array}\right)$

— матрыца патокаў імпульсаў. У механіцы вадкасці дыяганальныя кампаненты адпавядаюць ціску, а іншыя складнікі — тангенцыяльным намаганням (высілкам або ў старой тэрміналогіі — нацяжэннем), выкліканым вязкасцю.

Для вадкасці ў спакоі тэнзар энергіі-імпульсу зводзіцца да дыяганальнай матрыцы $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\rho c^2,p,p,p)$, дзе $\rho$ ёсць шчыльнасць масы, а $p$ — гідрастатычны ціск.