Мінор (лінейная алгебра)

Мінор $A\left[\begin{array}{cc}{\alpha }_1& {\alpha }_2\dots {\alpha }_k\\ {\beta }_1& {\beta }_2\dots {\beta }_k\end{array}\right]$ матрыцы $A$ ― вызначнік такой квадратнай матрыцы $B$ парадку $k$ (які завецца таксама парадкам гэтага мінора), элементы якой стаяць у матрыцы $A$ на скрыжаванні радкоў з нумарамі ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k$ і слупкоў з нумарамі ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k$

Калі нумары адзначаных радкоў супадаюць з нумарамі адзначаных слупкоў, то мінор называецца галоўным, а калі адзначаны першыя k радкоў і першыя k слупкоў — вуглавым або вядучым галоўным.

Дадатковы мінор элемента матрыцы n-га парадку ёсць вызначнік парадку (n-1), які адпавядае той матрыцы, якая атрымліваецца з матрыцы шляхам выкрэслiвання i-га радка і j-га слупка.

Базісным мінорам матрыцы называецца любы яе ненулявы мінор максімальнага парадку. Для таго каб мінор быў базісным, неабходна і дастаткова, каб усе аблямоўваючыя яго мінор (гэта значыць тыя, якія змяшчаюць яго мінор на адзінку большага парадку) былі роўныя нулю. Сістэма радкоў (слупкоў) матрыцы, звязаных з базісным мінорам, з'яўляецца максімальнай лінейна незалежнай падсістэмай сістэмы ўсіх радкоў (слупкоў) матрыцы.

Прыклад

Напрыклад, ёсць матрыца:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 3& 0& 5\\ -1& 9& 11\end{array}\right)$

Выкажам здагадку, трэба знайсці дадатковы мінор $M_{23}$. Гэты мінор які атрымліваецца шляхам выкрэслiвання радка 2 і слупка 3:

$\left|\begin{array}{ccc}1& 4& ◻\\ ◻& ◻& ◻\\ -1& 9& ◻\end{array}\right|$ $⟶$ $\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ -1& 9\end{array}\right|=(1*9-(4*(-1)))=13$

Атрымліваем $M_{23}=13$

Гл. таксама

• Дадатковы мінор