Гіпотэза Пуанкарэ

Шаблон:Праблемы тысячагоддзя Гіпо́тэза Пуанкарэ́ — адна з самых вядомых задач тапалогіі. Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з'яўляецца трохвымернаю сфераю з дакладнасцю да дэфармацыі.

Фармулёўка

Гіпотэза Пуанкарэ

У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае: Шаблон:Рамка Усякая Шаблон:Нп3 Шаблон:Нп3 трохмерная Шаблон:Нп3 без краю гомеаморфная трохмернай сферы. Шаблон:/рамка

Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ

Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае: Шаблон:Рамка Для любога натуральнага ліку n усякая мнагастайнасць размернасці n Шаблон:Нп3 сферы размернасці n тады і толькі тады, калі яна гомеаморфная ёй. Шаблон:/рамка Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з'яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры n = 3.

Схема доказу

Шаблон:Нп3 — гэта пэўнае Шаблон:Нп3, падобнае на Шаблон:Нп3. Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць. Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку. Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць Шаблон:Нп3 — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць Шаблон:Нп3 прамому здабытку $(0, 1) \times S^{2}$ ), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што Шаблон:Нп3 атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.

Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй». Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак» Шаблон:Нп3 Шаблон:Нп3.

Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці $M$ і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй. Важным крокам з'яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё. Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць $M$ можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм $S^{3} / Γ_{i}$ , злучаных адна з адною трубкамі $[0, 1] \times S^{2}$ . Падлік Шаблон:Нп3 паказвае, што $M$ дыфеаморфная Шаблон:Нп3 набору прасторавых форм $S^{3} / Γ_{i}$ , і больш таго, усе $Γ_{i}$ трывіяльныя. Такім чынам, $M$ з'яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.

Гісторыя

У 1900 годзе Пуанкарэ выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы. У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца Шаблон:Нп3, і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы. Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.

Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для n ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова Смейлам, незалежна і іншымі метадамі Шаблон:Нп3 (для n ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі n = 5 і 6 Шаблон:Нп3). Доказ значна цяжэйшага выпадку n = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе Фрыдманам. З тэарэмы Новікава аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных класаў Пантрагіна вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.

Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай гіпотэзы Цёрстана) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе Рыгорам Перэльманам. Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаў^[1]. Доказ выкарыстоўвае паток Рычы з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага Шаблон:Нп3, які таксама першым прымяніў паток Рычы.

Прызнанне і ацэнкі

Фрыдман (у 1986 годзе) і Перэльман (у 2006 годзе) сталі Філдсаўскімі лаўрэатамі.
У 2006 годзе часопіс Science назваў доказ Перэльманам гіпотэзы Пуанкарэ навуковым «прарывам года» (Шаблон:Нп3)^[2]. Гэта першая праца па матэматыцы, якая заслужыла такое званне^[3].
У 2006 годзе Шаблон:Нп3 апублікавала нашумелы^[4] артыкул Шаблон:Нп3, які расказвае гісторыю доказу гіпотэзы Пуанкарэ^[5].
18 сакавіка 2010 года Шаблон:Нп3 прысудзіў Прэмію тысячагоддзя за доказ гіпотэзы Пуанкарэ Р. Я. Перэльману^[6], але той адмовіўся яе браць.

Гл. таксама

Зноскі

Шаблон:Reflist

Літаратура

Шаблон:Cite arXiv
Шаблон:Cite arXiv
Шаблон:Cite arXiv
J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report Шаблон:Ref-en
Шаблон:Артыкул
John W.Morgan, Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture Шаблон:Ref-en
B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman's papers Шаблон:Ref-en
Terence Tao Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective Шаблон:Ref-en

↑ И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков 03/08/06, elementy.ru
↑ Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
↑ Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.
↑ Сярод іншага, «Manifold Destiny» была ўключана ў кнігу The Best American Science Writing за 2007 год.
↑ Шаблон:Cite journal Рускі пераклад: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет».
↑ Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman Шаблон:Архівавана Шаблон:Ref-en. Пресс-релиз математического института Клэя.

[1] И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков 03/08/06, elementy.ru

[2] Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en

[3] Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.

[4] Сярод іншага, «Manifold Destiny» была ўключана ў кнігу The Best American Science Writing за 2007 год.

[5] Шаблон:Cite journal Рускі пераклад: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет».

[6] Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman Шаблон:Архівавана Шаблон:Ref-en. Пресс-релиз математического института Клэя.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Гіпотэза Пуанкарэ

Змест

Фармулёўка