P-адычны лік

Шаблон:Загаловак з малой літары p-адычны лік (дзе p — нейкі выбраны просты лік) — элемент пашырэння поля рацыянальных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем поля рацыянальных лікаў адносна p-адычнай нормы, вызначанай на аснове ўласцівасцей дзялімасці цэлых лікаў на р.

p-адычныя лікі ўвёў Шаблон:Нп5 у 1897 годзе.

Поле p-адычных лікаў звычайна абазначаецца ${\mathbb{Q}}_p$ ці ${𝐐}_p$.

Алгебраічная пабудова

Цэлыя p-адычныя лікі

Стандартнае азначэнне

Няхай p — некаторы просты лік. Цэлым p-адычным лікам называецца бесканечная паслядоўнасць $x=\{x_1,x_2,\dots \}$ цэлых лікаў $x_n$, якія задавальняюць умову:

$x_n\equiv x_{n+1}(\mathrm{mod}{p}^n).$

Дзве паслядоўнасці $x_n$ і $y_n$ вызначаюць адзін і той жа цэлы p-адычным лік тады і толькі тады, калі

$x_n\equiv y_n(\mathrm{mod}{p}^n)$

для ўсіх Шаблон:Math.

Складанне і множанне цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як пачленнае складанне і множанне такіх паслядоўнасцей. Для іх непасрэдна правяраюцца ўсе аксіёмы кальца.

Азначэнне праз праектыўны ліміт

У тэрмінах Шаблон:Нп5 кальцо цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як ліміт

$\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$

кольцаў $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ вылікаў па модулю $p^n$ адносна натуральных праекцый $\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$.

Такія пабудовы можна правесці ў выпадку не толькі простага ліку $p$, але і любога састаўнога ліку $m$ — атрымаецца т. зв. кальцо $m$-адычных лікаў, але гэтае кальцо ў адрозненне ад ${\mathbb{Z}}_p$ утрымлівае дзельнікі нуля, таму далейшыя пабудовы, якія разглядаюцца ніжэй, для яго непрыдатныя.

Уласцівасці

Кальцо цэлых p-адычных лікаў звычайна абазначаецца ${\mathbb{Z}}_p$. Звычайныя цэлыя лікі ўкладваюцца ў ${\mathbb{Z}}_p$ відавочным чынам: $x=\{x,x,\dots \}$ і з’яўляюцца падкальцом.

Беручы ў якасці элемента класа вылікаў лік $a_n=x_{n}mod{p}^n$ (такім чынам, $0\le a_n<p^n$), мы можам запісаць кожны цэлы p-адычны лік у выглядзе $x=\{a_1,a_2,\dots \}$ адназначным чынам. Такое прадстаўленне называецца кананічным.

Запісваючы кожнае Шаблон:Math у p-ічнай сістэме злічэння $a_n=b_{n-1}\dots b_1{b}_0$ і, улічваючы, што

$a_n\equiv a_{n+1}(\mathrm{mod}{p}^n),$

мы можам усякі p-адычны лік у кананічным выглядзе прадставіць як

$x=\{b_0,b_1{b}_0,b_2{b}_1{b}_0,\dots \}$

ці запісаць у выглядзе бесканечнай паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння

$x=\{\dots b_k\dots b_1{b}_0\}.$

Дзеянні над такімі паслядоўнасцямі ажыццяўляюцца па звычайных правілах складання, адымання і множання «слупком» у p-ічнай сістэме злічэння.

У такой форме запісу натуральным лікам і нулю адпавядаюць p-адычныя лікі з канечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, якія супадаюць з лічбамі зыходнага ліку. Адмоўным лікам адпавядаюць p-адычныя лікі з бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, напрыклад у пяцярковай сістэме −1=…4444=(4).

p-адычныя лікі

Азначэнне як поля дзелей

p-адычным лікам называецца элемент поля дзелей ${\mathbb{Q}}_p$ кальца ${\mathbb{Z}}_p$ цэлых p-адычных лікаў. Гэтае поле называецца полем p-адычных лікаў.

Уласцівасці

Поле p-адычных лікаў утрымлівае ў сабе поле рацыянальных лікаў.

Няцяжка даказаць, што любы цэлы Шаблон:Math-адычны лік, някратны Шаблон:Math, будзе абарачальным у колцы ${\mathbb{Z}}_p$, а кратнае Шаблон:Math адназначна запісваецца ў выглядзе $x{p}^n$, дзе лік Шаблон:Math не дзеліцца на Шаблон:Math і таму абарачальны, а Шаблон:Math.

Таму любы ненулявы элемент поля ${\mathbb{Q}}_p$ можна запісаць у выглядзе $x{p}^n$, дзе x не кратнае p, а n любое.

Калі n адмоўнае, то, зыходзячы з прадстаўлення цэлых p-адычных лікаў у выглядзе паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння, мы можам запісаць такі p-адычны лік у выглядзе паслядоўнасці

$x=\{\dots b_k\dots b_2{b}_1{b}_0,b_{-1}\dots b_{-n}\},$

г.зн. фармальна прадставіць у выглядзе p-ічнага дробу з канечным лікам лічбаў пасля коскі і, магчыма, бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў да коскі.

Дзяліць такія лікі можна аналагічна «школьнаму» правілу, але пачынаючы з малодшых, а не старшых разрадаў ліку.

Метрычная пабудова

Любы ненулявы рацыянальны лік Шаблон:Math можна запісаць як

$r=p^n\frac{a}{b},$

дзе Шаблон:Math і Шаблон:Math — цэлыя лікі, якія не дзеляцца на Шаблон:Math, а Шаблон:Math — цэлы лік, які ў такім прадстаўленні вызначаецца адназначна.

Тады p-адычная норма ліку Шаблон:Math вызначаецца як

$|x{|}_p=p^{-n}.$

Для нуля p-адычная норма паводле азначэння роўная нулю:

$|0{|}_p=0.$

Поле p-адычных лікаў ёсць папаўненне поля рацыянальных лікаў з метрыкаю $d_p$, вызначанаю p-адычнай нормай:

$d_p(x,y)=|x-y{|}_p.$

Гэтая пабудова аналагічная пабудове поля рэчаісных лікаў як папаўнення поля рацыянальных лікаў пры дапамозе нормы, якая з’яўляецца звычайнаю абсалютнаю велічынёю.

Норма $|r{|}_p$ працягваецца па непарыўнасці да нормы на ${\mathbb{Q}}_p$.

Уласцівасці

• Кожны элемент x поля p-адычных лікаў можна прадставіць у выглядзе збежнага рада

$x=\sum _{i=n_0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i$

дзе $n_0$ — некаторы цэлы лік, а $a_i$ — цэлыя неадмоўныя лікі, не большыя чым $p-1$. А іменна, у якасці $a_i$ тут выступаюць лічбы з запісу x у сістэме злічэння з асноваю p. Такая сума заўсёды збягаецца ў метрыцы $d_p$ да самога $x$.

• p-адычная норма $|x{|}_p$ задавальняе моцную няроўнасць трохвугольніка

$|x-z{|}_p\le \max \{|x-y{|}_p,|y-z{|}_p\}.$

• Лікі $x\in {\mathbb{Q}}_p$ з умоваю $|x{|}_p\le 1$ утвараюць кальцо ${\mathbb{Z}}_p$ цэлых p-адычных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем кальца цэлых лікаў $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ у норме $|x{|}_p$.
• Лікі $x\in {\mathbb{Q}}_p$ з умоваю $|x{|}_p=1$ утвараюць мультыплікатыўную групу і называюцца p-адычнымі адзінкамі.
• Сукупнасць лікаў $x\in {\mathbb{Q}}_p$ з умоваю $|x{|}_p<1$ з’яўляецца галоўным ідэалам у ${\mathbb{Z}}_p$ з утваральным элементам p.

• Метрычная прастора $({\mathbb{Z}}_p,d_p)$ гомеаморфная Кантараву мноству, а прастора $({\mathbb{Q}}_p,d_p)$ гомеаморфная Кантараву мноству з выразаным пунктам.
• Для розных p нормы $|x{|}_p$ незалежныя, а палі ${\mathbb{Q}}_p$ неізаморфныя.
• Для любых элементаў $r_{\mathrm{\infty }}$, $r_2$, $r_3$, $r_5$, $r_7$, … такіх, што $r_{\mathrm{\infty }}\in ℝ$ і $r_p\in {\mathbb{Q}}_p$, можна знайсці паслядоўнасць рацыянальных лікаў $x_n$ такіх, што для любога p $|x_i-r_p{|}_p\to 0$ і $|x_i-r_{\mathrm{\infty }}|\to 0$.

Выкарыстанне

• Калі $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі, то вырашальнасць пры ўсіх k параўнання

$F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^k)$

раўназначная вырашальнасці ўраўнення

$F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=0$

у цэлых p-адычных ліках. Неабходнаю ўмоваю вырашальнасці гэтага ўраўнення ў цэлых ці рацыянальных ліках з’яўляецца яго вырашальнасць у кольцах ці, адпаведна, палях p-адычных лікаў пры ўсіх p, а таксама ў полі рэчаісных лікаў. Для некаторых класаў мнагачленаў (напрыклад, для квадратычных форм) гэтая ўмова з’яўляецца таксама дастатковаю.

На практыцы для праверкі вырашальнасці ўраўнення ў цэлых p-адычных ліках дастаткова праверыць вырашальнасць названага параўнання для пэўнага канечнага ліку значэнняў k. Напрыклад, згодна з Шаблон:Нп5, пры $n=1$ дастатковаю ўмоваю для вырашальнасці параўнання пры ўсіх натуральных k будзе наяўнасць простага рашэння ў параўнання па модулю p (г.зн. простага кораня ў адпаведнага ўраўнення ў полі вылікаў па модулю p). Інакш кажучы, пры $n=1$ для праверкі наяўнасці кораня ў ураўнення у цэлых p-адычных ліках, як правіла, дастаткова рашыць адпаведнае параўнанне пры $k=1$.

Літаратура

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Артыкул
• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — Шаблон:М.: Наука, 1985.
• Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. — Шаблон:М.: Мир, 1982.
• Радына А. Я., Радына Я. В. Элементарныя ўводзіны ў р-адычны аналіз. — Шаблон:Мн.: БДПУ, 2006.
• Серр Ж.-П. Курс арифметики. — Шаблон:М.: Мир, 1972.

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:PlanetMath
• p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
• Completion of Algebraic Closure — on-line lecture notes by Brian Conrad
• An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis Шаблон:Архівавана — on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
• Efficient p-adic arithmetic (slides)