Вышыня трохвугольніка

Вышыня ў трохвугольніках розных відаў

Вышыня́ трохвугольніка — перпендыкуляр, праведзены з вяршыні трохвугольніка да прамой, якая змяшчае процілеглую старану. У залежнасці ад віду трохвугольніка вышыня можа праходзіць унутры трохвугольніка (для востравугольнага трохвугольніка), супадаць з яго стараною (катэтам прамавугольнага трохвугольніка) ці праходзіць па-за трохвугольнікам (для тупавугольнага).

Уласцівасці

Вышыні трохвугольніка

• Вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, так званым артацэнтры. Гэта сцвярджэнне лёгка даказаць, карыстаючыся вектарнаю тоеснасцю, справядліваю для любых пунктаў A, B, C, E (нават калі яны не ляжаць у адной плоскасці):

$\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EB}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$

(Каб даказасць тоеснасць, трэба скарыстаць формулы

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EA},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{EB},\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EC}$

У якасці пункта E трэба ўзяць перасячэнне дзвюх вышынь трохвугольніка.)

• У востравугольным трохвугольніку артацэнтр ляжыць унутры трохвугольніка; у тупавугольным — па-за трохвугольнікам; у прамавугольным — у вяршыні прамога вугла.
• У прамавугольным трохвугольніку вышыня, праведзеная з вяршыні прамога вугла, разбівае яго на два трохвугольнікі, падобныя зыходнаму.
• У востравугольным трохвугольніку дзве яго вышыні адсякаюць ад яго падобныя трохвугольнікі.
• Асновы вышынь утвараюць так званы ортатрохвугольнік, які мае свае ўласцівасці.

Найменшая з вышынь трохвугольніка мае экстрэмальныя уласцівасці. Напрыклад:

• Найменшая артаганальная праекцыя трохвугольніка на прамыя, што ляжаць у плоскасці трохвугольніка, мае даўжыню, роўную найменшай з яго вышынь.
• Найменшы прамалінейны разрэз у плоскасці, праз які можна працягнуць незгінальную трохвугольную пласціну, павінен мець даўжыню, роўную найменшай з вышынь гэтай пласціны.
• Пры непарыўным руху двух пунктаў па перыметры трохвугольніка насустрач адзін аднаму, найбольшая адлегласць паміж імі не можа быць меншаю за даўжыню найменшай з вышынь трохвугольніка.

Найменшая вышыня ў трохвугольніку заўсёды праходзіць унутры гэтага трохвугольніка.

Асноўныя суадносіны

• $h_a=b\sin \gamma =c\sin \beta ,$
• $h_a=\frac{2S}{a},$

дзе $S$ — плошча трохвугольніка, $a$ — даўжыня стараны трохвугольніка, на якую апушчана вышыня.

• $h_a:h_b:h_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=bc:ac:ab.$
• $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r}$, дзе r — радыус упісанай акружнасці.
• Вышыня раўнабедранага трохвугольніка, апушчаная на аснову:

$h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2},$

дзе $c$ — аснова.

• $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ — вышыня ў роўнастароннім трохвугольніку.

Тэарэма аб вышыні прамавугольнага трохвугольніка

Калі вышыня даўжынёю h, праведзеная з вяршыні прамога вугла, дзеліць гіпатэнузу даўжынёю c на адрэзкі m і n, адпаведныя катэтам b і a, то верныя наступныя роўнасці:

• $h^2=nm$
• $a^2=cn$
• $b^2=cm$
• $hc=ab$

Мнеманічны верш

Вышыня

Падобна на ката́,

Што выгнуў спі́ну

І пад прамым вуглом

Злучыў вяршыню

І старану хвастом.

Спасылкі

• Даведнік: Трохвугольнікі Шаблон:Ref-ru