Дыфракцыя Фрэнеля

Схема эксперыменту дыфракцыі на круглай адтуліне

Дыфракцыя Фрэнеля — дыфракцыйная карціна, якая назіраецца на невялікай адлегласці ад перашкоды, ва ўмовах, калі асноўны ўнёсак у інтэрферэнцыйную карціну даюць межы экрана.

Дыфракцыя Фрэнеля: $F=\frac{{\rho }^2}{z\lambda }⩾1$

Дыфракцыя Фраўнгофера: $F=\frac{{\rho }^2}{z\lambda }\ll 1$

На малюнку схематычна намаляваны (злева) непразрысты экран з круглай адтулінай (апертура), злева ад якой размешчана крыніца святла. Выява фіксуецца на іншым экране — справа. З прычыны дыфракцыі святло, якое праходзіць праз адтуліну, разыходзіцца, таму вобласць, якая была прыцемнена па законах геаметрычнай оптыкі, будзе часткова асветленай. У вобласці, якая пры просталінейным распаўсюдзе святла была б асветленай, назіраюцца ваганні інтэнсіўнасці асвятлення ў выглядзе канцэнтрычных кольцаў.

Дыфракцыйная карціна для дыфракцыі Фрэнеля залежыць ад адлегласці паміж экранамі і ад размяшчэння крыніц святла. Яе можна разлічыць, лічачы, што кожны пункт на мяжы апертуры выпраменьвае сферычную хвалю па прынцыпу Гюйгенса. У пунктах назірання на другім экране хвалі ці ўзмацняюць адна адну, ці гасяцца ў залежнасці ад рознасці ходу, а значыць інтэрферыруюць паміж сабой. Гэты дапоўнены прынцып мае назву прынцыпу Гюйгенса-Фрэнеля.

Інтэграл Фрэнеля

У скалярнай тэорыі дыфракцыі размеркаванне электрычнага поля дыфрагавальнага святла у пункце (x,y,z) задаецца выразам Рэлея-Зомерфельда:

$E(x,y,z)=-\frac{i}{\lambda }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\iint }}E(x^{\prime },y^{\prime },0)\frac{e^{ikr}}{r}\cos \theta d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }$

дзе $r=\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+z^2}$, $i$ — уяўная адзінка, і $\cos \theta =\frac{z}{r}$ — косінус кута паміж кірункамі z і r. У аналітычным выглядзе гэты інтэграл прадстаўляльны толькі для найпростых геаметрый адтулін, таму ён вылічаецца звычайна лічбавымі метадамі.

Апраксімацыя Фрэнэля

Галоўная цяжкасць пры вылічэнні інтэграла ўяўляе сабою выраз для r. Па-першае, спросцім вылічэнні, зрабіўшы замену зменных:

${\rho }^2=(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2$

Падстаўляючы гэты выраз замест r, знойдзем:

$r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}=z\sqrt{1+\frac{{\rho }^2}{z^2}}$

Скарыстаемся раскладаннем Тэйлара у шэраг

$\sqrt{1+u}=(1+u{)}^{1/2}=1+\frac{u}{2}-\frac{u^2}{8}+\cdots$

і выкажам r у выглядзе

$r=z\sqrt{1+\frac{{\rho }^2}{z^2}}=z[1+\frac{{\rho }^2}{2z^2}-\frac{1}{8}{\left(\frac{{\rho }^2}{z^2}\right)}^2+\cdots ]=z+\frac{{\rho }^2}{2z}-\frac{{\rho }^4}{8z^3}+\cdots$

Калі мы разгледзім усе члены раскладання, гэта будзе дакладным выразам. Падставім гэты выраз у аргумент экспанентнай функцыі пад інтэгралам; ключавую ролю ў набліжэнні Фрэнэля гуляе грэбаванне трэцім членам у раскладанні, які мяркуецца малым. Каб гэта было магчымым, ён павінен слаба ўплываць на паказчык ступені. Іншымі словамі, ён павінен быць нашмат менш, чым перыяд паказчыку экспаненты, гэта значыць $2\pi$:

$k\frac{{\rho }^4}{8z^3}\ll 2\pi .$

Выяўляючы k у тэрмінах даўжыні хвалі,

$k=\frac{2\pi }{\lambda }$

атрымаем наступныя суадносіны:

$\frac{{\rho }^4}{z^3\lambda }\ll 8$

Памнажаючы абодва бакі на $z/\lambda$, атрымаем

$\frac{{\rho }^4}{z^2{\lambda }^2}\ll 8\frac{z}{\lambda }$

ці, падстаўляючы раней атрыманы выраз для ρ²,

$\frac{[(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2{]}^2}{z^2{\lambda }^2}\ll 8\frac{z}{\lambda }$

Калі гэта ўмова выконваецца для ўсіх значэнняў x, x' , y і y' , тады мы можам занядбаць трэцім членам у раскладанні Тэйлара. Больш таго, калі трэці член малы, тое ўсё наступныя складнікі больш высокіх парадкаў таксама малыя, і імі можна занядбаць. Тады можна апраксімаваць выраз, выкарыстоўваючы два члена раскладання:

$r\approx z+\frac{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2}{2z}$

Гэты выраз завецца набліжэннем Фрэнэля, а няроўнасць, атрыманая раней, ёсць умова дастасавальнасці гэтага набліжэння.

Дыфракцыя Фрэнэля

Умова дастасавальнасці досыць слабая і дазваляе ўсе характэрныя памеры ўзяць як параўнальныя велічыні, калі апертура шмат менш, чым даўжыня шляху. Да таго ж, нас цікавіць толькі малая вобласць недалёка ад крыніцы, велічыні x і y шмат менш, чым z, выкажам здагадку $\theta \approx 0$, што азначае $\cos \theta \approx 1$, і r у назоўніку можна апраксімаваць выразам $r\approx z$.

У супрацьлегласць дыфракцыі Фраўнгофера, дыфракцыя Фрэнэля павінна ўлічваць крывізну хвалевага фронта, каб правільна ўлічыць адносныя фазы інтэрферуючых хваль.

Электрычнае поле для дыфракцыі Фрэнэля ў пункце (x,y,z) дадзена ў выглядзе:

$E(x,y,z)=-\frac{i}{\lambda }\frac{e^{ikz}}{z}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\iint }}E(x^{\prime },y^{\prime },0)e^{\frac{ik}{2z}[(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2]}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }$

Гэта - інтэграл дыфракцыі Фрэнэля; ён азначае, што, калі набліжэнне Фрэнэля сапраўднае, то поле, якое распаўсюджваецца, з'яўляецца хвалей, якая пачынаецца ў апертуры і рухаецца ўздоўж z. Інтэграл мадулюе амплітуду і фазу сферычнай хвалі. Аналітычнае рашэнне гэтага выраза магчыма толькі ў рэдкіх выпадках. Для далейшага спрашчэння, сапраўднага толькі для нашмат большых адлегласцяў ад крыніцы дыфракцыі, гл. дыфракцыя Фраўнгофера.

Гл. таксама

• Дыфракцыя Фраўнгофера
• Інтэграл Кірхгофа
• Інтэгралы Фрэнэля

Спасылкі

• http://www.falstad.com/diffraction/