Прагляд зыходнага тэксту старонкі Абстрактная алгебра

[[Файл:Rubik's cube v2.svg|thumb|[[Перастаноўка, камбінаторыка|Перастаноўкі]] [[кубік Рубіка|кубіка Рубіка]] ўтвараюць групу. [[Група (алгебра)|Група]] — фундаментальнае паняцце абстрактнай алгебры.]]
'''Абстра́ктная а́лгебра''' (таксама ''вышэйшая алгебра'', ''агульная алгебра'') — раздзел [[матэматыка|матэматыкі]], які вывучае колькасныя і якасныя адносіны ў рознага роду {{нп5|алгебраічная сістэма|алгебраічных сістэмах|ru|Алгебраическая система}}, вызначаных [[аксіяматыка|аксіяматычна]].

Пад алгебраічнай сістэмай (структурай) тут разумеецца мноства некаторых аб’ектаў, для якіх вызначаны нейкі набор т. зв. алгебраічных аперацый, якія па сваіх уласцівасцях падобныя на складанне і множанне лікаў.

Алгебраічныя сістэмы ўключаюць [[Група (алгебра)|групы]], [[Кальцо (алгебра)|кольцы]], [[Поле (алгебра)|палі]], {{нп5|модуль над кальцом|модулі|ru|Модуль над кольцом}}, [[вектарная прастора|вектарныя прасторы]], {{нп5|рашотка, часткова ўпарадкаванае мноства|рашоткі|ru|Решётка (алгебра)}} і {{нп5|алгебра над полем|алгебры|ru|Алгебра над полем}}.

Для вывучэння структур выкарыстоўваюцца агульныя метады і падобныя паняцці: для адлюстравання (адвображання) паміж структурамі ўводзяцца паняцці {{нп5|гомамарфізм|гомамарфізмаў|ru|Гомоморфизм}}, [[ізамарфізм]]аў, {{нп5|аўтамарфізм|аўтамарфізмаў|ru|Автоморфизм}}, для вывучэння ўнутранай будовы ўводзяцца падсістэмы ([[Падгрупа|падгрупы]], {{нп5|Падкальцо|падкольцы|en|Subring}} і іншыя) і {{нп5|Фактарсістэма|фактарсістэмы|ru|Факторсистема}} ([[Фактаргрупа|фактаргрупы]], {{нп5|Фактаркальцо|фактаркольцы|ru|Факторкольцо}} і іншыя).

Найбольш агульныя для ўсіх гэтых алгебраічных сістэм уласцівасці фармалізуюцца і вывучаюцца спецыяльным раздзелам агульнай алгебры — {{нп5|Універсальная алгебра|універсальнай алгебрай|ru|Универсальная алгебра}}. {{нп5|Тэорыя катэгорый||ru|Теория категорий}}, якая лічыцца таксама раздзелам агульнай алгебры, вывучае ўласцівасці алгебраічных структур і суадносін паміж імі з выкарыстаннем такіх абстракцый, як аб’екты, марфізмы, функтары, якія абагульняюць адпаведныя паняцці не толькі ў алгебраічных структурах, але і ў [[Тапалогія|тапалогіі]], [[Матэматычная логіка|логіцы]], [[Тэорыя мностваў|тэорыі мностваў]].

Сам тэрмін «абстрактная алгебра» быў уведзены ў пачатку 20 ст., каб адрозніваць гэту вобласць даследаванняў ад іншых частак [[алгебра|алгебры]].

== Раздзелы ==
[[Файл:Action_of_SL2(Z)_on_the_Poincare_disc.svg|thumb|right|{{нп5|Дзеянне групы|Дзеянне|ru|Действие группы}} {{нп5|мадулярная група|мадулярнай групы|ru|Модулярная группа}} на {{нп5|круг Пуанкарэ|крузе Пуанкарэ|en|Poincaré disk model}}.]]
У абстрактнай алгебры ўмоўна выдзяляюцца наступныя раздзелы:

{{Multicol|50%}}
* [[Тэорыя груп]]
** [[Тэорыя прадстаўленняў]]
* {{нп5|Тэорыя кольцаў||en|Ring theory}}
** {{нп5|Камутатыўная алгебра||en|Commutative algebra}}
* {{нп5|Тэорыя палёў||ru|Теория полей}}
** [[Тэорыя Галуа]]
{{Multicol-break}}
* [[Лінейная алгебра]]
** {{нп5|Полілінейная алгебра||ru|Полилинейная алгебра}}
* {{нп5|Гамалагічная алгебра||ru|Гомологическая алгебра}}
* {{нп5|Тэорыя катэгорый||ru|Теория категорий}}
* {{нп5|Тэорыя рашотак||ru|Теория решёток}}
* {{нп5|Універсальная алгебра||ru|Универсальная алгебра}}
{{Multicol-end}}

Да абстрактнай алгебры цесна прымыкаюць [[алгебраічная геаметрыя]], {{нп5|алгебраічная тэорыя лікаў||en|Algebraic number theory}} і {{нп5|алгебраічная тапалогія||en|Algebraic topology}}.

== Гісторыя ==
{{Гл. таксама|Элементарная алгебра}}

Вялікі ўплыў на развіццё алгебраічных ідэй і сімволікі зрабіла «Арыфметыка» [[Дыяфант Александрыйскі|Дыяфанта]] (III стагоддзе). Тэрмін «алгебра» паходзіць ад назвы твора [[Мухамад Аль-Харэзмі|Мухамеда аль-Харэзмі]] «Альджэбр аль-мукабала» (9 ст.), які мае агульныя метады рашэння [[алгебраічнае ўраўненне|алгебраічных ураўненняў]] [[лінейнае ўраўненне|1-й]] і [[квадратнае ўраўненне|2-й ступеней]].

У канцы XV стагоддзя замест грувасткіх слоўных апісанняў алгебраічных дзеянняў у матэматычных творах з’яўляюцца знакі «+» і «-», потым знакі ступеней, каранёў, дужкі.
У канцы XVI стагоддзя[[Франсуа Віет|Ф. Віет]] першы выкарыстаў літарныя абазначэнні. К сярэдзіне XVII стагоддзя ў асноўным склалася сучасная алгебраічная сімволіка і тым самым завяршылася «перадгісторыя» алгебры.

У далейшым погляд на алгебру мяняўся. Алгебра XVII—XVIII стагоддзяў займалася літарнымі вылічэннямі (рашэнне алгебраічных ураўненняў, тоеснае пераўтварэнне формул і іншае) у адрозненне ад [[арыфметыка|арыфметыкі]], у якой разглядаліся вылічэнні з канкрэтнымі [[лік]]амі. К сярэдзіне XVIII стагоддзя алгебра склалася прыблізна ў аб’ёме цяперашняй т.зв. [[элементарная алгебра|элементарнай алгебры]].

Алгебра XVIII—XIX стагоддзяў з’яўляецца ў асноўным алгебрай [[мнагачлен]]аў.

Першай гістарычнай задачай алгебры было рашэнне [[алгебраічнае ўраўненне|алгебраічных ураўненняў]] з адным невядомым, г.зн. ураўненняў віду:
: <math>a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n = 0.</math>
У XVI стагоддзі італьянскімі матэматыкамі была знойдзена формула для рашэння ўраўненняў 3-й ступені ({{нп5|формула Кардана||ru|Формула Кардано}}), а потым і метад рашэння ўраўненняў 4-й ступені ({{нп5|метад Ферары||ru|Метод Феррари}}).

Амаль 3 стагоддзі вёўся пошук аналагічных формул для рашэння ўраўненняў вышэйшай ступені.

У XVII стагоддзі упершыню была выказана {{нп5|Альбер Жырар|А. Жырарам|ru|Жирар, Альбер}}, а ў канцы XVIII стагоддзя [[Карл Фрыдрых Гаус|К. Гаусам]] была даказана [[асноўная тэарэма алгебры]] аб існаванні камплекснага кораня для адвольных [[алгебраічнае ўраўненне|алгебраічных ураўненняў]] з [[камплексны лік|камплекснымі]] каэфіцыентамі.

У 1824 годзе [[Нільс Хенрык Абель|Н. Абель]] даказаў, што ўраўненне вышэй 4-й ступені ў агульным выпадку ў [[Корань (матэматыка)|радыкалах]] невырашальнае, а ў 1830 годзе [[Эварыст Галуа|Э. Галуа]] знайшоў крытэрый вырашальнасці алгебраічнага ўраўнення ў радыкалах.
Іншыя задачы адыходзяць у гэты час на другі план, і пад алгебраю разумеецца «аналіз ураўненняў», як адзначае {{нп5|Жазеф Альфрэд Серрэ|Ж. Серрэ|ru|Серре, Жозеф Альфред}} у сваім курсе вышэйшай алгебры (1849).
Разам з тэорыяй алгебраічных ураўненняў з адным невядомым разглядаліся сістэмы алгебраічных ураўненняў з многімі невядомымі, у тым ліку [[сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў|сістэмы лінейных ураўненняў]], у сувязі з чым узніклі паняцці [[Матрыца (матэматыка)|матрыцы]] і [[Вызначнік (алгебра)|дэтэрмінанта]].
У далейшым матрыцы становяцца прадметам самастойнай тэорыі — [[алгебра матрыц|алгебры матрыц]], роля якой не вычэрпваецца прымяненнем у даследаванні сістэм лінейных ураўненняў.

З сярэдзіны XIX стагоддзя даследаванні ў алгебры паступова пераносяцца з тэорыі алгебраічных ураўненняў на вывучэнне адвольных алгебраічных аперацый. Абстрактнае паняцце алгебраічнай аперацыі ўзнікла ў сярэдзіне XIX стагоддзя ў сувязі з даследаваннем прыроды [[камплексны лік|камплексных лікаў]], а таксама ў выніку з’яўлення прыкладаў алгебраічных аперацый над элементамі зусім іншай прыроды, чым [[лік]]і.
Так, узнікаюць [[алгебра логікі]] [[Джордж Буль|Дж. Буля]], {{нп5|знешняя алгебра|знешнія алгебры|en|Exterior algebra}} {{нп5|Герман Гюнтэр Грасман|Г. Грасмана|ru|Грассман, Герман Гюнтер}}, [[кватэрніён]]ы [[Уільям Роўэн Гамільтан|У. Гамільтана]]. {{нп5|Артур Кэлі|А. Кэлі|ru|Кэли, Артур}} стварае матрычнае злічэнне, [[Мары Энмон Каміль Жардан|К. Жардан]] публікуе вялікі трактат пра {{нп5|група падстановак|групы падстановак|en|Symmetric group}}.
Гэтыя працы падрыхтавалі ўступленне алгебры ў канцы XIX — пачатку XX стагоддзя ў сучасны этап яе развіцця, які характарызуецца аб’яднаннем раней разрозненых алгебраічных ідэй на агульнай [[аксіёма|аксіяматычнай]] аснове і істотным пашырэннем вобласці прыкладанняў алгебры.

У пачатку XX стагоддзя алгебра стала разглядацца як агульная тэорыя алгебраічных аперацый на аснове аксіяматычнага метаду. Такі погляд на алгебру сфарміраваўся пад уплывам прац [[Давід Гільберт|Д. Гільберта]], {{нп5|Эрнст Штэйніц|Э. Штэйніца|ru|Стейниц, Эрнст}}, {{нп5|Эміль Арцін|Э. Арціна|ru|Артин, Эмиль}}, [[Эмі Нётэр|Э. Нётэр]] і канчаткова зацвердзіўся з выхадам у 1930 годзе манаграфіі {{нп5|Бартэль Леендэрт ван дэр Вардэн|Б. Л. ван дэр Вардэна|ru|ван дер Варден, Бартель Леендерт}} {{нп5|Moderne Algebra|«Сучасная алгебра»|en|Moderne Algebra}} ({{lang-de|«Moderne Algebra»}}).

Першыя працы па агульнай тэорыі адвольных універсальных алгебр належаць {{нп5|Гарэт Біркгаф|Г. Біркгафу|ru|Биркгоф, Гаррет}} (1930-я г.). У тыя ж гады {{нп5|Анатоль Іванавіч Мальцаў|А. І. Мальцаў|ru|Мальцев, Анатолий Иванович}} і [[Альфрэд Тарскі|А. Тарскі]] заклалі асновы {{нп5|тэорыя мадэлей|тэорыі мадэлей|en|Model theory}} — мностваў з зададзенымі на іх адносінамі.

Да сярэдзіны 1950-х гадоў сфарміравалася {{нп5|гамалагічная алгебра||en|Homological algebra}}, карані якой ляжаць у алгебры і [[тапалогія|тапалогіі]].

Сістэматычныя даследаванні па алгебры на Беларусі пачалі [[Дзмітрый Аляксеевіч Супруненка|Дз. А. Супруненка]] (1945) і [[Сяргей Антонавіч Чуніхін|С. А. Чуніхін]] (1953). Вядуцца пераважна ў [[Інстытут матэматыкі НАН Беларусі|Інстытуце матэматыкі НАН Беларусі]], [[Беларускі дзяржаўны ўніверсітэт|БДУ]], [[Гомельскі дзяржаўны ўніверсітэт імя Францыска Скарыны|Гомельскім універсітэце]].

== Агляд ==
[[Файл:Cayley graph of F2.svg|right|thumb|Нагляднае прадстаўленне групы: {{нп5|граф Кэлі||en|Cayley graph}} для {{нп5|свабодная група|свабоднай групы|ru|Свободная группа}} з двума ўтваральнымі элементамі {{math|''a''}} і {{math|''b''}}. Кожная вяршыня прадстаўляе элемент свабоднай групы. Дамнажэнне на {{math|''a''}} адпавядае пераходу па рабры ўправа, дамнажэнне на {{math|''b''}} — пераходу па рабры ўверх.]]
Сучасная алгебра вывучае [[мноства|мноствы]] адвольнай прыроды з зададзенымі на іх алгебраічнымі аперацыямі (г.зн. алгебры ці ўніверсальныя алгебры).

Доўгі час вывучаліся толькі некалькі тыпаў універсальных алгебр — [[Група (алгебра)|групы]], [[Кальцо (алгебра)|кольцы]], [[лінейная прастора|лінейныя прасторы]].

Адзін з найбольш важных і найбольш вывучаных тыпаў алгебр — групы, г. зн. алгебры з адной [[асацыятыўная аперацыя|асацыятыўнай]] [[бінарная аперацыя|бінарнай аперацыяй]], якія змяшчаюць [[адзінка групы|адзінку]] і для кожнага элемента — {{нп5|адваротны элемент||ru|Обратный элемент}}. Паняцце групы з’явілася гістарычна першым прыкладам універсальнай алгебры і паслужыла ў многіх адносінах узорам пры перабудове алгебры і, наогул, матэматыкі на рубяжы 19 — 20 стст. Значна пазней пачалося самастойнае вывучэнне абагульненняў паняцця групы — {{нп5|паўгрупа|паўгрупы|ru|Полугруппа}}, {{нп5|квазігрупа, алгебра|квазігрупы|ru|Квазигруппа (математика)}} і {{нп5|лупа, алгебра|лупы|ru|Лупа (алгебра)}}.

Найважнейшыя тыпы алгебр з дзвюма бінарнымі аперацыямі — [[Кальцо (алгебра)|кольцы]] і [[Поле (алгебра)|палі]]. Аперацыі ў іх звычайна называюцца [[складанне]]м і [[множанне]]м. Кальцо вызначаецца [[аксіёма]]мі [[абелева група|абелевай групы]] для складання і [[дыстрыбутыўнасць|законамі дыстрыбутыўнасці]] для множання адносна складання.

Першапачаткова вывучаліся толькі кольцы з [[асацыятыўная аперацыя|асацыятыўным]] множаннем, і гэта патрабаванне асацыятыўнасці часам нават ўключаюць у азначэнне кальца. У цяперашні час цалкам складзеным з’яўляецца агульны напрамак, прысвечаны вывучэнню {{нп5|неасацыятыўнае кальцо|неасацыятыўных кольцаў|ru|Неассоциативное кольцо}}.

{{нп5|Цела, алгебра|Целам|ru|Тело (алгебра)}} называецца асацыятыўнае кальцо, усе не роўныя нулю элементы якога ўтвараюць групу па множанню.

[[Поле (алгебра)|Поле]] — цела з [[камутатыўная аперацыя|камутатыўным]] множаннем. [[Алгебраічнае лікавае поле|Лікавыя палі]], г. зн. сукупнасці [[лік]]аў, замкнёныя адносна [[складанне|складання]], [[множанне|множання]], [[адніманне|аднімання]] і [[дзяленне|дзялення]] на лік, не роўны нулю, няяўна фігуравалі ўжо ў пачатковых даследаваннях па [[алгебраічнае ўраўненне|алгебраічных ураўненнях]].

Асацыятыўна-камутатыўныя кольцы і палі з’яўляюцца асноўным аб’ектам вывучэння {{нп5|камутатыўная алгебра|камутатыўнай алгебры|en|Commutative algebra}}, з якой цесна звязана [[алгебраічная геаметрыя]].

Іншы важны тып алгебры з дзвюма бінарнымі аперацыямі — {{нп5|Рашотка, часткова ўпарадкаванае мноства|рашоткі (ці структуры)|ru|Решётка (алгебра)}}. Тыповыя прыклады рашотак: сістэма [[падмноства]]ў дадзенага мноства з аперацыямі [[аб'яднанне мностваў|аб’яднання]] і [[перасячэнне мностваў|перасячэння]], мноства [[натуральны лік|дадатных цэлых лікаў]] з аперацыямі ўзяцця [[найменшае агульнае кратнае|найменшага агульнага кратнага]] і [[найбольшы агульны дзельнік|найбольшага агульнага дзельніка]].

[[Вектарная прастора|Лінейныя (ці вектарныя) прасторы]] над [[Поле (алгебра)|полем]] можна трактаваць як універсальныя алгебры з адной бінарнай аперацыяй — складаннем і наборам унарных аперацый множання на [[скаляр]]ы з асноўнага поля.
Разглядаюцца таксама лінейныя прасторы над [[цела, алгебра|целамі]].

Калі за мноства скаляраў узяць [[Кальцо (алгебра)|кальцо]], то атрымліваецца больш шырокае паняцце {{нп5|модуль над кальцом|модуля|ru|Модуль над кольцом}}.

Лінейныя прасторы, модулі, а таксама іх {{нп5|лінейнае адлюстраванне|лінейныя пераўтварэнні|ru|Линейное отображение}} і сумежныя пытанні вывучае [[лінейная алгебра]], часткай якой з’яўляюцца тэорыі [[лінейнае ўраўненне|лінейных ураўненняў]] і [[Матрыца (матэматыка)|матрыц]].

Да лінейнай алгебры прымыкае {{нп5|полілінейная алгебра||ru|Полилинейная алгебра}}.

З 1930-х гадоў развіваецца агульная тэорыя адвольных універсальных алгебр і тэорыя мадэлей (мностваў з зададзенымі на іх адносінамі).
На стыку тэорыі універсальных алгебр з тэорыяй мадэлей узнік новы раздзел алгебры, сумежны з алгебрай і [[матэматычная логіка|матэматычнай логікай]], — [[тэорыя алгебраічных сістэм]], якая вывучае мноствы з зададзенымі на іх алгебраічнымі аперацыямі і адносінамі (гл. [[алгебра логікі]]).

Дысцыпліны, сумежныя з алгебрай і іншымі раздзеламі матэматыкі, вызначаюцца ўнясеннем ва ўніверсальныя алгебры дадатковых структур, узгодненых з алгебраічнымі аперацыямі і адносінамі: [[тапалагічная алгебра]], у т.л. [[тапалагічная група|тапалагічныя групы]] і [[група Лі|групы Лі]], тэорыя {{нп5|унармаваная алгебра|ўнармаваных кольцаў|de|Normierte Algebra}}, {{нп5|дыферэнцыяльная алгебра||ru|Дифференциальная алгебра}}, тэорыі розных упарадкаваных алгебр.

К сярэдзіне 1950-х гадоў сфарміравалася {{нп5|гамалагічная алгебра||en|Homological algebra}}, карані якой ляжаць у алгебры і [[тапалогія|тапалогіі]].

== Прыкладанні ==
У сучаснай матэматыцы алгебра адыгрывае вялікую ролю, і існуе аб’ектыўная тэндэнцыя да далейшай «алгебраізацыі» матэматыкі. Тыповы спосаб вывучэння многіх матэматычных аб’ектаў, часам вельмі далёкіх ад алгебры, заключаецца ў пабудове алгебраічных сістэм, якія дастаткова добра адлюстроўваюць паводзіны вывучаемых аб’ектаў.
Так, вывучэнне [[група Лі|груп Лі]] шмат у чым зводзіцца да вывучэння іх алгебраічных адлюстраванняў — {{нп5|алгебра Лі|алгебр Лі|ru|Алгебра Ли}}.
Аналагічны метад выкарыстоўваецца ў [[тапалогія|тапалогіі]] — кожнай [[тапалагічная прастора|тапалагічнай прасторы]] супастаўляецца некаторым стандартным спосабам бесканечная серыя [[група гамалогіі|груп гамалогіі]], і гэтыя серыі алгебраічных адлюстраванняў дазваляюць вельмі дакладна судзіць пра ўласцівасці саміх прастор.
Іменна з дапамогай алгебры зроблены апошнія значныя адкрыцця ў тапалогіі (гл. {{нп5|алгебраічная тапалогія||ru|Алгебраическая топология}}).
Поспех алгебраічных метадаў тлумачыцца тым, што алгебраізацыя дазваляе прымяніць для рашэння задачы не толькі чыста славесныя разважанні, але і магутны апарат фармальных алгебраічных вылічэнняў, што часам дазваляе абходзіць самыя складаныя перашкоды.

Алгебраічныя паняцці і метады шырока выкарыстоўваюцца ў [[тэорыя лікаў|тэорыі лікаў]] ({{нп5|алгебраічная тэорыя лікаў||en|Algebraic number theory}}), [[геаметрыя|геаметрыі]] ({{нп5|тэорыя інварыянтаў||en|Invariant theory}}, {{нп5|праектыўная геаметрыя||ru|Проективная геометрия}}, {{нп5|тэнзарная алгебра||ru|Тензорная алгебра}}), [[функцыянальны аналіз|функцыянальным аналізе]], [[тэорыя дыферэнцыяльных ураўненняў|тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў]], [[вылічальная матэматыка|метадах вылічэнняў]] і іншых раздзелах матэматыкі.

Алгебра мае вялікае дачыненне да [[фізіка|фізікі]] ({{нп5|прадстаўленне групы|прадстаўленні груп|en|Group representation}} у [[квантавая фізіка|квантавай фізіцы]]), [[Крышталяграфія|крышталяграфіі]] ({{нп5|дыскрэтная група|дыскрэтныя групы|en|Discrete group}}), [[кібернетыка|кібернетыкі]] ({{нп5|тэорыя аўтаматаў|тэорыі аўтаматаў|ru|Теория автоматов}} і {{нп5|тэорыя кадзіравання|кадзіравання|en|Coding theory}}) і іншых навук.

== Літаратура ==
* {{Крыніцы/БелЭн|1к|Алгебра}} С. 233—234.
* {{Крыніцы/МатемЭнц|1|аўтар=Мерзляков Ю. И., Ширшов А. И. |артыкул=Алгебра |спасылка= |слупкі=114—118}} <!-- с. 102—106 у скане -->
* Математика, ее содержание, методы и значение. Сб. статей, т. 1—3, М., 1956.
* Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.
* Курош А. Г., Лекции по общей алгебре. 2-е изд. — М.: Физматлит, 1973.
* Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962.
* Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976.
* Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.
* Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970.

; Гісторыя алгебры
* История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1—3, М., 1970 — 72.
* Мальцев А. И., К истории алгебры в СССР за первые 25 лет, «Алгебра и логика», 1971. т. 10, № 1, с. 103—18.

== Спасылкі ==
* {{MathWorld|title=Abstract Algebra|urlname=AbstractAlgebra}}

{{Алгебра}}
{{Бібліяінфармацыя}}
[[Катэгорыя:Алгебра]]
[[Катэгорыя:Абстрактная алгебра| ]]