Абстрактная алгебра
Абстра́ктная а́лгебра (таксама вышэйшая алгебра, агульная алгебра) — раздзел матэматыкі, які вывучае колькасныя і якасныя адносіны ў рознага роду Шаблон:Нп5, вызначаных аксіяматычна.
Пад алгебраічнай сістэмай (структурай) тут разумеецца мноства некаторых аб’ектаў, для якіх вызначаны нейкі набор т. зв. алгебраічных аперацый, якія па сваіх уласцівасцях падобныя на складанне і множанне лікаў.
Алгебраічныя сістэмы ўключаюць групы, кольцы, палі, Шаблон:Нп5, вектарныя прасторы, Шаблон:Нп5 і Шаблон:Нп5.
Для вывучэння структур выкарыстоўваюцца агульныя метады і падобныя паняцці: для адлюстравання (адвображання) паміж структурамі ўводзяцца паняцці Шаблон:Нп5, ізамарфізмаў, Шаблон:Нп5, для вывучэння ўнутранай будовы ўводзяцца падсістэмы (падгрупы, Шаблон:Нп5 і іншыя) і Шаблон:Нп5 (фактаргрупы, Шаблон:Нп5 і іншыя).
Найбольш агульныя для ўсіх гэтых алгебраічных сістэм уласцівасці фармалізуюцца і вывучаюцца спецыяльным раздзелам агульнай алгебры — Шаблон:Нп5. Шаблон:Нп5, якая лічыцца таксама раздзелам агульнай алгебры, вывучае ўласцівасці алгебраічных структур і суадносін паміж імі з выкарыстаннем такіх абстракцый, як аб’екты, марфізмы, функтары, якія абагульняюць адпаведныя паняцці не толькі ў алгебраічных структурах, але і ў тапалогіі, логіцы, тэорыі мностваў.
Сам тэрмін «абстрактная алгебра» быў уведзены ў пачатку 20 ст., каб адрозніваць гэту вобласць даследаванняў ад іншых частак алгебры.
Раздзелы
_on_the_Poincare_disc.svg)
У абстрактнай алгебры ўмоўна выдзяляюцца наступныя раздзелы:
Да абстрактнай алгебры цесна прымыкаюць алгебраічная геаметрыя, Шаблон:Нп5 і Шаблон:Нп5.
Гісторыя
Вялікі ўплыў на развіццё алгебраічных ідэй і сімволікі зрабіла «Арыфметыка» Дыяфанта (III стагоддзе). Тэрмін «алгебра» паходзіць ад назвы твора Мухамеда аль-Харэзмі «Альджэбр аль-мукабала» (9 ст.), які мае агульныя метады рашэння алгебраічных ураўненняў 1-й і 2-й ступеней.
У канцы XV стагоддзя замест грувасткіх слоўных апісанняў алгебраічных дзеянняў у матэматычных творах з’яўляюцца знакі «+» і «-», потым знакі ступеней, каранёў, дужкі. У канцы XVI стагоддзяФ. Віет першы выкарыстаў літарныя абазначэнні. К сярэдзіне XVII стагоддзя ў асноўным склалася сучасная алгебраічная сімволіка і тым самым завяршылася «перадгісторыя» алгебры.
У далейшым погляд на алгебру мяняўся. Алгебра XVII—XVIII стагоддзяў займалася літарнымі вылічэннямі (рашэнне алгебраічных ураўненняў, тоеснае пераўтварэнне формул і іншае) у адрозненне ад арыфметыкі, у якой разглядаліся вылічэнні з канкрэтнымі лікамі. К сярэдзіне XVIII стагоддзя алгебра склалася прыблізна ў аб’ёме цяперашняй т.зв. элементарнай алгебры.
Алгебра XVIII—XIX стагоддзяў з’яўляецца ў асноўным алгебрай мнагачленаў.
Першай гістарычнай задачай алгебры было рашэнне алгебраічных ураўненняў з адным невядомым, г.зн. ураўненняў віду:
У XVI стагоддзі італьянскімі матэматыкамі была знойдзена формула для рашэння ўраўненняў 3-й ступені (Шаблон:Нп5), а потым і метад рашэння ўраўненняў 4-й ступені (Шаблон:Нп5).
Амаль 3 стагоддзі вёўся пошук аналагічных формул для рашэння ўраўненняў вышэйшай ступені.
У XVII стагоддзі упершыню была выказана Шаблон:Нп5, а ў канцы XVIII стагоддзя К. Гаусам была даказана асноўная тэарэма алгебры аб існаванні камплекснага кораня для адвольных алгебраічных ураўненняў з камплекснымі каэфіцыентамі.
У 1824 годзе Н. Абель даказаў, што ўраўненне вышэй 4-й ступені ў агульным выпадку ў радыкалах невырашальнае, а ў 1830 годзе Э. Галуа знайшоў крытэрый вырашальнасці алгебраічнага ўраўнення ў радыкалах. Іншыя задачы адыходзяць у гэты час на другі план, і пад алгебраю разумеецца «аналіз ураўненняў», як адзначае Шаблон:Нп5 у сваім курсе вышэйшай алгебры (1849). Разам з тэорыяй алгебраічных ураўненняў з адным невядомым разглядаліся сістэмы алгебраічных ураўненняў з многімі невядомымі, у тым ліку сістэмы лінейных ураўненняў, у сувязі з чым узніклі паняцці матрыцы і дэтэрмінанта. У далейшым матрыцы становяцца прадметам самастойнай тэорыі — алгебры матрыц, роля якой не вычэрпваецца прымяненнем у даследаванні сістэм лінейных ураўненняў.
З сярэдзіны XIX стагоддзя даследаванні ў алгебры паступова пераносяцца з тэорыі алгебраічных ураўненняў на вывучэнне адвольных алгебраічных аперацый. Абстрактнае паняцце алгебраічнай аперацыі ўзнікла ў сярэдзіне XIX стагоддзя ў сувязі з даследаваннем прыроды камплексных лікаў, а таксама ў выніку з’яўлення прыкладаў алгебраічных аперацый над элементамі зусім іншай прыроды, чым лікі. Так, узнікаюць алгебра логікі Дж. Буля, Шаблон:Нп5 Шаблон:Нп5, кватэрніёны У. Гамільтана. Шаблон:Нп5 стварае матрычнае злічэнне, К. Жардан публікуе вялікі трактат пра Шаблон:Нп5. Гэтыя працы падрыхтавалі ўступленне алгебры ў канцы XIX — пачатку XX стагоддзя ў сучасны этап яе развіцця, які характарызуецца аб’яднаннем раней разрозненых алгебраічных ідэй на агульнай аксіяматычнай аснове і істотным пашырэннем вобласці прыкладанняў алгебры.
У пачатку XX стагоддзя алгебра стала разглядацца як агульная тэорыя алгебраічных аперацый на аснове аксіяматычнага метаду. Такі погляд на алгебру сфарміраваўся пад уплывам прац Д. Гільберта, Шаблон:Нп5, Шаблон:Нп5, Э. Нётэр і канчаткова зацвердзіўся з выхадам у 1930 годзе манаграфіі Шаблон:Нп5 Шаблон:Нп5 (Шаблон:Lang-de).
Першыя працы па агульнай тэорыі адвольных універсальных алгебр належаць Шаблон:Нп5 (1930-я г.). У тыя ж гады Шаблон:Нп5 і А. Тарскі заклалі асновы Шаблон:Нп5 — мностваў з зададзенымі на іх адносінамі.
Да сярэдзіны 1950-х гадоў сфарміравалася Шаблон:Нп5, карані якой ляжаць у алгебры і тапалогіі.
Сістэматычныя даследаванні па алгебры на Беларусі пачалі Дз. А. Супруненка (1945) і С. А. Чуніхін (1953). Вядуцца пераважна ў Інстытуце матэматыкі НАН Беларусі, БДУ, Гомельскім універсітэце.
Агляд
Сучасная алгебра вывучае мноствы адвольнай прыроды з зададзенымі на іх алгебраічнымі аперацыямі (г.зн. алгебры ці ўніверсальныя алгебры).
Доўгі час вывучаліся толькі некалькі тыпаў універсальных алгебр — групы, кольцы, лінейныя прасторы.
Адзін з найбольш важных і найбольш вывучаных тыпаў алгебр — групы, г. зн. алгебры з адной асацыятыўнай бінарнай аперацыяй, якія змяшчаюць адзінку і для кожнага элемента — Шаблон:Нп5. Паняцце групы з’явілася гістарычна першым прыкладам універсальнай алгебры і паслужыла ў многіх адносінах узорам пры перабудове алгебры і, наогул, матэматыкі на рубяжы 19 — 20 стст. Значна пазней пачалося самастойнае вывучэнне абагульненняў паняцця групы — Шаблон:Нп5, Шаблон:Нп5 і Шаблон:Нп5.
Найважнейшыя тыпы алгебр з дзвюма бінарнымі аперацыямі — кольцы і палі. Аперацыі ў іх звычайна называюцца складаннем і множаннем. Кальцо вызначаецца аксіёмамі абелевай групы для складання і законамі дыстрыбутыўнасці для множання адносна складання.
Першапачаткова вывучаліся толькі кольцы з асацыятыўным множаннем, і гэта патрабаванне асацыятыўнасці часам нават ўключаюць у азначэнне кальца. У цяперашні час цалкам складзеным з’яўляецца агульны напрамак, прысвечаны вывучэнню Шаблон:Нп5.
Шаблон:Нп5 называецца асацыятыўнае кальцо, усе не роўныя нулю элементы якога ўтвараюць групу па множанню.
Поле — цела з камутатыўным множаннем. Лікавыя палі, г. зн. сукупнасці лікаў, замкнёныя адносна складання, множання, аднімання і дзялення на лік, не роўны нулю, няяўна фігуравалі ўжо ў пачатковых даследаваннях па алгебраічных ураўненнях.
Асацыятыўна-камутатыўныя кольцы і палі з’яўляюцца асноўным аб’ектам вывучэння Шаблон:Нп5, з якой цесна звязана алгебраічная геаметрыя.
Іншы важны тып алгебры з дзвюма бінарнымі аперацыямі — Шаблон:Нп5. Тыповыя прыклады рашотак: сістэма падмностваў дадзенага мноства з аперацыямі аб’яднання і перасячэння, мноства дадатных цэлых лікаў з аперацыямі ўзяцця найменшага агульнага кратнага і найбольшага агульнага дзельніка.
Лінейныя (ці вектарныя) прасторы над полем можна трактаваць як універсальныя алгебры з адной бінарнай аперацыяй — складаннем і наборам унарных аперацый множання на скаляры з асноўнага поля. Разглядаюцца таксама лінейныя прасторы над целамі.
Калі за мноства скаляраў узяць кальцо, то атрымліваецца больш шырокае паняцце Шаблон:Нп5.
Лінейныя прасторы, модулі, а таксама іх Шаблон:Нп5 і сумежныя пытанні вывучае лінейная алгебра, часткай якой з’яўляюцца тэорыі лінейных ураўненняў і матрыц.
Да лінейнай алгебры прымыкае Шаблон:Нп5.
З 1930-х гадоў развіваецца агульная тэорыя адвольных універсальных алгебр і тэорыя мадэлей (мностваў з зададзенымі на іх адносінамі). На стыку тэорыі універсальных алгебр з тэорыяй мадэлей узнік новы раздзел алгебры, сумежны з алгебрай і матэматычнай логікай, — тэорыя алгебраічных сістэм, якая вывучае мноствы з зададзенымі на іх алгебраічнымі аперацыямі і адносінамі (гл. алгебра логікі).
Дысцыпліны, сумежныя з алгебрай і іншымі раздзеламі матэматыкі, вызначаюцца ўнясеннем ва ўніверсальныя алгебры дадатковых структур, узгодненых з алгебраічнымі аперацыямі і адносінамі: тапалагічная алгебра, у т.л. тапалагічныя групы і групы Лі, тэорыя Шаблон:Нп5, Шаблон:Нп5, тэорыі розных упарадкаваных алгебр.
К сярэдзіне 1950-х гадоў сфарміравалася Шаблон:Нп5, карані якой ляжаць у алгебры і тапалогіі.
Прыкладанні
У сучаснай матэматыцы алгебра адыгрывае вялікую ролю, і існуе аб’ектыўная тэндэнцыя да далейшай «алгебраізацыі» матэматыкі. Тыповы спосаб вывучэння многіх матэматычных аб’ектаў, часам вельмі далёкіх ад алгебры, заключаецца ў пабудове алгебраічных сістэм, якія дастаткова добра адлюстроўваюць паводзіны вывучаемых аб’ектаў. Так, вывучэнне груп Лі шмат у чым зводзіцца да вывучэння іх алгебраічных адлюстраванняў — Шаблон:Нп5. Аналагічны метад выкарыстоўваецца ў тапалогіі — кожнай тапалагічнай прасторы супастаўляецца некаторым стандартным спосабам бесканечная серыя груп гамалогіі, і гэтыя серыі алгебраічных адлюстраванняў дазваляюць вельмі дакладна судзіць пра ўласцівасці саміх прастор. Іменна з дапамогай алгебры зроблены апошнія значныя адкрыцця ў тапалогіі (гл. Шаблон:Нп5). Поспех алгебраічных метадаў тлумачыцца тым, што алгебраізацыя дазваляе прымяніць для рашэння задачы не толькі чыста славесныя разважанні, але і магутны апарат фармальных алгебраічных вылічэнняў, што часам дазваляе абходзіць самыя складаныя перашкоды.
Алгебраічныя паняцці і метады шырока выкарыстоўваюцца ў тэорыі лікаў (Шаблон:Нп5), геаметрыі (Шаблон:Нп5, Шаблон:Нп5, Шаблон:Нп5), функцыянальным аналізе, тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў, метадах вылічэнняў і іншых раздзелах матэматыкі.
Алгебра мае вялікае дачыненне да фізікі (Шаблон:Нп5 у квантавай фізіцы), крышталяграфіі (Шаблон:Нп5), кібернетыкі (Шаблон:Нп5 і Шаблон:Нп5) і іншых навук.
Літаратура
- Шаблон:Крыніцы/БелЭн С. 233—234.
- Шаблон:Крыніцы/МатемЭнц
- Математика, ее содержание, методы и значение. Сб. статей, т. 1—3, М., 1956.
- Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.
- Курош А. Г., Лекции по общей алгебре. 2-е изд. — М.: Физматлит, 1973.
- Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962.
- Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976.
- Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.
- Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970.
- Гісторыя алгебры
- История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1—3, М., 1970 — 72.
- Мальцев А. И., К истории алгебры в СССР за первые 25 лет, «Алгебра и логика», 1971. т. 10, № 1, с. 103—18.