Квадратнае ўраўненне

КвадраШаблон:Націсктнае ўраўнеШаблон:Націскнне, або квадратоШаблон:Націсквае раўнаШаблон:Націскнне — гэта ўраўненне выгляду

$a{x}^2+bx+c=0,$

дзе Шаблон:Math — вызначаныя лікі, Шаблон:Math, Шаблон:Math — невядомая велічыня.

Развязанне ўраўнення

Тэарэма Віета

Лікі $x_1$ і $x_2$ ёсць каранямі квадратнага ўраўнення $a{x}^2+bx+c=0$ тады і толькі тады, калі спраўджваюцца роўнасці (так званыя формулы Віета):

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a},\\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.\end{array}$

Заўвага 1: тэарэма Віета застаецца справядліваю незалежна ад таго, якія гэтыя карані: рэчаісныя ці камплексныя.

Заўвага 2: у выпадку, калі квадратнае ўраўненне мае кратны корань $x_1=x_2,$ формулы Віета прымаюць выгляд

$2x_1=-\frac{b}{a},$

$x_1^2=\frac{c}{a}.$

Прыклад

Теарэмай Віета зручна карыстацца, калі каэфіцыенты квадратнага ўраўнення цэлыя, і старшы каэфіцыент Шаблон:Math. У такім выпадку, асабліва калі каэфіцыенты малыя, карані можна знайсці вусна, раскладаючы на множнікі свабодны каэфіцыент. Вось напрыклад, у нас ёсць ураўненне

$x^2-x-6=0$

(Шаблон:Math).

Неабходна, каб задавальняліся роўнасці

$x_1\cdot x_2=-6,$

$x_1+x_2=1.$

Лік 6 мае сваімі дзельнікамі лікі 2 і 3. Адзін з каранёў — адмоўны, бо здабытак каранёў роўны -6. Падбіраючы лікі так, каб іх сума была роўнай 1, атрымліваем, што

карані — гэта лікі 3 і -2.

Дыскрымінант

Перасячэнне парабалай восі x у залежнасці ад знака дыскрымінанта (ад колькасці рэчаісных каранёў)

Дыскрымінатам квадратнага ўраўнення $a{x}^2+bx+c=0$ называецца велічыня

$D=b^2-4ac.$

• Калі Шаблон:Math, карані вылічваюць па формуле

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.$

• Калі Шаблон:Math, карані вылічваюць па формуле

$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}.$

• Калі Шаблон:Math, рэчаісных каранёў няма.

Заўвага: калі Шаблон:Math, існуюць два камплексныя карані, якія вылічваюцца па формуле

$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a},$

дзе Шаблон:Math — так званая ўяўная адзінка, якая азначаецца як лік, квадрат якога роўны -1:

$i^2=-1.$

Прыклад

Разгледзім тое ж ураўненне

$x^2-x-6=0$

(Шаблон:Math).

Вылічым дыскрымінант $D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25.$

Падстаўляем значэнні ў формулы і атрымліваем:

$x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1+5}{2}=3,$

$x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{1-5}{2}=-2.$

Шаблон:Алгебраічныя ўраўненні Шаблон:Бібліяінфармацыя